張靜

【摘要】繼“問題的解決”之后，“數(shù)學(xué)理解”已成為世界數(shù)學(xué)教育界如今所關(guān)注的又一中心話題.筆者基于英國數(shù)學(xué)教育家R·斯根普提出的兩種數(shù)學(xué)理解模式，對“正弦定理”教學(xué)進行了實踐.闡明教師如何教會學(xué)生自主合作探究，如何讓學(xué)生親歷數(shù)學(xué)知識的形成和發(fā)現(xiàn)過程，從而突出數(shù)學(xué)本質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識，激發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)知識探索.

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)理解；正弦定理；教學(xué)設(shè)計

一、正弦定理教學(xué)實踐及評析

（一）創(chuàng)設(shè)情境

映入眼簾的是雄偉的天山（新疆的象征）（教師展示PPT），但天山也給南北疆的交通帶來了不便.如果我們想縱橫天山修一條隧道，就需要取得相關(guān)的數(shù)據(jù)，這些數(shù)據(jù)有些是可以測得的，有些數(shù)據(jù)是要通過計算獲得的，怎樣準確測量，又怎樣計算？今天我們將要學(xué)習(xí)的正弦定理，將有助于這類問題的解決.

【設(shè)計意圖】通過創(chuàng)設(shè)學(xué)生熟悉的問題情境，引發(fā)探究新知的欲望，學(xué)生認識到，數(shù)學(xué)和我們的生活是息息相關(guān)的.

（二）正弦定理的發(fā)現(xiàn)

1.第一次發(fā)現(xiàn)

問題1：下面請同學(xué)們看日常生活中我們常見的一個問題，房屋與地面的距離為3 m，要對屋頂進行維修，需要沿著與地面成40°夾角的梯子登到屋頂上，請大家思考，梯子長至少為多少米？如何用數(shù)學(xué)語言來描述呢？

針對問題1師生活動如下：

生：用3比sin40°，這個問題其實是解直角三角形.用符號語言可以表述如下：已知，在△ABC中，B=40°，C=90°，b=3 m，求c.

師：很好，其實這個生活中的小問題就是我們數(shù)學(xué)中是已知△ABC的“角角邊”，要求其中一角的對邊.請同學(xué)們進一步思考下面的問題.

問題2：由于地基不穩(wěn)，房屋發(fā)生了傾斜，墻面與地面夾角為93°，需要沿著與地面成40°夾角的梯子登到屋頂上，大家想想梯子長至少為多少米？

師生活動如下：

師：你來說說，你想到什么辦法算出梯子的長了呢？

生：這個題和剛才一樣，也是解三角形，可以先把他轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)模型，只不過……它不是直角三角形，我不知道怎么辦了.

師：轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)模型即，已知在△ABC中，B=40°，C=93°，b=3 m，求c=？請大家對照圖1，h是我們房屋……

生：老師，我知道啦！和第一個問題一樣，首先c=hsinB，而h是未知的，所以再用一次解直角三角形，sin∠DCA=hb，就可以求出h，h=bsin∠DCA代入c=hsinB=bsin∠DCAsinB，就算出來了.

師：真棒！這個式子左邊是一邊，右邊是比值的形式，并且有邊有角，大家能不能整理一下，讓這個式子清晰、明了？

（很快，有學(xué)生說，可以cb=sin∠DCAsinB，有學(xué)生說，csin∠DCA=bsinB）

師：大家說的都很好，我們可以把上面的式子化成是等號左右兩邊對稱的式子，你認為哪一種更美、更對稱呢？

生：第二種，第二種更對稱.

問題3：好，我們也可以把上式寫成csinC=bsinB.請同學(xué)們猜想一下，在一般三角形中這個性質(zhì)成立嗎？

師生活動如下：

師：無論成立不成立，是不是要通過證明呢？誰來說說，我們要證什么？

生（齊聲）：asinA=bsinB=csinC.

師：很好，也就是說，我們需要證明asinB=bsinA，asinC=csinA（一邊放ppt）.

生：哦，asinB，bsinA均表示△ABC的邊AB上的高，從而asinB=bsinA成立.

師：很好，我們用同樣的方法，也可以證明asinC=csinA成立.所以我們說在任意角形中，都有asinA=bsinB=csinC.

【設(shè)計意圖】教師沒有開門見山地將定理的內(nèi)容告訴學(xué)生，而是借用銳角三角函數(shù)，通過實例中地基變化將直角三角形中的問題，自然地引申到任意三角形中，并逆向使用這個過程推得定理.通過對任意三角形中正弦定理的探索、發(fā)現(xiàn)和證明過程，使學(xué)生感受“類比—猜想—證明”的科學(xué)研究問題的思路和方法.同時引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)正弦定理在形式上具有對稱美.

2.第二次發(fā)現(xiàn)

問題1：我們知道，在直角三角形ABC中，邊和其所對的角的正弦值之比的幾何意義是斜邊c.那么在一般的三角形中，我們猜想，邊和其所對的角的正弦值之比是否也等于某一固定值，并且也具有某種幾何意義呢？

師生活動如下：

師：我們試想，在一般的三角形中，也存在與之相應(yīng)的比值k使asinA=bsinB=csinC=k，那么請同學(xué)們考慮一下這個固定的比值k是由△ABC中那些元素唯一確定呢？

生：由△ABC的一條邊和一個角確定的.

師（追問）：哪個角呢？

生：這條邊的對角.

師：很好，那么請大家思考當△ABC的一條邊及其對角的大小確定時，這個三角形的形狀是不是唯一確定的？

生：不確定.

問題2：顯然當△ABC的一條邊及其對角的大小確定時，這個三角形的形狀并不是唯一確定的.請大家觀察大屏幕（演示課件），同時請大家思考思考：當△ABC的一條邊BC的大小和位置固定，并且其對角A的大小也確定時，這個三角形的形狀會發(fā)生什么樣的變化？頂點A的軌跡是什么呢？

生：會隨著頂點A的位置的變化而變化，A由低變高，再變低，我猜A的軌跡可能是一條圓弧.

生：對，可以利用角A確定，BC邊確定，根據(jù)BC邊所對的角A是相等的，而在圓中同弧所對的圓周角也是相等的.

師：很好，我們來看大屏幕，頂點A的運動軌跡是一段圓弧.請大家結(jié)合三角形的這個外接圓思考，這個比值k等于什么呢？（演示課件）

生：當頂點A運動到△ABC是直角三角形時，這個比值k正好是這個三角形外接圓的直徑.

師：很好，和剛才發(fā)現(xiàn)正弦定理一樣，我們通過類比直角三角形，又獲得了一個重要的發(fā)現(xiàn)：asinA=bsinB=csinC=2R.

【設(shè)計意圖】本設(shè)計中教師重視引導(dǎo)學(xué)生通過觀察、類比、歸納、實驗、檢驗，從而讓學(xué)生自然而然地理解正弦定理的比值為什么等于外接圓的直徑.

（三）正弦定理的應(yīng)用及小結(jié)

下面我們就用正弦定理來解決上課開始提出的問題.

為了測定天山某預(yù)修隧道A地到C地的距離，在其附近選定1公里長的基線AB，并測得B=120°，C=45°，如何求A，C兩點的距離？（請學(xué)生思考并回答.）

學(xué)生總結(jié)：1.應(yīng)用正弦定理可以解決什么樣的三角形問題？

2.本節(jié)課你學(xué)到了哪些數(shù)學(xué)思想方法？

思考題：1.“已知三角形的三條邊（SSS）或邊角邊（SAS），如何求其余邊與角？”

2.課后利用網(wǎng)絡(luò)資源，查詢數(shù)學(xué)史上，數(shù)學(xué)家是怎樣發(fā)現(xiàn)正弦定理的.

【設(shè)計意圖】通過學(xué)生總結(jié)本節(jié)課的兩次知識發(fā)生的過程，使學(xué)生頭腦中形成關(guān)于本課內(nèi)容的一個清晰的知識結(jié)構(gòu)，同時體會歸納—類比數(shù)學(xué)思想的認識.提出的思考，即對所解決的問題進行變式，為后面要學(xué)習(xí)的余弦定理作鋪墊.補充讓學(xué)生查詢正弦定理發(fā)現(xiàn)的歷史過程，可以促進學(xué)生全面、系統(tǒng)地理解正弦定理.

二、幾點思考

綜觀上述案例，突出數(shù)學(xué)本質(zhì)，促進學(xué)生探究發(fā)現(xiàn)方面，有以下三點精彩之處.

（一）在課堂中培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)美、創(chuàng)造美的能力，讓學(xué)生在學(xué)數(shù)學(xué)的過程中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的美

案例中教師通過引導(dǎo)學(xué)生感受任意三角形中的正弦定理具有的對稱性，使學(xué)生認識到數(shù)學(xué)中的對稱和和諧無處不在，從而加深學(xué)生對數(shù)學(xué)美的認識.

（二）注重數(shù)學(xué)定理的形成過程，讓學(xué)生親歷知識“再發(fā)現(xiàn)”的過程，深刻認識數(shù)學(xué)的本質(zhì)

本節(jié)課最后，教師布置學(xué)生利用網(wǎng)絡(luò)資源查詢數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)正弦定理的發(fā)現(xiàn)，這其實是數(shù)學(xué)史在數(shù)學(xué)課堂中的隱性滲透，不僅可以加深對于正弦定理的理解，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，更重要的是，幫助學(xué)生更好地體會數(shù)學(xué)定理的產(chǎn)生和發(fā)展過程，認識到數(shù)學(xué)發(fā)展既有來自數(shù)學(xué)外部的實際需求，也有來自數(shù)學(xué)內(nèi)部邏輯理論的需要.

（三）注重數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)，培養(yǎng)學(xué)生獨立思考的能力

在該教學(xué)設(shè)計中，教師通過不斷刺激學(xué)生的認知結(jié)構(gòu)，使得學(xué)生根據(jù)問題情境進行自我組織，通過自己探索發(fā)現(xiàn)，最終順理成章的發(fā)現(xiàn)正弦定理并得到正弦定理的比值為2R.培養(yǎng)了學(xué)生思維的靈活性、深刻性和創(chuàng)新性，并在發(fā)現(xiàn)過程中體驗了成功的愉快感.

三、基于R·斯根普提出的“數(shù)學(xué)理解類型”對本節(jié)課的再思考

R·斯根普認為，學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識的過程中，通常有兩種含義迥然不同的數(shù)學(xué)理解模式：工具性理解和關(guān)系性理解.就數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)而言，斯根普明確指出，更多的理解應(yīng)當定位于“關(guān)系性理解”即最終我們應(yīng)當讓學(xué)生獲得的是“關(guān)系性理解”.

通過教學(xué)實踐發(fā)現(xiàn)，高中數(shù)學(xué)課堂中，“工具性理解”的教學(xué)形式是比較容易獲得明顯的教學(xué)效果，卻對數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)思維方法、學(xué)生的情感關(guān)注度較少，不利于學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中知識遷移的發(fā)生，也不利于他們對整個知識體系的掌握和理解，更不利于其長期數(shù)學(xué)能力的培養(yǎng)和提高.但數(shù)學(xué)中更多帶有普遍意義的是概念、定理形成的背景、數(shù)學(xué)思想方法、數(shù)學(xué)思維過程、問題解決與知識間相互關(guān)聯(lián)的實質(zhì)，這些往往都可以通過“關(guān)系性理解”的教學(xué)方式來學(xué)習(xí)，這對學(xué)生弄清楚概念、定理、命題的來龍去脈，真正理解數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)及長遠的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是有益的.