王磊 劉娟

【摘要】 本文針對(duì)一個(gè)橢圓定值、定點(diǎn)問題的解題與教學(xué)，采用層層遞進(jìn)的方式進(jìn)行探究升華，在解決原問題的同時(shí)，又在原問題的基礎(chǔ)上給出一系列連續(xù)性的問題情境，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)思考，達(dá)到對(duì)問題的深刻理解，并感受解決一類問題的基本思路.

【關(guān)鍵詞】 變式遞進(jìn)設(shè)問；探究問題；教學(xué)設(shè)計(jì)

【基金項(xiàng)目】 本文由安徽省大學(xué)生創(chuàng)客實(shí)驗(yàn)室建設(shè)計(jì)劃項(xiàng)目“數(shù)據(jù) 分析與仿真創(chuàng)客實(shí)驗(yàn)室”（2015ckjh080）和安徽省大學(xué)生創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)計(jì)劃（201611059322，201611059338）資助.

圓錐曲線的定值、定點(diǎn)問題始終是高中數(shù)學(xué)考查的重點(diǎn)，更是教學(xué)的難點(diǎn).該問題對(duì)學(xué)生的整體分析計(jì)算能力要求較高.在師范生教學(xué)設(shè)計(jì)課上，筆者設(shè)計(jì)一道二輪復(fù)習(xí)橢圓的定值、定點(diǎn)問題時(shí)，采用了以一道題為起點(diǎn)，層層遞進(jìn)設(shè)問，引導(dǎo)學(xué)生各個(gè)擊破，最后，將類似問題拓展到拋物線和雙曲線中的教學(xué)策略.下文將呈現(xiàn)這一過程與各位共享，歡迎批評(píng)指正.

一、題目原型

引例 已知橢圓 x2 a2 + y2 b2 =1（a>0，b>0）的左焦點(diǎn)F為圓x2+y2+2x=0的圓心，且橢圓上的點(diǎn)到F點(diǎn)距離的最小值為 2 -1.

（1）求橢圓方程；

（2）已知經(jīng)過點(diǎn)F的動(dòng)直線l與橢圓交于不同的兩點(diǎn)A，B，點(diǎn)M - 5 4 ，0 .

證明：MA ·MB 為定值.

分析與思考 （1）該問考查的是基礎(chǔ)知識(shí)和基本概念；

（2）該問是一個(gè)有關(guān)橢圓定值、定點(diǎn)、動(dòng)直線的綜合問題.F是定點(diǎn)，動(dòng)直線l過F，故自然想到設(shè)l的“點(diǎn)斜式方程”，又F位于x軸上，所以，可以引導(dǎo)學(xué)生將l的“點(diǎn)斜式方程”設(shè)為以y為自變量、x為因變量的形式，以減少參數(shù)的個(gè)數(shù).這樣就有一種特殊的情況需要單獨(dú)討論，即l關(guān)于y軸的斜率為無窮大的情況，也就是l與x軸重合的情況.這種特殊情況下，l與橢圓的交點(diǎn)A，B即為橢圓的左、右端點(diǎn)，通過直接計(jì)算即可得到此時(shí)的MA ·MB 的值 - 7 16 .又題目要求證：當(dāng)l動(dòng)時(shí)，MA ·MB 為定值，這樣就可以引導(dǎo)學(xué)生利用前面所設(shè)l的方程與橢圓方程相結(jié)合，利用韋達(dá)定理并結(jié)合定點(diǎn)M的坐標(biāo)朝著- 7 16 的方向證明即可.

為方便下文敘述，現(xiàn)將該題的解題過程簡(jiǎn)述如下：

（1）橢圓方程為 x2 2 +y2=1，解題過程略；

（2）F（-1，0），當(dāng)動(dòng)直線l為x軸時(shí)，MA ·MB = - 2 + 5 4 ，0 · 2 + 5 4 ，0 = 25 16 -2=- 7 16 ；

當(dāng)動(dòng)直線l不與x軸重合時(shí)，設(shè)直線l的方程為x=ky-1，

聯(lián)立橢圓方程可得（k2+2）y2-2ky-1=0.

設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則

y1+y2= 2k k2+2 ，yy=- 1 k2+2 ，

MA ·MB =

（k2+1）y1y2+ 1 4 k（y1+y2）+ 1 16

=- k2+1 k2+2 + k2 2（k2+2） + 1 16 =- 7 16 .

綜上所述，MA ·MB 為定值- 7 16 .

二、層層遞進(jìn)設(shè)問、追逐問題根源

在上面的引例講解完畢后，可再次引導(dǎo)學(xué)生回到題目中，我們可以看到，在題目的第二問中有一個(gè)特殊點(diǎn)M，其位于x軸上，該點(diǎn)擁有特殊功能，即使得MA ·MB 為定值.自然可以引導(dǎo)學(xué)生考慮，在x軸上是否還存在其他的具有這種特殊功能的點(diǎn)N.可設(shè)問如下：

變式1 在x軸上，除了M - 5 4 ，0 外，有沒有其他定點(diǎn)N，也使得NA ·NB =- 7 16 ？

分析與思考 解決這個(gè)問題的過程并不難，只需要將證明過程中的定點(diǎn)M - 5 4 ，0 換成N（x0，0）即可.但問題的本質(zhì)已發(fā)生改變，由證明定值問題轉(zhuǎn)變?yōu)樘骄看嬖谛詥栴}，通過類似的推導(dǎo)過程（l與x軸重合的情況略），可以得到如下的表達(dá)式

NA ·NB =- （2x0+3）k2+1 k2+2 +（1+x0）2， （1）

其中k表示動(dòng)直線l關(guān)于y軸的斜率，是一個(gè)動(dòng)值，其取值范圍為（-∞，∞）.故由（1）可知，要使NA ·NB 為定值，必須2x0+3= 1 2 ，即x0=- 5 4 .

故在x軸上除M - 5 4 ，0 外，再也沒有任何一點(diǎn)滿足條件.

在變式1中，盡管獲得了除M - 5 4 ，0 以外在x軸再也沒有任何一點(diǎn)滿足條件.但，顯然并沒有窮盡平面中的所有點(diǎn).故可繼續(xù)設(shè)問如下：

變式2 在坐標(biāo)平面內(nèi)，除了M - 5 4 ，0 點(diǎn)外，有沒有其他定點(diǎn)N，也使得NA ·NB 為定值？

分析與思考 類似地，引導(dǎo)學(xué)生將變式1分析與思考過程中的N（x0，0）替換為N（x0，y0），進(jìn)而分析計(jì)算可得如下的表達(dá)式

NA ·NB =- （2x0+3）k2+2ky0+1 k2+2 +（1+x0）2+y20. （2）

因k為動(dòng)值，故要使NA ·NB 為定值，必須2x0+3= 1 2 且y0=0，即x0=- 5 4 且y0=0.

故在坐標(biāo)平面內(nèi)除M - 5 4 ，0 外，再也沒有任何一點(diǎn)滿足條件.

通過變式1和變式2的探究我們發(fā)現(xiàn)，在原始的引例的第二問中，M - 5 4 ，0 是使得MA ·MB 為定值的唯一點(diǎn)，這蘊(yùn)含著一種充分必要關(guān)系：MA ·MB 為定值當(dāng)且僅當(dāng)M的坐標(biāo)為 - 5 4 ，0 .從而達(dá)到對(duì)這個(gè)題目的深刻理解，加深記憶.進(jìn)一步可將這個(gè)問題進(jìn)行一般化，提出如下問題：

變式3 設(shè)橢圓C： x2 a2 + y2 b2 =1（a>b>0）的右焦點(diǎn)為F（c，0）（c>0），過F點(diǎn)的直線l交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，問是否存在定點(diǎn)N（x0，y0），使得NA ·NB 為定值？若不存在，請(qǐng)說明理由.

分析與思考 這個(gè)問題比原問題少了數(shù)字常數(shù)、多了字母參數(shù)，可引導(dǎo)學(xué)生共同分析如下：當(dāng)直線與x軸重合時(shí)的情況，這里省略.當(dāng)動(dòng)直線l不與x軸重合時(shí)，可得類似于（1）和（2）的表達(dá)式

NA ·NB =- [2b2c（c-x0）+b4]k2+2b2cky0+b4 b2k2+a2 +（x0-c2）2+y20. （3）

其中k表示動(dòng)直線l關(guān)于y軸的斜率.要使NA ·NB 為定值，必須 2b2c（c-x0）+b4 b2 = b4 a2 且y0=0，得x0=3c-ce2.故，得到N存在且唯一，其坐標(biāo)為（3c-ce2，0），確在x軸上.

三、問題在拋物線和雙曲線中的拓展

因圓錐曲線包含橢圓、拋物線、雙曲線這三類，它們形式不同，但都有著一些內(nèi)在的共同性質(zhì).故在探究完上一節(jié)的變式3后，可以繼續(xù)將這一問題拓展到拋物線中.設(shè)問如下：

變式4 對(duì)拋物線也有類似的性質(zhì)嗎？

設(shè)過拋物線y2=2px（p>0）的焦點(diǎn)F p 2 ，0 作直線l：x=ky+ p 2 ，交拋物線于A（x1，y1）、B（x2，y2）兩點(diǎn)，在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在定點(diǎn)N（x0，y0），使得NA ·NB 為定值？若不存在，請(qǐng)說明理由；若存在，求出定點(diǎn)坐標(biāo).

分析與思考 同橢圓的分析思路和方法，可得如下表達(dá)式

MA ·MB =-2px0n2-2py0n-p2+ p 2 -x0 2+y20，

顯然，當(dāng)且僅當(dāng)x0=y0=0，即M（0，0）時(shí)，使得MA ·MB 為定值- 3 4 p2.

四、總 結(jié)

通過上面的變式探究，我們得出結(jié)論：過橢圓的焦點(diǎn)作直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，在平面內(nèi)有且只有一個(gè)定點(diǎn)M，使得MA ·MB 為定值；過拋物線的焦點(diǎn)作直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，在平面內(nèi)有且只有該拋物線的頂點(diǎn)M，使得MA ·MB 為定值；雙曲線的情況，我們可以同樣變式探究，得出與橢圓、拋物線類似的結(jié)論.