王振福

【摘要】在不定積分的計算方法中，換元積分法無疑是最重要的方法之一，也是最常用的方法之一，本文主要介紹不定積分換元積分法的幾個具體方法及其應(yīng)用，并對其進行整理歸納以提高教育的質(zhì)量，提高學(xué)生對不定積分換元積分法的學(xué)習(xí)能力.

【關(guān)鍵詞】不定積分；換元積分法；分類運算

一、引言

在高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程中，換元積分法是十分重要的一環(huán)，換元積分法主要是應(yīng)用于不定積分的運算中，教材中對不定積分的運算介紹的較為簡單，本文主要針對現(xiàn)有教材中存在篇幅較少的問題進行探究，不只是簡單地將換元積分法分為第一類換元法和第二類換元法.本文的目的就是提高學(xué)生靈活運用換元積分法來對不定積分進行運算的能力，提高學(xué)生對不同題型的運算能力，合理選擇正確的換元積分法，以免出現(xiàn)誤用或者不會用的情況，從而能夠提高高等數(shù)學(xué)的教學(xué)質(zhì)量.

二、第一類不定積分換元法

第一類換元法也稱為湊微分法，求積分與求導(dǎo)有著密切的聯(lián)系，兩者之間是逆運算的關(guān)系，只要充分了解求導(dǎo)的細節(jié)就能夠靈活運用第一類積分法對不定積分進行運算，因此，為了將第一類換元法靈活運用，學(xué)生必須熟練掌握求導(dǎo)或者微分的公式及運算法則，這是學(xué)會第一類換元法必不可少的步驟.

第一類換元法的本質(zhì)就是對函數(shù)進行湊微分，這也是不定積分運算中十分簡便的一個計算方法，湊微分即求導(dǎo)的逆運算，針對的是對復(fù)合函數(shù)進行積分時湊出所求函數(shù)的中間變量，該復(fù)合函數(shù)的形式一般表現(xiàn)為f[φ（x）]，其積分形式一般表現(xiàn)為∫f[φ（x）]φ′（x）dx，將中間變量的形式轉(zhuǎn)變?yōu)閡=φ（x），通過對中間變量進行轉(zhuǎn)變可以將復(fù)合函數(shù)轉(zhuǎn)變成基本函數(shù)，從而能夠使得計算變得簡單，其具體方法如下.

∫g（x）dx=∫f[φ（x）]φ′（x）dx=∫f（u）du=F（u）+C=F[φ（x）]+C（令u=φ（x））.

第一類換元法的計算方法可以將之分為四步來進行：湊微分，換元（轉(zhuǎn)變中間變量），積分，代回.在使用第一類換元法的時候需要注意一些關(guān)鍵問題.

（一）首先應(yīng)該注意第一步，湊微分作為第一類換元法的關(guān)鍵部分，要求學(xué)生能夠熟練掌握基本函數(shù)的微分，在這個過程中不存在很強的規(guī)律性，這就需要學(xué)生增強對這部分知識的記憶，通過記憶將之牢牢掌握，從而能夠在運算中選擇合適的湊微分方式來進行不定積分的運算.關(guān)于湊微分大體可以分為以下幾種類型.

類型1.∫f（ax+b）dx，令u=ax+b；

類型2.∫xμ-1f（xμ）dx，令u=xμ；

類型3.∫exf（ex）dx，令u=ex；

類型4.∫f（lnx）xdx，令u=lnx；

類型5.∫f（x）xdx，令u=x.

除此之外還有很多類型的微分，學(xué)生需要靈活掌握，教師在進行高等數(shù)學(xué)的教學(xué)過程中也可以有選擇性地通過一些例題讓學(xué)生鞏固關(guān)于微分的知識.

（二）在實際的計算過程中不必要在意換元過程，因為換元只是為了讓計算變得更加簡便，不存在實質(zhì)性的意義，換元的過程就是令u=φ（x），換元完成后再將u=φ（x）代回，在整個過程中φ（x）沒有發(fā)生任何變化，因此在換元的時候可以直接運用公式來進行.

三、第二類不定積分換元法

第二類換元法的手段、目的與第一類換元法并無兩樣，通過設(shè)置新的變量t來構(gòu)造一個新的函數(shù)代替原有的變量x，即x=φ（t），這樣做是為了解決第一類換元積分法不能解決的運算問題，使得轉(zhuǎn)變后的積分能夠通過積分表或者積分公式來進行對不定積分的運算.

關(guān)于第二類換元法可將之分為四個方法，這四個方法能夠幫助學(xué)生快速地找到適當(dāng)?shù)膿Q元函數(shù)x=φ（t），這四種方法分別為：根式代換法、倒代換法、三角代換法、指數(shù)代換法等.

（一）根式代換法

根式代換法主要是針對函數(shù)中存在根號的積分題型，其目的就是為了去掉根號對積分造成的障礙，具體方法就是將根號變?yōu)樽兞縯，若函數(shù)中含有多個x的n次方根，即令x=tm，m為所有根指數(shù)的最小公倍數(shù).

（二）倒代換法

如果被積函數(shù)中分母的冪指數(shù)高于分子的冪指數(shù)，則可以令x=1t，以使得被積函數(shù)可以利用求積分公式求出.

（三）三角代換法

三角代換法就是當(dāng)被積函數(shù)中含有不同的根式時，可以采用相應(yīng)的三角函數(shù)代換來使得被積函數(shù)可根據(jù)積分公式求出積分.

（四）指數(shù)代換法

若被積函數(shù)中含有f（ex）或f（ax）的式子的時候，可用f（ex）=u或f（ax）=t進行換元.

四、結(jié)論

綜上所述，第一類換元法的本質(zhì)就是將復(fù)合函數(shù)替換成變量來進行積分的運算，第二類換元法的本質(zhì)就是將被積函數(shù)中的變量換成合適的函數(shù)來使被積函數(shù)可以直接利用積分公式來進行積分.

【參考文獻】

[1]高大維，馮世強，崔宇，陳友軍.不定積分與定積分第二類換元法的討論[J].高等函授學(xué)報（自然科學(xué)版），2011（04）：20-22.

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