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        不定積分計算中函數(shù)定義域變化的歸類分析

        2015-04-01 21:03:13吳維峰
        教育教學(xué)論壇 2014年41期
        關(guān)鍵詞:變形

        摘要:本文結(jié)合不定積分的計算,對變形前后函數(shù)定義域的變化進行了分析,并歸結(jié)為三種類型,給出了改進的措施,對保證不定積分計算的正確性、提高教學(xué)質(zhì)量,有重要的作用。

        關(guān)鍵詞:不定積分;變形;定義域;歸類分析

        中圖分類號:O172???? 文獻標志碼:A???? 文章編號:1674-9324(2014)41-0117-02

        1 引言

        不定積分的計算,往往需要對被積表達式進行相應(yīng)的變形。但是,如果不注意變形的恒等性,則會引起變形前后被積函數(shù)定義域的變化,從而使計算出現(xiàn)錯誤。下邊結(jié)合具體實例,對不定積分變形中函數(shù)定義域的前后變化情況做如下的分析與歸類,給出了教學(xué)中的改進措施,以確保不定積分計算的正確性。

        2 使用有關(guān)微分公式導(dǎo)致函數(shù)定義域的變化

        例1.求I=■arcsinxdx.

        解:I=■xarcsinx-■■

        =xarcsinx+■■■=xarcsinx+■+c.

        求解分析:被積函數(shù)的定義域是x∈[-1,1],本題是求被積函數(shù)在閉區(qū)間[-1,1]上的不定積分,但微分公式darcsinx=■卻要求x≠±1,即x∈(-1,1).但計算結(jié)果F(x)=xarcsinx+■卻是在開區(qū)間內(nèi)(-1,1)成立,變形前后函數(shù)的定義域發(fā)生了改變,結(jié)果欠妥。

        正解:將函數(shù)F(x)=xarcsinx+■的定義域從開區(qū)間(-1,1)延拓到x∈[-1,1]即可。

        例2.求I=■■dx.

        解:I=2■cos■d■=2sin■+c.

        求解分析:被積函數(shù)的定義域是x∈(0,+∞),但微分公式■dx=d■卻是在x∈[0,+∞]內(nèi)成立,因而F(x)=2sin■+c的定義域比原被積函數(shù)的定義域擴大了,結(jié)果欠妥。

        正解:在得到結(jié)果F(x)=2sin■后,在x∈(0,+∞)上作對F(x)的限制即可。

        改進措施:這類錯誤由于忽視了有關(guān)公式的成立條件,導(dǎo)致原函數(shù)的定義域與被積函數(shù)的定義域在個別點處發(fā)生了變化,這時,對求得的原函數(shù)進行適當延拓或限制即可。

        3 使用恒等變形導(dǎo)致函數(shù)定義域的變化

        例3.求I=■■.

        解:I=■■=-■■d■

        =-arcsin■+c.

        求解分析:被積函數(shù)的定義域是x<-1或x>1,但變形中的x■=x2■卻僅在x>1時成立,忽略了x<-1時的情況,結(jié)果欠妥。

        正解:

        I=■■=-arcsin■+c1,x>1arcsin■+c2,x<-1.

        例4.求I=■■.

        解:I=■■=■■

        =2ln■+■+c.

        求解分析:被積函數(shù)的定義域是x<-2或x>0,但變形中的第一個等號卻是在x>0時成立,忽略了x<-2時的情況,結(jié)果欠妥。

        正解:I=■■=lnx+1+■+c.

        這樣的例子還很多,在此不一一列舉。

        改進措施:這類錯誤的產(chǎn)生,是因為在恒等變形中,忽視了變形的恒等性(不是真正的恒等),導(dǎo)致被積函數(shù)的定義域在某個區(qū)間內(nèi)發(fā)生了變化。這時,除了對函數(shù)的定義域進行全面的討論外,還要注意使用的變形是不是真正的恒等變形,使變形前后被積函數(shù)的定義域保持一致,亦可采取其他的方法進行求解。

        4 使用變量替換導(dǎo)致函數(shù)定義域的變化

        例5.求I=■■dx.

        解:令x=sect,則dx=secttantdt,

        I=■■secttantdt=■dt=t+c=arccos■+c.

        求解分析:令f(x)=■,則其定義域為x<-1或x>1,變形■=■=tant沒有討論t的取值范圍,忽略了x<-1時的情況,故結(jié)果欠妥。

        正解:

        ■=|tant|=tant,t∈(0,■)(x>1)-tant,t∈(-■,0)(x<-1)

        正確的結(jié)果為:

        I=arccos■+c,x>1-arccos■+c,x<-1

        例6.求I=■■.

        解:令x=■,則dx=-■,代入I得:

        I=-■■-arcsin■+c=-arcsin■+c

        求解分析:被積函數(shù)的定義域為x>1或x<-■.但變形■■=■■中沒有考慮t<0即x<-■的情況,結(jié)果欠妥。

        改進措施:這類錯誤是由于在對不定積分進行變量替換變形時,忽略了新舊變量間取值范圍的一致性,導(dǎo)致了變形前后函數(shù)定義域發(fā)生了變化。為此,在使用換元法進行變量替換時,一定要注意對使用的變量替換做分析,使得替換前后的定義域完全相同,出現(xiàn)擴大就需要進行適當?shù)南拗疲霈F(xiàn)縮小要進行相應(yīng)的延展,保證變量替換及變形中新舊變量取值的前后一致性,進而保證變形前后被積函數(shù)的定義域不發(fā)生變化。

        參考文獻:

        [1]吳維峰.高等數(shù)學(xué)[M].北京:中國輕工業(yè)出版社,2013:28-33.

        [2]吳維峰.對不定積分的一題多解的分析[J].高等數(shù)學(xué)研究,2010,13(6):11-12.

        [3]樊映川,等.高等數(shù)學(xué)講義(上冊)[M].北京:高等教育出版社,1980:372.

        [4]盛祥耀.高等數(shù)學(xué)輔導(dǎo)[M].北京:清華大學(xué)出版社,1994:298.

        作者簡介:吳維峰(1963-),男(漢族),濰坊工程職業(yè)學(xué)院副教授,主要從事高等數(shù)學(xué)的教學(xué)與研究。

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