唐平 付天貴
摘 要 數(shù)學(xué)中的直觀是借助于經(jīng)驗(yàn)、觀察、測(cè)試或類比聯(lián)想所產(chǎn)生的對(duì)事物關(guān)系直接的感知與認(rèn)識(shí)。幾何直觀是一種能力,主要是指利用圖形描述和分析問題。從感知、理解、把握和推理四個(gè)水平建構(gòu)了義務(wù)教育階段幾何直觀的分析框架,框架為義務(wù)教育階段學(xué)生幾何直觀的測(cè)試和發(fā)展研究奠定了基礎(chǔ)。
關(guān)鍵詞 義務(wù)教育 幾何直觀 分析框架
一、問題提出
發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)是數(shù)學(xué)課程改革的目標(biāo)。為此,《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》提出了要發(fā)展學(xué)生的數(shù)感、符號(hào)意識(shí)、空間觀念、幾何直觀、數(shù)據(jù)分析觀念、運(yùn)算能力、模型思想、應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)。幾何直觀是標(biāo)準(zhǔn)提出的十個(gè)核心概念之一,它在內(nèi)容、意義和方法上遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過對(duì)幾何圖形本身的研究范疇,在平面幾何、代數(shù)運(yùn)算、解析幾何、函數(shù)分析、概率統(tǒng)計(jì)、立體幾何等領(lǐng)域都用到幾何直觀,它貫穿數(shù)學(xué)的整個(gè)領(lǐng)域和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究的整個(gè)過程,成為近年來關(guān)注的熱點(diǎn)。在CNKI數(shù)據(jù)庫中以幾何直觀為主題進(jìn)行文獻(xiàn)檢索,1951年至1959年有關(guān)文獻(xiàn)有25篇,1960年至1966年有25篇,1967年至1979年有16篇(1967年至1975文獻(xiàn)顯示為0篇),1980年代至新世紀(jì)前10年每年文獻(xiàn)見表1.
近5年,檢索到的以幾何直觀為主題的相關(guān)文獻(xiàn)分別是556篇、636篇、689篇、791篇、427篇(注:2015年文獻(xiàn)只統(tǒng)計(jì)到8月份)。從文獻(xiàn)統(tǒng)計(jì)可以看出,新課程實(shí)施以來,特別是《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》頒布以來,幾何直觀受到數(shù)學(xué)教育界的廣泛關(guān)注。
二、幾何直觀的內(nèi)涵
早有研究論及直觀和幾何直觀。1951年《人民教育》第三卷第一期刊登徐特立先生《各科教學(xué)法講座》[1]一文,在論及辯證邏輯和形式邏輯的區(qū)別時(shí),引用恩格斯用高等數(shù)學(xué)和初等數(shù)學(xué)的區(qū)別進(jìn)行說明,“初等數(shù)學(xué)是技術(shù)的,因?yàn)樗臄?shù)量是固定的、靜止的,帶直觀性的,直接出來數(shù)量的,如算術(shù)、初等幾何”,這是較早把直觀概念與數(shù)學(xué)內(nèi)容聯(lián)系起來的文獻(xiàn)。1952年中央教育部翻譯室翻譯的《蘇聯(lián)初等學(xué)校算術(shù)教學(xué)大綱》中提到學(xué)生獲得直觀幾何的基本知識(shí)及實(shí)際應(yīng)用這些知識(shí)的技能,認(rèn)為學(xué)習(xí)幾何教材,應(yīng)該用直觀教學(xué)法,并給學(xué)生一些實(shí)際經(jīng)驗(yàn)[2]。其后,有研究者論述了直觀教具的制作(胡元愷,1956;錢林坤,1958)。顯然這里的直觀幾何是課程名稱,直觀教學(xué)法是一種教學(xué)方法。1982年,上海市數(shù)學(xué)會(huì)邀請(qǐng)法國科學(xué)院院士G.Choquet在上海市科學(xué)會(huì)給數(shù)學(xué)教師做報(bào)告,報(bào)告論及幾何的作用和數(shù)學(xué)中的直觀,在總結(jié)法國新數(shù)學(xué)的經(jīng)驗(yàn)時(shí),G.Choquet院士說:“在新數(shù)學(xué)的探索中,他們忘記了不經(jīng)充分試驗(yàn)而作根本性改變總有極大風(fēng)險(xiǎn)的……這種想法使他們忘記了學(xué)生,忘記了直觀,特別是幾何直觀的作用”[3]。這里出現(xiàn)了幾何直觀一詞。此后,較多研究涉及幾何直觀。
直觀是通過對(duì)客觀事物的直接接觸而獲得的感性認(rèn)識(shí)。對(duì)于幾何直觀,一種觀點(diǎn)認(rèn)為,幾何直觀是進(jìn)行數(shù)學(xué)問題解決的方法。在此觀點(diǎn)下,研究者研究了運(yùn)用幾何直觀進(jìn)行不同學(xué)段、不同領(lǐng)域的數(shù)學(xué)問題的理解和解決(李長(zhǎng)明,1986;鄭樹鈺,高洪義,楊貴林,1990;詹青松,1991;黨四善,1999;華瑛,2011;王海俠,孫和軍,2014;華旦玲,2014),或是研究借助幾何直觀加強(qiáng)數(shù)學(xué)教學(xué)的理解(王敬庚,1993;范秋君,1996;戴年寶,1999;黃偉星,顧曉華,2011;蔡宏圣,2013;宋曉燕,黃翔,2013;陳濤清,2015)。研究認(rèn)識(shí)到了幾何直觀對(duì)于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和理解的作用,但并未對(duì)幾何直觀是什么給予明確說明。一種觀點(diǎn)認(rèn)為幾何直觀是一種思維形式。徐本順,商應(yīng)鋼(1984)認(rèn)為,在科學(xué)創(chuàng)造的過程中,既有形象思維,又有抽象思維,另外還有介于二者間的中間環(huán)節(jié),借助于幾何直觀進(jìn)行思維就屬于這樣一個(gè)中間環(huán)節(jié)。幾何直觀既有形象思維,又有抽象思維,這是一種重要的思維形式。蔣文蔚(1997)認(rèn)為,幾何直觀是一種思維形式,它是人腦對(duì)客觀事物及其關(guān)系的一種直接識(shí)別或猜想的心理狀態(tài)。也有研究者認(rèn)為,幾何直觀是一種能力。數(shù)學(xué)中的直觀是借助于經(jīng)驗(yàn)、觀察、測(cè)試或類比聯(lián)想,所產(chǎn)生的對(duì)事物關(guān)系直接的感知與認(rèn)識(shí),幾何直觀是借助于見到的或想到的幾何圖形的形象關(guān)系產(chǎn)生對(duì)數(shù)量關(guān)系的直接感知[4]。2003年頒布的《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗(yàn))》明確提出要培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的幾何直觀能力;《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》也指出:幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問題。幾何直觀是一種能力的觀點(diǎn)得到國內(nèi)學(xué)者廣泛的認(rèn)同[5]。
由此可見,幾何直觀就是利用圖形描述和分析問題,它是一種能力,幾何直觀能力就是利用圖形描述問題、分析問題、解決問題的能力。幾何直觀是在直觀感知的感性基礎(chǔ)之上所形成的理性思考。由于數(shù)學(xué)的研究對(duì)象是空間形式和數(shù)量關(guān)系,所以幾何直觀就是學(xué)習(xí)者借助于圖形的形象關(guān)系對(duì)空間形式和數(shù)量關(guān)系進(jìn)行感知、理解和把握,是學(xué)習(xí)者對(duì)于數(shù)學(xué)對(duì)象的幾何屬性或與幾何屬性密切相關(guān)的一些屬性的整體把握和直接判斷。幾何直觀研究對(duì)象超越幾何圖形本身研究范疇,包括了數(shù)與代數(shù)、圖形與幾何、統(tǒng)計(jì)與概率學(xué)科領(lǐng)域。
三、幾何思維水平研究
20世紀(jì)50年代,荷蘭學(xué)者范·西爾夫婦研究了幾何思維的發(fā)展,建構(gòu)了幾何思維發(fā)展的模式,該模式由認(rèn)識(shí)、分析、非正式演繹、正式演繹、嚴(yán)密5個(gè)水平構(gòu)成。范·西爾夫婦對(duì)每一水平都進(jìn)行了描述,并指出這些水平是非連續(xù)的。然而,研究者研究了范·西爾的幾何思維水平,指出這些水平是動(dòng)態(tài)的、連續(xù)的[6]。Gutierrez和Jaime(1987)通過對(duì)職前教師的測(cè)量,證明了水平1到水平4的存在和層次性,但他們認(rèn)為水平5(嚴(yán)密性)有待進(jìn)一步的研究確認(rèn)[7]。結(jié)合后來的研究成果,80年代,范·西爾將幾何思維水平整合為直觀水平、描述水平和理論水平。直觀水平是指整體地認(rèn)識(shí)幾何對(duì)象;描述水平是指通過幾何性質(zhì)去描述幾何對(duì)象;理論水平是指通過演繹去證明幾何關(guān)系。阿倫·霍夫(1981)研究了幾何中的技能,認(rèn)為視覺方面的技能、語言方面的技能、繪圖方面的技能、邏輯方面的技能、應(yīng)用方面的技能這5個(gè)方面的技能是重要和需要訓(xùn)練的,他把這5方面的技能與范·西爾幾何思維5水平整合,形成了5×5幾何技能模式。雖然范·西爾和阿倫·霍夫未直接研究幾何直觀,同時(shí)他們的研究只局限于幾何學(xué)科領(lǐng)域,但他們的研究為幾何直觀研究奠定了基礎(chǔ)。
國內(nèi)對(duì)幾何思維水平的研究,幾乎都以范·西爾幾何思維模式為基礎(chǔ)。張和平、李俊央和項(xiàng)昭(2007)研究了義務(wù)教育初中數(shù)學(xué)課程中的幾何直觀性水平,同時(shí)調(diào)查了初中生幾何直觀性水平,根據(jù)他們的研究,初中學(xué)生幾何直觀水平很難達(dá)到嚴(yán)密水平。馮雪嬌、金美月(2011)從直觀水平、描述水平和理論水平三個(gè)方面研究了多元文化背景下初中生幾何認(rèn)知水平,發(fā)現(xiàn)學(xué)生都能達(dá)到直觀水平,而不能達(dá)到描述和理論水平。盧英和黃燕萍(2014)從幾何圖形的觀察、分解、組合和想象四個(gè)方研究了初中生幾何思維水平的發(fā)展。
四、幾何直觀分析框架
幾何直觀是一種能力,是學(xué)習(xí)者借助于圖形的形象關(guān)系對(duì)空間形式和數(shù)量關(guān)系進(jìn)行感知、理解、把握和推理的能力。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)、研究過程中,人們常借助幾何直觀去描述問題、分析問題、解決問題。以范·西爾幾何思維水平和阿倫·霍夫幾何直觀技能為基礎(chǔ),結(jié)合幾何直觀的內(nèi)涵,可以建構(gòu)起如表2的直觀分析框架。
在中小學(xué)數(shù)學(xué)教育教學(xué)活動(dòng)中,幾何直觀不僅體現(xiàn)在教學(xué)理念的層面,更體現(xiàn)在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)中,學(xué)生通過如拼圖、折紙、畫圖等活動(dòng),加深對(duì)所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)的認(rèn)識(shí)和理解,進(jìn)行判斷和推理。義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)把結(jié)果性目標(biāo)分為了解、理解、掌握和運(yùn)用四個(gè)水平,并對(duì)每個(gè)水平進(jìn)行了描述。以上所建構(gòu)的幾何直觀分析框架,與義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)課程目標(biāo)相對(duì)應(yīng),為義務(wù)教育階段學(xué)生幾何直觀能力測(cè)試和研究學(xué)生幾何直觀發(fā)展奠定了基礎(chǔ)。
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[作者:唐平(1979-),女,重慶永川人,重慶文理學(xué)院數(shù)學(xué)與財(cái)經(jīng)學(xué)院講師,碩士;付天貴(1969-),男,重慶酉陽人,重慶文理學(xué)院數(shù)學(xué)與財(cái)經(jīng)學(xué)院副教授,西南大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院在讀博士研究生。]
【責(zé)任編輯 陳國慶】