楊新運(yùn)

摘 要：反思是高中數(shù)學(xué)課堂解題教學(xué)中不可或缺的重要環(huán)節(jié)。文章主要闡述數(shù)學(xué)解題完成后，如何引導(dǎo)學(xué)生對(duì)解題條件、解題方法、解題結(jié)果進(jìn)行反思。運(yùn)用具體實(shí)例分析，引導(dǎo)學(xué)生解題時(shí)要善于挖掘題中的隱含條件，通過(guò)一題多解、一題多變及多題一解的反思訓(xùn)練，找到解題規(guī)律，掌握解題方法，提升解題經(jīng)驗(yàn)；最后再對(duì)解題結(jié)果進(jìn)行反思，檢驗(yàn)解題結(jié)果的完備性與合理性。這樣不僅提高學(xué)生的解題能力，還培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維能力與創(chuàng)造性思維能力。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；課堂教學(xué)；反思；解題條件；解題方法；解題結(jié)果

中圖分類(lèi)號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1008-3561（2016）22-0062-02

數(shù)學(xué)教育家弗賴(lài)登塔爾（H.Freudenthal）教授指出：“反思是數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的核心和動(dòng)力?！边m當(dāng)反思，能提高學(xué)生的理解能力和思維能力。反思就是學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中不斷進(jìn)行概括、總結(jié)，對(duì)自己思維過(guò)程與結(jié)果進(jìn)行再認(rèn)識(shí)、再加工的檢驗(yàn)過(guò)程，是學(xué)習(xí)中不可缺少的重要一環(huán)。習(xí)題是數(shù)學(xué)的“靈魂”，數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)是離不開(kāi)解題的。在進(jìn)行高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)時(shí)，教師要引導(dǎo)學(xué)生積極地進(jìn)行解題后的反思：反思題目的解題條件是否正確使用，反思題目是否有一題多解、一題多變，反思解題結(jié)果是否完整，結(jié)論是否正確等問(wèn)題。在一系列的解題反思過(guò)程中，重視提高學(xué)生的解題能力，培養(yǎng)學(xué)生良好的思維品質(zhì)與學(xué)習(xí)習(xí)慣。

一、反思解題條件

解題時(shí)的關(guān)鍵前提是看清題目的條件，然后尋找已知條件與問(wèn)題之間的聯(lián)系，利用學(xué)過(guò)的知識(shí)方法進(jìn)行解析。有些學(xué)生在解題過(guò)程中，經(jīng)常忽略題中的重要條件或?qū)@些條件重視程度不夠，導(dǎo)致解題結(jié)果失誤。因此，在解題教學(xué)過(guò)程中，注重引導(dǎo)學(xué)生反思解題條件，是十分重要的。

通過(guò)以上例子可以看出，在解題過(guò)程中認(rèn)真觀察題目的解題條件是多么重要。不僅要考慮直觀給出的條件，還得挖掘題目中隱含的條件。因此，教師應(yīng)該教會(huì)學(xué)生如何反思解題條件，重視解題條件的運(yùn)用，保證解題順利進(jìn)行。

二、反思解題方法

學(xué)生做完一道題后，不僅要簡(jiǎn)單回顧推理過(guò)程或檢驗(yàn)運(yùn)算結(jié)果，還應(yīng)根據(jù)題目特點(diǎn)進(jìn)行觀察與對(duì)比，反思本題還有沒(méi)有新的解法，若有另解，則應(yīng)分析比較哪種解法更優(yōu)；本題跟前面做過(guò)的什么題目相似，能否總結(jié)一下此類(lèi)題目的一般規(guī)律；本題還能否進(jìn)行變式、擴(kuò)展和引申等等。要讓學(xué)生開(kāi)闊思維，理清解題思路，找到解題規(guī)律，權(quán)衡解法優(yōu)劣，使解題能力更上一層樓。

1. 一題多解

一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題，從不同角度考慮，往往有不同的解法，這就是常講的“一題多解”。一題多解可以培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維能力，讓學(xué)生體會(huì)不同解法的優(yōu)劣，有利于調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)積極性。

以上一題多解，不僅看到知識(shí)的內(nèi)在關(guān)聯(lián)、靈活轉(zhuǎn)化和巧妙運(yùn)用，還復(fù)習(xí)了證明等式的思路與方法。通過(guò)一題多解，有利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維，使學(xué)生不僅僅滿(mǎn)足得到一道習(xí)題的答案，而去追求更簡(jiǎn)便、更創(chuàng)新的解題方法。適當(dāng)?shù)囊活}多解，可以激發(fā)學(xué)生再發(fā)現(xiàn)與再創(chuàng)造的欲望，防止出現(xiàn)思維定式，鍛煉思維的廣闊性、靈活性，從而提高學(xué)生解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力。

2. 多題一解

3. 一題多變

有些數(shù)學(xué)問(wèn)題可以從另外的角度提出問(wèn)題，或者改變一下條件，又可以變成一道新的問(wèn)題，這種方法稱(chēng)為“一題多變”。一題多變能讓學(xué)生更好地理解問(wèn)題的本質(zhì)，增強(qiáng)創(chuàng)新思維能力，還能幫助學(xué)生對(duì)知識(shí)的系統(tǒng)性、特殊性與廣泛性進(jìn)行深刻理解。例如：求二次函數(shù)f（x）=x2-2x-3的最值，可以做如下的變式。變式一：當(dāng)x∈[-2，2]時(shí)，求f（x）=x2-2x-3的最值。變式二：當(dāng)x∈[-a，a]時(shí)，求f（x）=x2-2x-3的最值。變式三：當(dāng)x∈[-2，5]時(shí)，求f（x）=x2-2x-3的最值。這時(shí)候，啟發(fā)學(xué)生深入思考，經(jīng)過(guò)一定時(shí)間的反思，學(xué)生又提出了以下變式：當(dāng)x∈[0，2]時(shí)，函數(shù)y=x2-2ax+a2-2a+2有最小值5，求實(shí)數(shù)a的值。通過(guò)對(duì)一題多變的反思，可以對(duì)某些知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行系統(tǒng)分析，挖掘知識(shí)間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，使知識(shí)系統(tǒng)化，提高學(xué)生審題能力、應(yīng)變能力。重視一題多變的訓(xùn)練，可以促進(jìn)知識(shí)整合，提升綜合運(yùn)用能力，達(dá)到事半功倍的效果。

三、反思解題結(jié)果

數(shù)學(xué)教育家波利亞說(shuō)過(guò)，聰明的人從結(jié)果開(kāi)始。通過(guò)對(duì)結(jié)果的反思，能發(fā)現(xiàn)和糾正運(yùn)算中的失誤，或?qū)忸}結(jié)果的完備性、合理性進(jìn)行檢驗(yàn)，找出問(wèn)題所在，然后進(jìn)行適當(dāng)?shù)恼{(diào)整。教學(xué)中應(yīng)有意識(shí)地選用一些易錯(cuò)題，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行解題后的反思。

1. 反思解題結(jié)果的完備性

在完成數(shù)學(xué)解題后，老師應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真思考解題結(jié)果是否完善，有沒(méi)有遺漏的情況，以保證解題的正確性。如下面一個(gè)問(wèn)題，已知圓C：x2+y2-2x-7=0，求過(guò)點(diǎn)P（3，4）且被圓C截得的弦長(zhǎng)為4的弦所在的直線(xiàn)方程。學(xué)生很容易發(fā)生漏解的情況，多數(shù)學(xué)生這樣解答：設(shè)過(guò)點(diǎn)P的直線(xiàn)方程為y-4=k（x-3），然后求出圓心（1，0）到直線(xiàn)的距離d=，最后利用弦心距、半徑及半弦長(zhǎng)構(gòu)成的勾股定理關(guān)系，解得k=，代入所設(shè)直線(xiàn)方程得到3x-4y+7=0。而這個(gè)結(jié)果是有遺漏的，如果結(jié)合一下圖形進(jìn)行反思推理，就可以發(fā)現(xiàn)還有一條斜率不存在的直線(xiàn)符合題意，即x=3。像這樣的題目，學(xué)生容易受固定思維的影響，認(rèn)為直線(xiàn)斜率一定存在。因此，教師在解析幾何問(wèn)題的講解時(shí)，應(yīng)讓學(xué)生多動(dòng)手作圖，把抽象的問(wèn)題具體化，并對(duì)解題結(jié)果進(jìn)行反思對(duì)比，保證解題結(jié)果的完備性及正確性。

2. 反思解題結(jié)果的合理性

有些同學(xué)做作業(yè)只追求速度不注重質(zhì)量，解完題目就不予理睬，由此產(chǎn)生許多意想不到的錯(cuò)誤。比如，結(jié)論荒唐、不符合實(shí)際要求，以特殊代替一般，以日常概念代替科學(xué)概念等。因此，在解題教學(xué)時(shí)，要引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真對(duì)結(jié)果的合理性進(jìn)行反思。例如：在△ABC中，已知a=2，b=2，C=15°，求A。有同學(xué)給出這樣的解題過(guò)程：由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos15°=8-4，所以，又由正弦定理得sinA，而0°

四、結(jié)束語(yǔ)

總之，解題后的反思是十分重要的，如果不主動(dòng)反思，解題能力和思維能力很難獲得質(zhì)的提升。學(xué)生在解題完成后，應(yīng)當(dāng)認(rèn)真地對(duì)題目進(jìn)行反思總結(jié)，不斷提出問(wèn)題與解決問(wèn)題，使自己掌握更多的數(shù)學(xué)知識(shí)和能力。解題后的反思與交流，讓學(xué)生獲得的不僅是數(shù)學(xué)知識(shí)與方法，還有思維能力的鍛煉與提升，情感的交流與碰撞等等。所以，教師在解題教學(xué)中應(yīng)重視反思，鼓勵(lì)學(xué)生反思，并巧妙利用反思，使數(shù)學(xué)課堂跌宕起伏，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，讓學(xué)生樂(lè)于解題，善于解題，在解題反思中體驗(yàn)成功的喜悅，獲得學(xué)習(xí)上的突破與進(jìn)步。

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