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        貫穿數(shù)學(xué)中的邏輯思維

        2017-03-29 19:30:43劉誠楊夢婷
        關(guān)鍵詞:邏輯思維泰勒思考

        劉誠 楊夢婷

        【摘要】 在我們做數(shù)學(xué)題的過程當(dāng)中,無處不體現(xiàn)著邏輯思維的美.大多數(shù)學(xué)生一遇到數(shù)學(xué)就頭疼,尤其是對于數(shù)學(xué)中的證明題,認(rèn)為它們套路深一遇到就無從下手,其實歸根結(jié)底就是沒有弄清里面的邏輯關(guān)系,那些都是有章可循的,下面我將通過高等數(shù)學(xué)中的例子來進(jìn)行分析,如何去思考數(shù)學(xué).

        【關(guān)鍵詞】 邏輯思維;思考;羅爾定理;泰勒

        例1 設(shè)f(x)可導(dǎo),g(x)連續(xù),證明:在f(x)的兩個零點之間一定有f′(x)-kf(x)g(x)的零點.

        思路點撥 首先,我們知道f(x)有兩個零點x1和x2,假設(shè)x1

        證明 不妨假設(shè)x1

        例2 設(shè)f(x)在區(qū)間(A,B)內(nèi)存在二階導(dǎo)數(shù),且f″(x)<0試證明:對于(A,B)內(nèi)的兩個不同的x1與x2以及滿足s+t=1,0sf(x1)+tf(x2).

        思路點撥 題目給出了f″(x)存在以及有一定的符號,那么我們很容易聯(lián)想到將F(x)用泰勒公式展開,假設(shè)F(x)在x0處展開然后,看我們要證明的是f(sx1+tx2)>sf(x1)+tf(x2)(s+t=1),我們把F(x)展開二次項后可以分別令x=x1,x=x2,然后兩式相加,最后,令x0=sx1+tx2,那么我們的式子中就含有了f(sx1+tx2),sf(x1),tf(x2),那么我們一定可以利用等式轉(zhuǎn)化為我們想要的不等式,因為題目給我們是一個正確的不等式,那么如果我們能推出一個等式中含有相應(yīng)的那些項,就一定能根據(jù)條件放縮成所需要的不等式,下面給出證明.

        證明 將f(x)在某點x=x0處按拉格朗日余項泰勒公式展開:

        結(jié) 語

        數(shù)學(xué)是一門講究邏輯思維的學(xué)科,重在分析思路,在這里只是簡單舉幾個例子,其實在做數(shù)學(xué)題當(dāng)中我們有時看答案那么長,實際上里面有著很清晰的邏輯思維,絕對不是分離的.數(shù)學(xué)中的邏輯思維貫穿于其他理學(xué)科,就拿工科來說,有好多公式都是由經(jīng)驗得來的,或者大量的統(tǒng)計規(guī)律得來的,在得出經(jīng)驗公式的時候我們就會面臨這樣一個問題,怎樣統(tǒng)計呢?首先,要利用我們的經(jīng)驗預(yù)測因變量跟哪些自變量有關(guān),然后,再想因變量和自變量之間成正比還是反比的關(guān)系等等,這樣就不會大海撈針,數(shù)學(xué)是一門培養(yǎng)邏輯思維的科目,它應(yīng)用于我們生活中各處.

        【參考文獻(xiàn)】

        [1]林六十,等.數(shù)學(xué)教育改革的現(xiàn)狀與發(fā)展[M].武昌:華中理工大學(xué)出版社,1997.

        [2]吳潔.大學(xué)數(shù)學(xué)競賽教程[M].武漢:華中科技大學(xué)出版社,2014.

        [3]同濟大學(xué)數(shù)學(xué)教研室.高等數(shù)學(xué)[M].北京:高等教育出版社,1988.

        [4]朱弘毅.高等數(shù)學(xué)[M].上海:上??茖W(xué)技術(shù)出版社,2001.

        [5]廖玉麟,等.高等數(shù)學(xué)試題精選題解[M].武漢:華中科技大學(xué)出版社,2001.

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