吳美容　李小襯　姜葉乘

摘 要 不定積分是《高等數(shù)學》中的一個重要的教學內(nèi)容，換元積分法是一種重要而常用的積分方法。本文對換元積分法作了深入的研究，并對換元積分法的多種換元技巧進行了探討。

關鍵詞 換元法 不定積分 湊微分

中圖分類號：G724.4 文獻標識碼：A

微積分的不定積分求解可以歸結為求被積函數(shù)的原函數(shù)，但是在教學過程中，由于不定積分求解方法非常靈活，并且原函數(shù)也不唯一，但是這些不同的原函數(shù)之間僅僅相差一個常數(shù)。換元積分法分為兩大類：第一換元積分法和第二換元積分法。第一換元法也稱為 “湊微分法”，它是不定積分計算的核心，也是求解積分最基本、最常用方法之一。對于湊微分的教學，要引導學員觀察被積函數(shù)的特點，看看哪些可以拿出去湊微分，我們一般把簡單的函數(shù)拿去湊微分，復雜的函數(shù)留下來，正如生活中的一句俗語：把方便留給別人，困難留給自己。巧婦難為無米之炊，學員必須熟記微分公式和積分公式，否則無法使用湊微分的方法。如何幫助學員更好地掌握湊微分法，本文將做初步探討。在學員掌握第一換元法之后，可以加強第二換元的學習，本文對一些常用的三角代換法、倒代換法等進行了總結。

1第一類換元積分法

第一換元積分法也稱為湊微分法，事實上第一換元積分法是復合函數(shù)微分運算的一種逆運算，即微分形式不變性的一種逆運算。

設函數(shù)f（u）在區(qū)間上連續(xù)，u= （x）有連續(xù)的導數(shù)且 的值域包含在I中，則有換元公式。該公式∫f[ （x）] '（x）dx=[∫f（u）du]u= （x）給出的方法也叫不定積分的第一類換元法。

第一類換元積分法關鍵是要找到被積函數(shù)中的導數(shù)朋友，理解“湊”的過程，會“湊”微分。換元積分法包含了很多靈活的解題技巧。只有通過大量的實踐練習，在練習中總結，在實踐中掌握換元積分法的訣竅。筆者從教學實踐中了探討了換元積分法的常用技巧，引起學員的濃厚興趣，使他們普遍提高了用換元積分法解題的能力，產(chǎn)生了良好的教學效果。對這種方法熟悉之后，第一類換元法的中間變量可以不設出來。使用此公式的關鍵在于將∫g（x）dx化為∫f[ （x）] '（x）dx直接將中間變量看作一個整體。

上述所介紹的都是利用換元積分法的幾種典型情形。讀者應認真研究這些積分方法，掌握求不定積分的一般規(guī)律，多做題，多看典型例題，并靈活運用、做好總結。

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