袁克政

【摘要】在平面向量的教學(xué)過(guò)程中，學(xué)生們普遍認(rèn)為這部分知識(shí)較為抽象，不好理解，但平面向量數(shù)量積又是江蘇高考考試說(shuō)明中8個(gè)C級(jí)考點(diǎn)之一，其重要性是不言而喻的，雖然這部分知識(shí)比較抽象難懂，但還是要努力學(xué)好平面向量，才能輕松應(yīng)對(duì)高考.作者在一堂高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)課的教學(xué)過(guò)程中，得到一些關(guān)于平面向量教學(xué)的反思，在此和大家分享，既有利于平面向量課堂教學(xué)，也有利于學(xué)生掌握好這部分知識(shí).

【關(guān)鍵詞】平面向量；特殊化思想；高三數(shù)學(xué)；思考

進(jìn)入高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)后，會(huì)與第一輪復(fù)習(xí)有明顯的區(qū)別，但也有相通之處，第一輪復(fù)習(xí)注重學(xué)生基礎(chǔ)知識(shí)體系的構(gòu)建，第二輪復(fù)習(xí)要建立在一輪復(fù)習(xí)的基礎(chǔ)上，綜合性較強(qiáng)，更注重學(xué)生綜合解題能力的培養(yǎng)，培養(yǎng)學(xué)生站在較高的角度來(lái)觀察每一道題，善于發(fā)現(xiàn)每道題中所涉及的不同章節(jié)的知識(shí)點(diǎn)，并能將所學(xué)知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行橫向和縱向的比較、串聯(lián)和記憶.

作者在講授高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)課“平面向量數(shù)量積運(yùn)算的三類(lèi)經(jīng)典題型”時(shí)，歸納總結(jié)出本節(jié)課是二輪復(fù)習(xí)微專題，主要講授三類(lèi)題型：1.平面向量數(shù)量積的基本運(yùn)算；2.利用平面向量數(shù)量積求平面向量的夾角；3.利用平面向量數(shù)量積求平面向量的模.

其中在對(duì)“題型一平面向量數(shù)量積的基本運(yùn)算”進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)，考慮到目前平面向量解題主要有化歸思想以及坐標(biāo)化思想，設(shè)計(jì)了以下兩道填空題：

例1（1）設(shè)四邊形ABCD為平行四邊形，|AB|=6，|AD|=4，若點(diǎn)M，N滿足BM=3MC，DN=2NC，則AM·NM=.

（2）已知AB⊥AC，|AB|=1t，|AC|=t，若點(diǎn)P是△ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，且AP=AB|AB|+4AC|AC|，則PB·PC的最大值等于.

對(duì)于第一小題，大部分學(xué)生選擇了化歸（即利用平面向量基本定理轉(zhuǎn)化為一組基底），解法如下：

解∵AM=AB+34AD，NM=13AB-14AD，

∴AM·NM=13AB2-316AD2.

∵|AB|=6，|AD|=4，

∴AM·NM=13×36-316×16=9.

對(duì)于坐標(biāo)化思想，多數(shù)學(xué)生產(chǎn)生畏難心理，因?yàn)榻ㄏ档脑?，缺少平行四邊形中的角，然而，如果?duì)該平行四邊形進(jìn)行特殊化，即可輕松解決，解法如下：

解對(duì)該平行四邊形進(jìn)行特殊化，轉(zhuǎn)化為我們所熟悉的矩形，那么建系就會(huì)變得十分容易.

以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB方向?yàn)閤軸正半軸，AD方向?yàn)閥軸正半軸，建立直角坐標(biāo)系，坐標(biāo)如下：

A（0，0），B（6，0），C（6，4），D（0，4），M（6，3），N（4，4），

∴AM=（6，3），NM=（2，-1），

∴AM·NM=9.

對(duì)于第二小題，由于垂直關(guān)系，優(yōu)先想到建系進(jìn)行坐標(biāo)運(yùn)算，體現(xiàn)了坐標(biāo)化思想.

通過(guò)例1的設(shè)計(jì)，主要目的是訓(xùn)練學(xué)生化歸思想與坐標(biāo)化思想在平面向量解題中的應(yīng)用.但是在解題過(guò)程中，坐標(biāo)化運(yùn)算顯然是要比用平面向量基本定理進(jìn)行化歸節(jié)約時(shí)間的，在遇到不好坐標(biāo)化的題目，特殊化思想就起到了重要的作用，將圖形特殊到方便建系的程度，往往將不垂直化為垂直，又如，2016年江蘇高考填空題第13題：

例2如圖所示，在△ABC中，D是BC的中點(diǎn)，E，F(xiàn)是AD上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，BA·CA=4，BF·CF=-1，則BE·CE=.

分析該題若用常規(guī)解法，較為復(fù)雜，若考慮將該三角形特殊化，將其變成等腰直角三角形，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，BC所在直線為x軸，AD所在直線為y軸，建立直角坐標(biāo)系，設(shè)BC長(zhǎng)為2a，AD長(zhǎng)為3b，因此，坐標(biāo)如下：

A（0，3b），B（-a，0），C（a，0），E（0，2b），F(xiàn)（0，b），

∴BA=（a，3b），CA=（-a，3b），BF=（a，b），

CF=（-a，b）.

∵BA·CA=4，BF·CF=-1，

∴BA·CA=-a2+9b2=4，BF·CF=-a2+b2=-1，

∴a2=138，b2=58.

∵BE·CE=-a2+4b2，

∴BE·CE=78.

特殊化思想將該題計(jì)算大大簡(jiǎn)化，運(yùn)算量較小，學(xué)生容易掌握，容易理解.

總之，在解決平面向量填空題時(shí)，往往首選建系，進(jìn)行坐標(biāo)化運(yùn)算，對(duì)于不容易建系的題目，嘗試采用特殊化思想將其轉(zhuǎn)化為便于建系的題目，特殊化的目的是使非坐標(biāo)化題目特殊化為坐標(biāo)化題目，從而進(jìn)行坐標(biāo)化運(yùn)算.只要掌握了解題最基本思想和基礎(chǔ)知識(shí)，在解題時(shí)靈活運(yùn)用，解決平面向量這一類(lèi)問(wèn)題就會(huì)變得輕而易舉.在平時(shí)的復(fù)習(xí)中，同學(xué)們一定要多加練習(xí)，掌握了基本思想以后，還要摸索出一套適合自己的解決思路，這樣在解題時(shí)會(huì)大大節(jié)約時(shí)間，輕松應(yīng)對(duì)高考.