王艷芬

【摘要】 數(shù)學(xué)概率研究需要與現(xiàn)實(shí)生活之間相互連接，彼此之間關(guān)系十分密切，是探究以及有效解決隨機(jī)問(wèn)題的重要科學(xué).概率知識(shí)與不等式以及函數(shù)等數(shù)學(xué)知識(shí)之間彼此相互融合，通過(guò)分析與探究概率知識(shí)內(nèi)容，可以對(duì)學(xué)生的其他方面知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行考查和了解，并能夠提升學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)的能力.當(dāng)前階段，我國(guó)院校學(xué)生在數(shù)學(xué)概率知識(shí)掌握等問(wèn)題上存在一定的問(wèn)題，通過(guò)本研究可以改善此情況，希望本文能夠?qū)ξ磥?lái)教育發(fā)展提供借鑒和幫助.

【關(guān)鍵詞】 數(shù)學(xué)；概率問(wèn)題；求解；方法

概率問(wèn)題與現(xiàn)實(shí)生活之間關(guān)系密切，隨著社會(huì)經(jīng)濟(jì)不斷向前發(fā)展，使得其在不同行業(yè)與領(lǐng)域之中被廣泛應(yīng)用.概率論已經(jīng)發(fā)展成為數(shù)學(xué)科學(xué)理論中的重要分支.其內(nèi)容十分豐富，且具有較強(qiáng)的趣味性，具有更加鮮明的自身特點(diǎn).但是，概率學(xué)習(xí)具有一定的難度，因此，學(xué)生具體學(xué)習(xí)中可能會(huì)遇到不同類(lèi)型的問(wèn)題.為了能夠有效提升對(duì)概率的學(xué)習(xí)效率，本研究從幾個(gè)方面進(jìn)行探究，希望能夠?qū)Υ龠M(jìn)學(xué)生概率知識(shí)的掌握提供幫助.

一、數(shù)學(xué)概率問(wèn)題學(xué)習(xí)現(xiàn)狀

現(xiàn)代化信息社會(huì)中，數(shù)學(xué)知識(shí)被廣泛應(yīng)用于各行業(yè)領(lǐng)域及科學(xué)研究中，并在各領(lǐng)域中起到至關(guān)重要的作用.數(shù)學(xué)概率及統(tǒng)計(jì)課程教學(xué)基本上是所有高校理工科與經(jīng)管專(zhuān)業(yè)課程學(xué)習(xí)的必修數(shù)學(xué)課程，數(shù)學(xué)概率問(wèn)題與現(xiàn)實(shí)生活之間存在著緊密的聯(lián)系，并廣泛應(yīng)用于日常生活中，所以準(zhǔn)確地了解數(shù)學(xué)概率問(wèn)題至關(guān)重要.數(shù)學(xué)概率問(wèn)題是概率統(tǒng)計(jì)課程中的關(guān)鍵課程內(nèi)容，也是學(xué)習(xí)過(guò)程中的難點(diǎn)問(wèn)題，要花費(fèi)較多時(shí)間與精力才能有效保障學(xué)習(xí)效果.

從表面來(lái)看高校理工科與經(jīng)管專(zhuān)業(yè)概率課程應(yīng)用的數(shù)學(xué)工具是大學(xué)階段相對(duì)簡(jiǎn)單的學(xué)習(xí)內(nèi)容，與學(xué)生高中階段所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)較為接近，因此，初期學(xué)習(xí)概率問(wèn)題并不陌生.但在深入學(xué)習(xí)概率理論及相關(guān)知識(shí)的過(guò)程中，更專(zhuān)業(yè)的概念與理論則有一定難度，例如，概率空間概念等.概率是隨機(jī)現(xiàn)象領(lǐng)域內(nèi)的一門(mén)學(xué)科，從這個(gè)角度來(lái)看，隨機(jī)現(xiàn)象背后包含著概率空間，即有可能發(fā)生的結(jié)果、相關(guān)事件及概率.同時(shí)，還包括集合和數(shù)字對(duì)應(yīng)問(wèn)題，通常情況下數(shù)學(xué)課程教學(xué)中都會(huì)涉及數(shù)字與數(shù)字關(guān)系問(wèn)題，如高等數(shù)學(xué)中的函數(shù)，即實(shí)數(shù)與實(shí)數(shù)之間的映射.也正因如此，學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概率問(wèn)題相關(guān)理念較為陌生.

基于以上關(guān)于數(shù)學(xué)概率問(wèn)題的基本現(xiàn)狀的分析，學(xué)生對(duì)理解數(shù)學(xué)概率相關(guān)概念，如概率空間等存在一定障礙.若對(duì)數(shù)學(xué)概率問(wèn)題理解不到位，就無(wú)法深入認(rèn)識(shí)到隨機(jī)變量等更具有難度的概率概念，直接影響到課程學(xué)習(xí)的效果.

二、數(shù)學(xué)概率問(wèn)題及方法分析

在數(shù)學(xué)概率問(wèn)題學(xué)習(xí)中要明確其核心問(wèn)題，即等可能事件與互斥獨(dú)立事件.

（一）數(shù)學(xué)概率問(wèn)題中的核心問(wèn)題

1.等可能事件.等可能事件可以通過(guò)一個(gè)簡(jiǎn)單的例子進(jìn)行說(shuō)明：拋起兩枚硬幣，其事件結(jié)果主要包括三種情況，以正面為準(zhǔn)，即一個(gè)朝上，一個(gè)朝下；兩個(gè)都朝上；兩個(gè)都朝下.通過(guò)簡(jiǎn)單、直接的方法可以快速得出兩個(gè)都朝上的概率為 1 3 ，但實(shí)際情況并不是這樣的.三個(gè)基本事件屬于非等可能事件，即三種事件出現(xiàn)的概率不同，其實(shí)際情況為：（正，正），（反，反），（正，反），（反，正），因此，其概率結(jié)果為 1 4 .這種概率問(wèn)題就要求學(xué)生對(duì)等可能事件概念準(zhǔn)確把握.

2.互斥與獨(dú)立事件.通過(guò)對(duì)事件準(zhǔn)確分析確定其基本特征，是對(duì)互斥事件與獨(dú)立事件正確判斷的核心.上述分析中的等可能事件所關(guān)注的為一個(gè)事件，互斥與獨(dú)立事件所關(guān)注的是兩個(gè)事件.互斥事件基本特征是兩個(gè)事件之間存在一定關(guān)聯(lián)性，進(jìn)行試驗(yàn)時(shí)，結(jié)果不會(huì)同時(shí)出現(xiàn)兩個(gè)事件，這就代表這兩個(gè)事件為互斥事件.互斥事件表明在同一試驗(yàn)條件下不會(huì)同一時(shí)間出現(xiàn)兩個(gè)事件.獨(dú)立事件的基本特征是對(duì)兩個(gè)事件關(guān)系分析中，其中一個(gè)事件的出現(xiàn)與變化對(duì)另一個(gè)事件不造成任何影響，這就代表兩個(gè)事件為獨(dú)立的.獨(dú)立事件表明在同一試驗(yàn)條件下兩個(gè)事件不會(huì)同時(shí)發(fā)生，但必須會(huì)發(fā)生一個(gè)事件.

（二）方法分析

基于上述對(duì)數(shù)學(xué)概率問(wèn)題的分析，有效對(duì)概率問(wèn)題進(jìn)行求解要進(jìn)行前后聯(lián)系，處理個(gè)中關(guān)系后利用排列組合解決問(wèn)題.在數(shù)學(xué)概率問(wèn)題解答過(guò)程中能夠充分利用排列組合的方式對(duì)問(wèn)題進(jìn)行分析，是一種準(zhǔn)確有效的數(shù)學(xué)方法.例如，X、Y學(xué)生同時(shí)參與數(shù)學(xué)競(jìng)賽，一共包括10道題，這10道題包括4道判斷題、6道選擇題.X、Y學(xué)生依次對(duì)題目進(jìn)行抽取解答，請(qǐng)問(wèn)：X學(xué)生抽到選擇題，Y學(xué)生抽到判斷題的概率為多少？

針對(duì)這種概率問(wèn)題學(xué)生應(yīng)重視并處理好排列組合關(guān)系，通過(guò)分析和思考有效解決概率問(wèn)題.其解法為：X學(xué)生抽到選擇題同時(shí)Y學(xué)生抽到判斷題的可能的結(jié)果一共有C16C14個(gè)，X、Y學(xué)生依次對(duì)題目進(jìn)行抽取，其存在的可能結(jié)果是C110C19.在此分析基礎(chǔ)上進(jìn)行問(wèn)題求解，即X學(xué)生抽到選擇題，Y學(xué)生抽到判斷題概率為 C16C14 C110C19 ，即概率為 4 15 .

除了上述分析方法外，還包括概率概型識(shí)別與有效應(yīng)用.主要有古典概型、條件概型、幾何概型以及超幾何概型.以古典概型為例，其特征是試驗(yàn)過(guò)程中出現(xiàn)的試驗(yàn)結(jié)果是有限的，并且不同結(jié)果所出現(xiàn)的可能性是相同的. 例如， 將同一試驗(yàn)條件下將會(huì)出現(xiàn)的所有可能性的數(shù)量總數(shù)設(shè)為n，其中事件A包含結(jié)果數(shù)量設(shè)為m，那么A事件發(fā)生的概率可通過(guò)公式計(jì)算得出，即P（A）= m n .在古典概型的實(shí)際應(yīng)用中側(cè)重對(duì)結(jié)果有限性及事件發(fā)生等可能性的分析.再例如，在生產(chǎn)的10個(gè)產(chǎn)品中，7個(gè)為合格產(chǎn)品，3個(gè)為不合格產(chǎn)品，從這10個(gè)產(chǎn)品中隨機(jī)抽取，抽到3個(gè)不合格產(chǎn)品的可能性相同，要求對(duì)抽到1個(gè)不合格產(chǎn)品的概率進(jìn)行求解.利用古典模型進(jìn)行計(jì)算，計(jì)算可得其概率為P（A）= C13C23 C310 .

利用古典概型進(jìn)行數(shù)學(xué)概率問(wèn)題的求解和分析，能夠提出對(duì)應(yīng)問(wèn)題以充分激發(fā)學(xué)生自主分析問(wèn)題意識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題并解決問(wèn)題的能力，在溝通和探討過(guò)程中對(duì)概率概型特征進(jìn)一步了解，熟練把握概率計(jì)算公式，提高對(duì)概率問(wèn)題的解題效率.除了古典概型外，還可以應(yīng)用幾何模型等，對(duì)古典概型進(jìn)行補(bǔ)充，繼而應(yīng)用直接計(jì)算法實(shí)現(xiàn)有效求解.

（三）數(shù)學(xué)概率問(wèn)題方法分析思考

數(shù)學(xué)概率問(wèn)題是一項(xiàng)需要長(zhǎng)期學(xué)習(xí)并且具有系統(tǒng)性的問(wèn)題，與實(shí)踐生活有著十分緊密的聯(lián)系，準(zhǔn)確把握科學(xué)的概率解題方法能夠有效提高學(xué)生對(duì)概率問(wèn)題的分析效率，并更好地指導(dǎo)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí).針對(duì)數(shù)學(xué)概率問(wèn)題的解答，學(xué)生要學(xué)會(huì)充分應(yīng)用數(shù)學(xué)思想進(jìn)行分析，例如，集合思想、等價(jià)轉(zhuǎn)換思想等等.有效地利用數(shù)學(xué)思想對(duì)數(shù)學(xué)概率問(wèn)題求解也是一種十分有效的途徑，因此，在今后數(shù)學(xué)概率問(wèn)題解答過(guò)程中學(xué)生要善于調(diào)動(dòng)思維，合理運(yùn)用數(shù)學(xué)思想.

除此之外，學(xué)生應(yīng)加強(qiáng)對(duì)概念的區(qū)別，杜絕出現(xiàn)張冠李戴現(xiàn)象，以提升解題準(zhǔn)確性.數(shù)學(xué)概率問(wèn)題的有效解決以及解決方法的應(yīng)用，是有效指導(dǎo)實(shí)際生產(chǎn)生活的重要學(xué)習(xí)內(nèi)容，在教學(xué)過(guò)程中教師也應(yīng)從自身角度出發(fā)，優(yōu)化自身教學(xué)，切實(shí)引領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)概率問(wèn)題的學(xué)習(xí)與探討.在教師教學(xué)與學(xué)生學(xué)習(xí)的過(guò)程中要避免出現(xiàn)浮躁與走捷徑的想法，應(yīng)從問(wèn)題本質(zhì)出發(fā)，重視對(duì)基礎(chǔ)概念的分析與理解，在打好基礎(chǔ)的前提下更好開(kāi)展有效教學(xué)，最終達(dá)到概率問(wèn)題教學(xué)的目的.

三、結(jié)束語(yǔ)

綜上所述，數(shù)學(xué)概率的發(fā)展需要結(jié)合現(xiàn)實(shí)生活特點(diǎn)，并將兩者之間進(jìn)行融合，只有這樣才能夠促使數(shù)學(xué)概率的求解.一方面，可以有效改善學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)的能力，另一方面，也能夠提高學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，提升學(xué)生的分析能力.

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