李燕祥

【摘 要】本文從創(chuàng)設(shè)情境、參與概念形成的邏輯思維過程、合作探索概念、從正反不同角度辨析概念等四個(gè)角度探究如何在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中實(shí)施體驗(yàn)式概念教學(xué)。

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué) 概念教學(xué) 教學(xué)有效性

【中圖分類號(hào)】G 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A

【文章編號(hào)】0450-9889（2017）05B-0132-02

在高中數(shù)學(xué)的教學(xué)實(shí)際中，受考試壓力等因素的影響，部分教師認(rèn)為，數(shù)學(xué)概念在考試中考得不多，沒有必要花太多的時(shí)間進(jìn)行教學(xué)。因此對(duì)于概念的教學(xué)模式是：教師把概念直接給出，并對(duì)概念的結(jié)論做簡單解析，反復(fù)強(qiáng)調(diào)概念關(guān)鍵詞，然后讓學(xué)生通過大量的強(qiáng)化練習(xí)來記住結(jié)論。在這個(gè)過程中，教師的教學(xué)重點(diǎn)是講解例題。如此模式造成的后果是學(xué)生對(duì)概念的認(rèn)識(shí)模糊不清，缺乏對(duì)概念的內(nèi)涵、外延等數(shù)學(xué)本質(zhì)的透徹理解。學(xué)生對(duì)概念記憶不牢，就不會(huì)運(yùn)用概念解決數(shù)學(xué)問題，也不利于后續(xù)的知識(shí)學(xué)習(xí)。不少學(xué)生對(duì)概念學(xué)習(xí)的體驗(yàn)是消極的：數(shù)學(xué)概念枯燥、抽象難懂。這種模式下的概念教學(xué)弊端日益明顯，必須引起一線數(shù)學(xué)教師的關(guān)注與思考。

怎樣優(yōu)化數(shù)學(xué)概念教學(xué)才能使學(xué)生對(duì)概念的數(shù)學(xué)本質(zhì)有全面透徹的理解，并能熟練運(yùn)用概念解決數(shù)學(xué)問題呢？筆者經(jīng)過幾年的探索，認(rèn)為采用體驗(yàn)式教學(xué)能夠使數(shù)學(xué)概念教學(xué)更優(yōu)化。

一、創(chuàng)設(shè)生活情境，設(shè)計(jì)有針對(duì)性的問題

數(shù)學(xué)來源于生活。在概念教學(xué)中，筆者所創(chuàng)設(shè)的情境都是學(xué)生所熟知的生活情境，學(xué)生在熟知的生活情境中，更容易感知概念產(chǎn)生的原型、概念來源的背景，也更有利于學(xué)生從這些原型中抽象出準(zhǔn)確的概念數(shù)學(xué)描述。

例如在教學(xué)高中數(shù)學(xué)必修 1“函數(shù)的概念”時(shí)，教材選取了三個(gè)實(shí)例作為概念引入，而筆者在創(chuàng)設(shè)情境時(shí)，遵循了教材的編寫意圖，保留了前兩個(gè)引例，第三個(gè)引例則用學(xué)生熟悉的例子代替。

例 1.一枚炮彈發(fā)射后，炮彈距地面的高度 h 與飛行時(shí)間 t的變化規(guī)律 h=130t-5t2，0≤h≤845。這個(gè)例子筆者采用多媒體展示：炮彈飛行的拋物線動(dòng)畫，這激發(fā)了學(xué)生的興趣，而且學(xué)生在初中階段學(xué)過了二次函數(shù)的內(nèi)容，對(duì)這個(gè)內(nèi)容比較熟悉。

例 2.教材所里的配圖用曲線顯示南極上空臭氧層的空洞面積從 1979—2001 年的變化情況。

在引入函數(shù)的概念的教學(xué)中，以上這兩個(gè)例子所創(chuàng)設(shè)的情境為學(xué)生所熟知，因此筆者保留了這兩個(gè)引例。但是教材中的例 3 卻是用一個(gè)表格表示“八五”計(jì)劃以來我國城鎮(zhèn)居民恩格爾系數(shù)的變化情況。學(xué)生對(duì)這個(gè)例子所提到的“居民恩格爾系數(shù)”相對(duì)陌生，若用這個(gè)例子引入概念，學(xué)生會(huì)感到概念之中又有概念，增加了理解“函數(shù)”這一核心概念的理解難度，因此筆者采用另外一個(gè)學(xué)生較為熟悉的例子代替例 3：近年來我校每年獲得貧困生資助的人數(shù)與時(shí)間（年）的關(guān)系：

時(shí)間（年） 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016

資助人數(shù) 356 402 438 456 502 533 586

這個(gè)實(shí)例與學(xué)生實(shí)際生活息息相關(guān)，學(xué)生覺得熟悉，不會(huì)產(chǎn)生畏難情緒。

由于學(xué)生在初中已經(jīng)學(xué)過函數(shù)概念，但是初中的函數(shù)概念是“變量說”，而高中數(shù)學(xué)的函數(shù)概念是“對(duì)應(yīng)說”，而且高中所學(xué)的函數(shù)概念的描述是用學(xué)生不易理解的抽象符號(hào)、集合語言，學(xué)生難以理解。筆者突破這個(gè)教學(xué)難點(diǎn)的做法是：在學(xué)生已有的函數(shù)概念認(rèn)知基礎(chǔ)上，創(chuàng)設(shè)以上三個(gè)不同形式的生活情境，再設(shè)計(jì)五個(gè)問題，讓學(xué)生在問題的引導(dǎo)下，從具體的例子中概括、討論，從而得出函數(shù)的概念。

問題 1：這三個(gè)例子中自變量分別是什么？哪個(gè)量跟著自變量發(fā)生變化？

問題 2：例 2、例 3 能不能用解析式表示？它們是函數(shù)嗎？為什么？

針對(duì)問題 2，學(xué)生有不同意見：有的認(rèn)為是，有的認(rèn)為不是，這個(gè)問題引發(fā)了學(xué)生的認(rèn)知沖突。這時(shí)筆者提出：“要判斷它是不是函數(shù)，需要具備哪幾個(gè)要素？”學(xué)生七嘴八舌，有的學(xué)生終于點(diǎn)到點(diǎn)子上：在一個(gè)變化過程中，如果有兩個(gè)變量 x 與 y，而且對(duì)于 x 的每一個(gè)確定的值，y 都有唯一確定的值與其對(duì)應(yīng)，我們就說 x 是自變量，y 是 x 的函數(shù)。看到學(xué)生對(duì)函數(shù)的概念有了初步的認(rèn)識(shí)，筆者馬上指出判斷一個(gè)解析式是不是函數(shù)的要素是“x 的任意性”“y 的唯一性”“對(duì)應(yīng)性”。

問題 3：兩個(gè)變量的對(duì)應(yīng)關(guān)系一定要用函數(shù)解析式表示嗎？

學(xué)生討論后的答案是不一定，對(duì)每一個(gè)自變量，有唯一的數(shù)與它對(duì)應(yīng)就可以了。學(xué)生經(jīng)討論思考后，能往函數(shù)的本質(zhì)特征去思考判斷，逐步認(rèn)識(shí)概念的本質(zhì)內(nèi)涵。

問題 4：這三個(gè)例子所描述的數(shù)量對(duì)應(yīng)關(guān)系有什么共同的特征？我們能不能用集合的語言及對(duì)應(yīng)的語言來描述？怎樣描述？

問題 5：如何用集合語言、從對(duì)應(yīng)的角度給函數(shù)下準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)定義？

通過創(chuàng)設(shè)生活情境，設(shè)計(jì)有針對(duì)性的問題，讓學(xué)生從熟悉的例子中觀察、思考、比較，逐步總結(jié)出函數(shù)的概念，實(shí)現(xiàn)了從具體到抽象的過程體驗(yàn)，尤其當(dāng)函數(shù)以圖象和表格的形式出現(xiàn)時(shí)，強(qiáng)化了“單值對(duì)應(yīng)”的認(rèn)識(shí)。而圖象和表格又是幫助理解函數(shù)概念的重要載體，它能使學(xué)生直觀地感知函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性等性質(zhì)。學(xué)生透過圖象和表格，能多角度深刻領(lǐng)悟體驗(yàn)“對(duì)應(yīng)關(guān)系”的本質(zhì)內(nèi)涵。同時(shí)，通過問題情境的創(chuàng)設(shè)，引發(fā)學(xué)生對(duì)函數(shù)概念理解的認(rèn)知沖突，讓學(xué)生提出質(zhì)疑，進(jìn)而引發(fā)激烈的討論，學(xué)生在辯駁中深化了函數(shù)概念的認(rèn)識(shí)。

二、讓學(xué)生親身參與概念的探索與思考

在概念教學(xué)中，筆者并不會(huì)直接給出概念，讓學(xué)生被動(dòng)接受，而是讓學(xué)生親自參與概念的推導(dǎo)演變過程。學(xué)生因?yàn)榻?jīng)歷了概念形成的邏輯思維過程，印象深刻，記憶牢固，理解透徹，為后續(xù)學(xué)習(xí)與概念有關(guān)的性質(zhì)及應(yīng)用打下良好基礎(chǔ)。

例如在教學(xué)高中數(shù)學(xué)必修 4“平面向量共線的坐標(biāo)表示”內(nèi)容時(shí)，備課組有些教師認(rèn)為，這個(gè)知識(shí)不必讓學(xué)生去推導(dǎo)，直接要求學(xué)生記住結(jié)論即可。按照這種教學(xué)模式教學(xué)，等到學(xué)完“兩個(gè)向量垂直的坐標(biāo)表示”后，很多學(xué)生對(duì)公式的坐標(biāo)表示出現(xiàn)了混亂：有的把向量共線的坐標(biāo)表示 x1y2-x2y1=0，寫成了向量垂直的坐標(biāo)表示 x1x2+y1y2=0，或把兩個(gè)公式坐標(biāo)彼此張冠李戴。產(chǎn)生以上錯(cuò)誤的根源是教師沒有讓學(xué)生參與公式的推導(dǎo)，造成了學(xué)生對(duì)公式印象模糊，由于學(xué)生只是對(duì)公式進(jìn)行機(jī)械式記憶，因此容易遺忘、混淆公式。

筆者用所教的同一水平的兩個(gè)班做了對(duì)比實(shí)驗(yàn)：13 班的教學(xué)方式是直接給學(xué)生向量平行、垂直的坐標(biāo)公式，要求他們機(jī)械記憶。14 班的教學(xué)方式則是讓學(xué)生和教師一起推導(dǎo)出向量平行、垂直這兩個(gè)公式，如向量共線，有 ，容易得出 ，消去后，變成了，學(xué)生再把它變成等積式時(shí)，x1 是與 y2 相乘，而不會(huì)與 x2 相乘的，學(xué)生就不會(huì)出現(xiàn)“向量共線時(shí) x1x2+y1y2=0”這樣的錯(cuò)誤。13 班和 14 班兩個(gè)班的教學(xué)效果對(duì)比在欽州市 2016 年秋季學(xué)期教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測(cè)高一數(shù)學(xué)（A卷）18 題（2）的正確率中已見分曉。這道題是這樣的：已知向量，若與 共線，求 k 的值。這是一道已知向量共線求參數(shù) k 的題目，難度較小，關(guān)鍵是記住公式。從考試結(jié)果看，這道題13 班得分率為 52%，14 班得分率為 78%，可見 14 班對(duì)公式的記憶與運(yùn)用都優(yōu)于 13 班。

由此可見，讓學(xué)生自己參與到概念、公式的推導(dǎo)演變過程，不用刻意去記憶，學(xué)生自然而然就能記住公式，并正確運(yùn)用公式。學(xué)生由此獲得了邏輯思維過程的體驗(yàn)，記憶更牢、更準(zhǔn)，理解更透徹，教學(xué)效果更顯著。

三、在合作中體驗(yàn)數(shù)學(xué)概念的形成

合作學(xué)習(xí)是新課程改革所倡導(dǎo)的一種學(xué)習(xí)方式，學(xué)生的合作交流意識(shí)可以在合作學(xué)習(xí)中得到培養(yǎng)。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，有些數(shù)學(xué)概念的形成過程必須要學(xué)生共同合作才能完成。

例如筆者在教學(xué)高中數(shù)學(xué)選修 1“橢圓及標(biāo)準(zhǔn)方程”這一內(nèi)容時(shí)，組織學(xué)生合作體驗(yàn)橢圓的形成過程：學(xué)生兩人為一組，臺(tái)上固定 2 個(gè)釘子，取一條大于釘子間距的繩子，繩子兩端分別固定在釘子上，中間套上鉛筆，一人固定繩子，一人拉緊中間套緊繩子的鉛筆，在臺(tái)面的白紙移動(dòng)，同時(shí)引導(dǎo)學(xué)生觀察和思考：

1.畫出的圖形軌跡像什么？

2.怎樣用自己的語言描述動(dòng)點(diǎn)滿足的條件？

學(xué)生動(dòng)手實(shí)踐后共同歸納：平面內(nèi)到兩定點(diǎn) F1，F(xiàn)2（兩釘子）的距離之和始終等于常數(shù) 2a（繩子）的點(diǎn)的軌跡叫橢圓。學(xué)生通過親身參與合作體驗(yàn)橢圓的形成過程，就很容易理解橢圓概念的核心實(shí)質(zhì)為；并且，由繩子的長大于兩釘子的距離，學(xué)生也較易體驗(yàn)到 2a>2c，明白了橢圓中為什么 a>c。

緊接著，筆者指導(dǎo)學(xué)生經(jīng)過 4 個(gè)步驟得出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：1 建系，設(shè)動(dòng)點(diǎn) M（x，y），定點(diǎn) F1（c1，0），F(xiàn)2（c2，0），2 列式，3 代入轉(zhuǎn)化代數(shù)式，4 化簡。

這樣，橢圓的概念和方程成為一個(gè)有機(jī)的整體，概念不再是抽象、難懂的，而是具體可看、可摸、可操作、可體驗(yàn)的。學(xué)生在合作的過程中體驗(yàn)了橢圓這一概念的形成過程，順理成章也理解了與橢圓有關(guān)的其他一系列概念：焦點(diǎn)、焦距、長軸、短軸。圓錐曲線的雙曲線也可以用類似的合作體驗(yàn)方法進(jìn)行教學(xué)，從而優(yōu)化了圓錐曲線這一板塊的教學(xué)。

四、從不同角度辨析概念

學(xué)生對(duì)概念的認(rèn)識(shí)是一個(gè)循序漸進(jìn)的過程，不僅要從正面去體驗(yàn)概念的本質(zhì)內(nèi)涵，還要從反面等角度去認(rèn)識(shí)概念。通過正反不同的角度對(duì)概念進(jìn)行辨析，可以讓學(xué)生對(duì)概念的認(rèn)識(shí)由模糊變得清晰，由片面認(rèn)識(shí)變成全面認(rèn)識(shí)，讓概念變得更立體。

例如筆者在教學(xué)高中數(shù)學(xué)必修 4“正弦、余弦函數(shù)的周期性”這一概念時(shí)，教材中周期函數(shù)的概念是這樣的：對(duì)于函數(shù) f（x），如果存在一個(gè)非零常數(shù) T，使得當(dāng) x 取定義域內(nèi)的每一個(gè)值時(shí)，都有 f（x+T）=f（x），那么函數(shù) f（x）就叫周期函數(shù)，非零常數(shù) T 叫做這個(gè)函數(shù)的周期。筆者在學(xué)生學(xué)完正弦、余弦函數(shù)的周期性這一概念以后，立刻讓學(xué)生進(jìn)行了概念的辨析。于是設(shè)計(jì)了下面這些題目——

判斷下面的命題是否正確：

（1）因?yàn)?f（x+0）=f（x），所以 f（x）為周期函數(shù)。

（2）因?yàn)?f（x+3x）=f（x），所以 f（x）為周期函數(shù)，周期為 3x。

（3）因?yàn)槌闪?，則函數(shù) f（x）=sinx 的周期是。

（4）已知函數(shù) f（x）的周期為 1.5，且 f（1）=20，則 f（10）的值是 20。

如果學(xué)生對(duì)函數(shù)的周期性概念的認(rèn)識(shí)是模糊的，上面的幾道題好像都符合函數(shù)的概念，這幾道題好像都對(duì)，但是通過讓學(xué)生對(duì)這幾道題進(jìn)行辨析，教師講解其中的區(qū)別后，學(xué)生能夠很快解出正確答案：只有第（4）題是正確的。同時(shí)筆者還讓學(xué)生指出（1）（2）（3）這三道題錯(cuò)誤的原因：（1）周期不能為 0，（2）周期必須是常數(shù)，（3）只對(duì) 成立而已，換成其他的值就不成立了。通過對(duì)概念展開辨析，學(xué)生獲得了周期函數(shù)函數(shù)的全面、清晰、立體的概念體驗(yàn)。

高中數(shù)學(xué)的概念教學(xué)是一個(gè)非常重要的課題，也是數(shù)學(xué)教學(xué)中的基礎(chǔ)，只有重視概念教學(xué)，才能為學(xué)生的數(shù)學(xué)大廈打好基石。體驗(yàn)式的概念教學(xué)能夠讓學(xué)生不再懼怕數(shù)學(xué)概念，在體驗(yàn)概念形成的過程中，逐漸對(duì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生興趣，最終愛上數(shù)學(xué)。

（責(zé)編 韋 力）