胡科杰

一道高考題賞析

【摘要】以一道典型的高考試題為載體研究解題，通過一題多解，總結(jié)出解題的思路和方法，解題的目的不只是為了獲得答案，而是從解題過程中，發(fā)展思維能力，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng).

【關(guān)鍵詞】一題多解；向量；數(shù)形結(jié)合；發(fā)展思維；提升方法

一、一題多解

本題是以三角形為載體，以向量為背景的定值問題，由于平面向量是數(shù)形結(jié)合在一起的，是代數(shù)、平面幾何、三角函數(shù)、解析幾何等知識(shí)的交會(huì)點(diǎn)，因而解決此類問題主要是根據(jù)向量的數(shù)和形的雙重特征，并以此為切入點(diǎn)尋求已知與未知之間的內(nèi)在聯(lián)系，探究解題的思路與方法.

解法7本題的本質(zhì)是A點(diǎn)在以M點(diǎn)為圓心，AM為半徑的圓周上運(yùn)動(dòng)時(shí)AB·AC為定值，當(dāng)點(diǎn)A無(wú)限接近A′點(diǎn)時(shí)，AB·AC=-16.

二、解法賞析

解法1的思路是利用向量的兩條基本法則：平行四邊形法則和三角形法則對(duì)已知條件進(jìn)行列式，兩式平方后通過整體消元的思想得到所求的解.這種解法需要敏銳的觀察力.

解法2的思路是已知①的情況下如何求出AB2+AC2的和，這時(shí)如果知道有中線定理，求出AB2+AC2的和，結(jié)合①或②式，那么AB·AC的值就迎刃而解了.但這種解法對(duì)平面幾何知識(shí)的掌握要求比較高.

解法3的思路是利用余弦定理先列出求AB2與AC2的兩個(gè)等式，利用∠AMB與∠AMC互補(bǔ)，求出AB2+AC2的和，然后結(jié)合①或②式，求出AB·AC的值，這是一種基本的解法.

解法4的思路是所求解中的兩個(gè)向量用不共線的兩個(gè)已知量來(lái)表示，通過兩個(gè)向量的乘積直接得到結(jié)果.這種方法簡(jiǎn)捷，但思維要求比較高.

解法5的思路是利用內(nèi)積公式的定義來(lái)求解，想法自然，但求法不易，需要有良好的平面幾何知識(shí)，這種做法綜合考查了考生的邏輯思維能力、數(shù)學(xué)素養(yǎng)和數(shù)學(xué)潛能.

解法6的思路是通過向量坐標(biāo)化來(lái)處理，這種做法想得自然，做得方便，只是不同的建系對(duì)解題繁簡(jiǎn)有一定影響.

解法7的思路是找出A點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，即揭示了本題的數(shù)學(xué)本質(zhì)，只要在運(yùn)動(dòng)軌跡上A點(diǎn)無(wú)限地接近A′點(diǎn)，本題就得解了.但這種做法需要有很高的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，能看到數(shù)學(xué)的本質(zhì)，對(duì)考生的要求很高.

以一道典型的高考試題為載體研究解題，通過一題多解，總結(jié)出解題的思維和方法，解題的目的不只是為了獲得答案，而是從解題過程中，發(fā)展思維能力，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng).從解題的角度來(lái)看，由題設(shè)給出的信息從不同的角度切入，不同的考生運(yùn)用不同的方法均可求解，有繁有簡(jiǎn)，有的解法能使解題更為合理、便捷，反映出不同的思維層次，體現(xiàn)了差異性和選擇性，具有較好的區(qū)分度.

本題的出彩之處還表現(xiàn)在平面向量與代數(shù)、平面幾何、三角函數(shù)、解析結(jié)合等知識(shí)的交會(huì)處命題，考查了考生對(duì)教材中相應(yīng)內(nèi)容的掌握情況.這類試題看似相識(shí)，但又不同，題型源于課本而高于課本，緊密貼近中學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)實(shí)際，貼近學(xué)生的學(xué)習(xí)實(shí)際，體現(xiàn)高等學(xué)校招生的公平、公正.

【參考文獻(xiàn)】

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[2]黃天星.賞析一道高考題的五種解法[J].福建教育，2015（5）：55-57.