李慶

【摘要】線性代數(shù)課堂教學(xué)一直是代數(shù)類教學(xué)改革的焦點(diǎn).以西南民族大學(xué)非數(shù)學(xué)專業(yè)類的理工科的線性代數(shù)教學(xué)為例，通過對(duì)線性代數(shù)課堂教學(xué)現(xiàn)狀分析，提出了線性代數(shù)教學(xué)中存在的難點(diǎn)，并從數(shù)學(xué)問題研究的歷史背景、數(shù)學(xué)理論與工具的實(shí)際應(yīng)用、線性代數(shù)應(yīng)用選修課的設(shè)置以及數(shù)學(xué)文化知識(shí)講座等角度提出了線性代數(shù)課堂教學(xué)改革的策略，明確了從事線性代數(shù)教學(xué)研究的教育工作者的努力方向.

【關(guān)鍵詞】線性代數(shù)教學(xué)；數(shù)學(xué)思維；抽象性；實(shí)際應(yīng)用

【中圖分類號(hào)】G643.2

【基金項(xiàng)目】西南民族大學(xué)代數(shù)類課程教學(xué)改革研究項(xiàng)目（2014QN12）

線性代數(shù)一直是高等教育中非數(shù)學(xué)專業(yè)類學(xué)生的核心基礎(chǔ)課程.這不僅體現(xiàn)在它是考研公共數(shù)學(xué)的科目之一，更體現(xiàn)在它的抽象性與應(yīng)用性的高度統(tǒng)一.代數(shù)相對(duì)于幾何、拓?fù)涞葘W(xué)科是較為抽象的一門學(xué)科，具備更多的數(shù)學(xué)文字符號(hào).以西南民族大學(xué)的線性代數(shù)教學(xué)為例，理工科的學(xué)生通常選擇同濟(jì)版的線性代數(shù)教材.該教材首先介紹的就是行列式，這通常使得學(xué)生頓感抽象，導(dǎo)致學(xué)生學(xué)習(xí)代數(shù)的熱情大大降低，甚至到最后學(xué)生學(xué)習(xí)這門課程只是為了應(yīng)付考試，以至于線性代數(shù)的教學(xué)失去了原本的意義.另一方面，抽象與具體本質(zhì)上是統(tǒng)一的，這也是激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的重要因素.而我們目前的線性代數(shù)課堂教學(xué)通常止步于抽象性，而對(duì)于線性代數(shù)的精彩應(yīng)用被舍棄.本文以西南民族大學(xué)的線性代數(shù)教學(xué)為例，分析其教學(xué)現(xiàn)狀，提出線性代數(shù)教學(xué)中存在的難點(diǎn)，并給出相應(yīng)的對(duì)策.

一、線性代數(shù)課堂教學(xué)現(xiàn)狀及其難點(diǎn)分析

西南民族大學(xué)非數(shù)學(xué)專業(yè)類理工科的線性代數(shù)通常設(shè)置為每周4課時(shí)（或5課時(shí)），共17周（或13周），總課時(shí)68課時(shí)（或65課時(shí)）.按照同濟(jì)版（第六版）的線性代數(shù)的前言所示，前五章的內(nèi)容大約需要34課時(shí).實(shí)際上我們現(xiàn)在的教學(xué)也就是講授到第五章.看似我們的課時(shí)大大超出大綱里提到的課時(shí)，實(shí)際上要完全理解線性代數(shù)的內(nèi)容甚至是精髓，68課時(shí)或65課時(shí)是不夠的.此外，同濟(jì)版的教材是針對(duì)全國(guó)的高等院校，當(dāng)然包含重點(diǎn)大學(xué)在內(nèi).而我們是民族院校，學(xué)生的數(shù)學(xué)水平差異較大，特別有一部分?jǐn)?shù)學(xué)基礎(chǔ)較薄弱的少數(shù)民族學(xué)生（這主要是由民族聚居地區(qū)初等教育水平不高所決定），這使得數(shù)學(xué)教師要把握好講課的進(jìn)度以及難易程度，自然加大了數(shù)學(xué)教師的授課難度.其次，線性代數(shù)的抽象性加大了學(xué)生學(xué)習(xí)的難度，同時(shí)也對(duì)數(shù)學(xué)教師的理論水平和授課技能提出了更高的要求.興趣是學(xué)生學(xué)習(xí)的最大動(dòng)力，如何抓住學(xué)生學(xué)習(xí)線性代數(shù)的興趣，這就對(duì)教師的教學(xué)能力提出了更高的要求.比如，該教材的第一章就是講授行列式，顯得比較突兀，學(xué)生頓感抽象；第二章就是矩陣運(yùn)算，矩陣就是一個(gè)數(shù)表，為什么要定義這些矩陣運(yùn)算，這就好比“奉天承運(yùn)皇帝詔曰”，從天而降的概念和運(yùn)算.因此，如何引出這些理論或工具就顯得特別重要.最后，由于同濟(jì)版的線性代數(shù)教材習(xí)題有成套的習(xí)題參考答案，這就勢(shì)必造成部分學(xué)生為了完成任務(wù)照抄習(xí)題答案.這樣導(dǎo)致學(xué)生的學(xué)習(xí)能力沒有提高，教師也無法清楚地了解學(xué)生的學(xué)習(xí)情況.這些現(xiàn)象都是線性代數(shù)教學(xué)中的難點(diǎn)問題.如何改革線性代數(shù)教學(xué)現(xiàn)狀成為目前迫切需要解決的一個(gè)重要問題.

二、線性代數(shù)課堂教學(xué)改革策略

（一）從數(shù)學(xué)研究的歷史背景入手，打造邏輯生動(dòng)的數(shù)學(xué)課堂

數(shù)學(xué)以公式之優(yōu)美、理論之奇妙、論證之嚴(yán)密、應(yīng)用之廣泛令人驚嘆不已！究其原因，數(shù)學(xué)的思維方式發(fā)揮著巨大的威力.數(shù)學(xué)的思維方式是一個(gè)全過程：觀察客觀現(xiàn)象，提出要研究的問題，抓住主要特征，抽象出概念，或者建立模型.按照“觀察—抽象—探索—猜測(cè)—論證”這一數(shù)學(xué)的思維方式去參與教學(xué)，這就使得學(xué)生比較容易學(xué)，而且可以享受學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂趣.比如，線性代數(shù)教材中的行列式和矩陣這兩大工具的引入，勢(shì)必需要從線性代數(shù)研究的中心問題出發(fā)來導(dǎo)出.什么是線性代數(shù)？線性代數(shù)干什么？“線性”就是“一次”，線性代數(shù)的主要研究?jī)?nèi)容就是研究多元的一次方程組與一次函數(shù).一次方程組也稱為線性方程組.常數(shù)項(xiàng)為0的多元一次函數(shù)y=a1x1+…+anxn稱為線性函數(shù)，n個(gè)n元線性函數(shù)組成的函數(shù)組yi=ai1x1+…+ainxn（1≤i≤n）稱為線性變換.線性代數(shù)的兩大主題就是多元線性方程組與線性變換.線性方程組與線性變換可以由方程組或函數(shù)組中的系數(shù)排成矩陣來表示，通過矩陣運(yùn)算來求解方程及解決相關(guān)的應(yīng)用問題，其中最重要最基本的矩陣運(yùn)算是初等變換和乘法這兩個(gè)算法.通過這樣的研究背景的介紹引入矩陣的概念，同時(shí)也說明了定義矩陣運(yùn)算的必要性.因此，線性代數(shù)教學(xué)的第一步需要適當(dāng)調(diào)整同濟(jì)版教材的教學(xué)順序，從解線性方程組出發(fā)，導(dǎo)出矩陣的概念和矩陣的初等變換的算法，利用高斯消元法求解方程.另一方面，特別要討論方程個(gè)數(shù)與未知數(shù)的個(gè)數(shù)相等且是唯一解的這一類線性方程組，除了通用的高斯消元法之外還有沒有其他方法？可不可以只利用方程組的系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)直接求解？由此引入行列式這一符號(hào)（最初行列式的出現(xiàn)僅僅作為一個(gè)速記工具）.因此，正如北京航空航天大學(xué)李尚志教授所說：我們不是以“奉天承運(yùn)皇帝詔曰”的方式從天而降概念、算法和定理，也不是在學(xué)生不知有何用處的情況下先學(xué)好算法再拿去應(yīng)用，而是從研究的歷史背景和問題出發(fā)，在嘗試結(jié)局問題的過程中將所需的算法“發(fā)明”出來.

（二）將線性代數(shù)的實(shí)際應(yīng)用適當(dāng)?shù)匾胝n堂教學(xué)中

線性代數(shù)研究的是最簡(jiǎn)單的方程和函數(shù)，算法也比微積分少得多，按道理應(yīng)當(dāng)容易學(xué).但實(shí)際情況是，多數(shù)學(xué)生學(xué)起來并不輕松.主要困難是太抽象.線性代數(shù)一開始就是一個(gè)接一個(gè)的抽象定義，使初學(xué)者難以理解.比如，行列式為什么這樣定義？矩陣為什么這樣相乘？線性相關(guān)、線性無關(guān)是什么意思，有什么用處？這些問題都讓學(xué)生，甚至很多講授線性代數(shù)課程的教師迷惑不解.因此，除了上述提到的從研究問題的歷史背景引入理論和工具之外，課堂教學(xué)還應(yīng)注重理論和工具的實(shí)際應(yīng)用.例如，利用二階行列式根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)計(jì)算平行四邊形和三角形的面積；判斷線性方程組是否有唯一解實(shí)際上就是判斷系數(shù)矩陣各列是否線性無關(guān)；利用矩陣乘法來實(shí)現(xiàn)平面上和空間中的旋轉(zhuǎn)；計(jì)算空間中的旋轉(zhuǎn)軸時(shí)，實(shí)際上就是求特征值為1的特征向量，等等.當(dāng)然教師選擇的問題，盡量是在現(xiàn)實(shí)生活和學(xué)生今后工作中有用的問題，并且希望是學(xué)生感興趣、容易懂的問題，因此也不需要選擇需要較多專業(yè)知識(shí)或綜合性太強(qiáng)的實(shí)際問題.這樣也使得學(xué)生看到發(fā)明出來的理論和工具并不僅僅局限于某一方面的應(yīng)用，它們還能解決其他許許多多的問題.在科學(xué)研究中，用從許多事物中總結(jié)出來的結(jié)論和方法解決成千上萬的問題，這就是抽象的威力.因此，如果在教學(xué)中不舉任何實(shí)例，不講任何應(yīng)用，只讓學(xué)生死記硬背，勢(shì)必導(dǎo)致學(xué)生害怕抽象，失去了抽象原本的意義.因而這不是抽象的錯(cuò)，也不是學(xué)生的錯(cuò)，而是教學(xué)方式的錯(cuò).

（三）設(shè)置針對(duì)線性代數(shù)應(yīng)用的選修課

由于為線性代數(shù)設(shè)置的課時(shí)數(shù)主要是為了學(xué)生能學(xué)完基礎(chǔ)理論知識(shí)，因此線性代數(shù)課堂中補(bǔ)充的應(yīng)用舉例就顯得相對(duì)較少.但在實(shí)際問題，特別是工程應(yīng)用和理論中會(huì)遇到應(yīng)用線性代數(shù)的知識(shí)和算法.因而，教師可以設(shè)置針對(duì)線性代數(shù)應(yīng)用的選修課，以此強(qiáng)化學(xué)生對(duì)線性代數(shù)的理解和運(yùn)用.

（四）習(xí)題評(píng)講中的舉一反三

由于現(xiàn)行的線性代數(shù)教材都有專門的習(xí)題參考書，這為某些想走捷徑的學(xué)生、只為應(yīng)付作業(yè)任務(wù)的學(xué)生提供了便利.針對(duì)這一現(xiàn)象，教師可以適當(dāng)?shù)馗木幜?xí)題或布置其他參考教材中的練習(xí)，這是其一；其二，教師在評(píng)講習(xí)題時(shí)注重對(duì)理論的融會(huì)貫通，使學(xué)生抓住問題的本質(zhì)，達(dá)到舉一反三.

（五）一學(xué)期安排一到兩次的數(shù)學(xué)文化知識(shí)講座

數(shù)學(xué)課堂除了理論知識(shí)的傳授之外，還需擴(kuò)充一些相關(guān)的數(shù)學(xué)人文知識(shí).數(shù)學(xué)的教學(xué)不僅傳授數(shù)學(xué)知識(shí)，使學(xué)生受到科學(xué)思維方式的訓(xùn)練，而且還需要陶冶人文精神：客觀、公正、講理、嚴(yán)謹(jǐn)、勇于創(chuàng)新、堅(jiān)韌不拔、靈活機(jī)動(dòng)、謙虛謹(jǐn)慎，從而使學(xué)生終身受益.因此，在一學(xué)期的課堂教學(xué)中安排一到兩次數(shù)學(xué)文化知識(shí)講座是很有必要的.這樣讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)家們是如何用數(shù)學(xué)精神探索并解決一個(gè)個(gè)數(shù)學(xué)問題，也讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)理論的創(chuàng)造發(fā)明與發(fā)展的來之不易，激發(fā)學(xué)生的探索精神，也加強(qiáng)學(xué)生無論在學(xué)習(xí)還是社會(huì)生活中的不畏挫折的能力.

三、結(jié)束語

我們通過分析西南民族大學(xué)理工科線性代數(shù)教學(xué)現(xiàn)狀，抓住其教學(xué)中的難點(diǎn)，并提出了必要的改革策略.在明確了線性代數(shù)教學(xué)的問題所在之后，更需要我們從事線性代數(shù)教學(xué)研究的教師豐富自身的數(shù)學(xué)內(nèi)涵，拓寬自身的數(shù)學(xué)視野，在備課的過程中考慮全面，使其在課堂教學(xué)中真正體現(xiàn)數(shù)學(xué)的科學(xué)思維，使抽象理論與具體實(shí)際融會(huì)貫通，讓學(xué)生領(lǐng)略數(shù)學(xué)的風(fēng)采.

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