魏有蓮

（三明市第一中學(xué)，福建三明365001）

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問題引領(lǐng)式數(shù)學(xué)生態(tài)課堂的構(gòu)想
——以“幾何概型”概念教學(xué)為例

魏有蓮

（三明市第一中學(xué)，福建三明365001）

摘要：問題引領(lǐng)式數(shù)學(xué)生態(tài)課堂將數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容轉(zhuǎn)化為問題，以問題驅(qū)動學(xué)生主動學(xué)習(xí)和建構(gòu)知識?，F(xiàn)以“幾何概型”概念教學(xué)為例，將生態(tài)課堂的流程從“領(lǐng)受、領(lǐng)悟、提升”三個階段拓展為：創(chuàng)設(shè)情境，提出問題；教師引領(lǐng)，深化問題；自主學(xué)習(xí)，探究問題；合作研討，解決問題；領(lǐng)悟新知，應(yīng)用問題；升華知識，拓展問題六個環(huán)節(jié)，數(shù)學(xué)生態(tài)課堂教學(xué)更加具有操作性.

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)教學(xué)；問題引領(lǐng)；生態(tài)課堂

一、問題引領(lǐng)式數(shù)學(xué)生態(tài)課堂的基本含義

問題引領(lǐng)式數(shù)學(xué)生態(tài)課堂，是以教師引導(dǎo)為前提，以問題研究為載體，以自主學(xué)習(xí)為主線，讓學(xué)生終生受益為目的，實(shí)現(xiàn)教學(xué)與學(xué)生發(fā)展相統(tǒng)一的課堂。這種課堂通過教師、學(xué)生、教學(xué)環(huán)境之間的對話和互動，教學(xué)關(guān)注點(diǎn)由認(rèn)知領(lǐng)域走向生命領(lǐng)域。它有四個特點(diǎn)：

1.開放性。在問題引領(lǐng)下，數(shù)學(xué)課堂從封閉走向開放，系統(tǒng)內(nèi)外各要素彼此相互聯(lián)系，通過信息的流動、交換和解讀，保證學(xué)生能夠同化新知識，建立起新舊知識之間的聯(lián)系。

2.共生性。學(xué)生在探究問題的過程中，通過交流、互動、質(zhì)疑、爭論等環(huán)節(jié)一起建構(gòu)數(shù)學(xué)知識，實(shí)現(xiàn)共同發(fā)展。同時(shí)課堂精彩的動態(tài)生成也能促進(jìn)教師的專業(yè)成長。

3.多樣性。數(shù)學(xué)生態(tài)課堂系統(tǒng)與自然界生態(tài)系統(tǒng)相似，課堂是動態(tài)生成的，教學(xué)方法和評價(jià)方式是多樣的，學(xué)生的表現(xiàn)是多姿多彩的。

4.可持續(xù)性。問題引領(lǐng)式數(shù)學(xué)生態(tài)課堂，在傳授數(shù)學(xué)知識的同時(shí)，特別注意讓學(xué)生掌握學(xué)習(xí)方法，養(yǎng)成主動學(xué)習(xí)和探究的習(xí)慣，為將來可持續(xù)發(fā)展奠基。

二、問題引領(lǐng)式數(shù)學(xué)生態(tài)課堂的初步構(gòu)想

“生態(tài)課堂的宗旨是一切為了學(xué)生，學(xué)生在教師的引導(dǎo)下自由開放地獨(dú)立自主地學(xué)習(xí)。生態(tài)課堂的流程可分為‘領(lǐng)受、領(lǐng)悟、提升’三個階段”。領(lǐng)受：教師提出問題，學(xué)生弄清問題含義，接受學(xué)習(xí)任務(wù)。領(lǐng)悟：通過對問題的探究和討論，學(xué)生解決問題，領(lǐng)會新知識，生成新知識。提升：對新知識應(yīng)用和拓展，思維能力和創(chuàng)新精神得到發(fā)揮和張揚(yáng)，實(shí)現(xiàn)課堂教學(xué)的生命價(jià)值。

1.創(chuàng)設(shè)情境，提出問題。有效創(chuàng)設(shè)情境，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題，并對問題有強(qiáng)烈的興趣，從而進(jìn)入“心求通而未得”“口欲言而未能”的悱憤境界，激發(fā)起極大的求知欲。

情境1：小張用做游戲的方式確定周末是否去看電影，他隨機(jī)地向圓盤投擲飛鏢，飛鏢落點(diǎn)位于小圓之內(nèi)才能去看電影，小圓半徑為大圓半徑的二分之一，則小張周末去看電影的概率是多少？

圖1

問題1：請同學(xué)們解答，并說明解答依據(jù)。

學(xué)生活動：充分討論之后，大部分學(xué)生認(rèn)為這問題的概率為“小圓面積與大圓面積之比”，但找不到計(jì)算的依據(jù)。

通過情境1引入課題，激發(fā)學(xué)生求知的原動力，問題用經(jīng)驗(yàn)可以解決，但沒有理論依據(jù)，讓學(xué)生進(jìn)入悱憤境界，對問題思考由感性深入到理性。

2.教師引領(lǐng)，深化問題。在教師引領(lǐng)下，以問題為起點(diǎn)，將學(xué)生興趣問題進(jìn)行深入分析，挖掘本質(zhì)，深化含義。

問題2：請同學(xué)們回顧求隨機(jī)事件概率的方法及古典概型的特點(diǎn)？

學(xué)生活動：一組學(xué)生上臺書寫計(jì)算隨機(jī)事件概率的方法，另一組學(xué)生口頭回答古典概型的特點(diǎn)。

通過復(fù)習(xí)已有的概率知識，為深入探究情境1問題建立最近發(fā)展區(qū)，提供研究問題的切入點(diǎn)，讓學(xué)生順利地領(lǐng)受學(xué)習(xí)任務(wù)。

3.自主學(xué)習(xí)，探究問題。放手讓學(xué)生自主探究，教師將要學(xué)習(xí)的對象（數(shù)學(xué)內(nèi)容）在最近發(fā)展區(qū)繼續(xù)用問題形式展開，引導(dǎo)學(xué)生找到解決問題的通道，初步解決問題，完成對學(xué)習(xí)內(nèi)容的初淺感悟。

問題3:研究一個概率問題的切入點(diǎn)是什么？

生：研究一個概率問題的切入點(diǎn)是分析基本事件、指定事件及其特點(diǎn)。

師：請同學(xué)們認(rèn)真思考和分析情境1中概率問題的基本事件、指定事件及其特點(diǎn)。

生：情境1中基本事件是“飛鏢落點(diǎn)在小圓之內(nèi)”，每一個基本事件的發(fā)生是等可能的，基本事件的總數(shù)A和指定事件中所含基本事件的總數(shù)Ω都是無限的。

師：能用古典概型的概率公式計(jì)算這個概率嗎？這是古典概型嗎？

生：不能，因?yàn)槌霈F(xiàn)了“無限比無限”的情況。這個問題不是古典概型。

設(shè)計(jì)意圖：以概率問題的“基本事件”為切入口，對情境1深入分析，發(fā)現(xiàn)它仍是一個等可能模型，但A和Ω都是無限個，無法用數(shù)值表示，形成了新的認(rèn)知沖突。

問題4：這是一種新的概率模型，能不能找到它的概率計(jì)算公式？

學(xué)生活動：根據(jù)情境1中問題的概率特點(diǎn)，類比古典概型，讓學(xué)生找到解決問題的方法。

師：請同學(xué)們分析情境1中問題與古典概型的異同？

生：相同點(diǎn)“基本事件都是等可能的”，不同點(diǎn)“A 和Ω從有限變成了無限”。

師：既然有相似之處，能不能將古典概型的概率公式做一些修正，找到一個新的計(jì)算公式呢？

生：情境1中問題的基本事件和指定事件都發(fā)生在某一區(qū)域中，基本事件在區(qū)域內(nèi)發(fā)生是等可能的，因此，可以用小圓面積來度量基本事件的總數(shù)A，用大圓面積來度量指定事件所含基本事件的總數(shù)Ω。這兩個面積之比就是情境1中問題的概率。

因情境1問題是等可能事件，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)可以用區(qū)域面積表示基本事件的總數(shù)，找到用幾何圖形面積之比計(jì)算概率的通道。

問題5：請同學(xué)們探索情境2和情境3中問題的概率的計(jì)算方法。

情境2：在區(qū)間[-2,3]上隨機(jī)選取一個數(shù)X,則X不大于1的概率是多少？

情境3：一立方體空房間，邊長為3米，地面的一個墻角落裝有捕蠅器（大小忽略不計(jì)），可捕捉距離其2米空間內(nèi)的蒼蠅，若一只蒼蠅在房間內(nèi)盤旋，則它被捕捉的概率是多少？

學(xué)生活動：參照情境1思路，進(jìn)行思維遷移，找到問題答案，并說明相應(yīng)理由。

情境2、情境3中的問題可分別用長度之比和體積之比計(jì)算概率，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)有一類事件的概率只與構(gòu)成事件區(qū)域的長度、面積或體積成比例。這是一種新的概率模型。

4.合作研討，解決問題。通過學(xué)習(xí)小組內(nèi)的合作研討，小組間的成果共享受，全面解決問題，達(dá)到對所學(xué)新知識比較全面、深入的理解，進(jìn)而內(nèi)化新知識，完成意義建構(gòu)。

問題6：分析上述三個情境中問題的共同特點(diǎn)，總結(jié)出新的概率模型的概念、特點(diǎn)和概率計(jì)算公式。

學(xué)生活動：在教師的引導(dǎo)下，學(xué)習(xí)小組集中個人和集體智慧，經(jīng)過組內(nèi)分析、研討、歸納，組間交流、爭辯、總結(jié)，得到如下結(jié)論：

（1）如果每個事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成事件區(qū)域的長度（面積或體積）成比例，稱這種概率模型為幾何概率模型，簡稱為幾何概型。

（2）幾何概型中每個基本事件的發(fā)生都是等可能的，所有的基本事件有無限個。

設(shè)計(jì)意圖：通過對三個不同情境中問題的探索、分析和總結(jié)，學(xué)生逐步建立了幾何概型的概念，弄清了幾何概型的基本特點(diǎn)和找到了計(jì)算方法，培養(yǎng)了學(xué)生的抽象概括能力和數(shù)學(xué)建模能力。

5.領(lǐng)悟新知，應(yīng)用問題。通過相關(guān)練習(xí)或相關(guān)問題討論，讓學(xué)生進(jìn)一步深入到知識的內(nèi)部，領(lǐng)會知識的內(nèi)涵，使知識與思維、情感、態(tài)度和價(jià)值觀等一起成為學(xué)生生命的有機(jī)成分。

例1.將情境1中小圓區(qū)域等分為四部分，并移動位置成為圖2所示圖形，假設(shè)飛鏢落點(diǎn)位于陰影區(qū)域時(shí)才能去看電影，則小張周末去看電影的概率是多少？

圖2

學(xué)生活動：易判斷該問題為幾何概型，算得其概率為1/4，與情境1問題的概率相同。引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識到，幾何概型中事件A的概率只與區(qū)域的幾何度量大小有關(guān)，與其位置和形狀無關(guān)。

設(shè)計(jì)意圖：通過實(shí)例練習(xí)，學(xué)生對幾何度量的價(jià)值及其選擇標(biāo)準(zhǔn)有更深刻的體會，提高了新知識在知識結(jié)構(gòu)中的可利用性。

6.升華知識，拓展問題。將問題進(jìn)行拓展，讓學(xué)生在探究問題的過程中升華知識，產(chǎn)生無法預(yù)知的令人震撼動態(tài)生成的場面，使學(xué)生的主體地位得到尊重，自我價(jià)值得以實(shí)現(xiàn)。

圖3

例2.已知ΔABC中，∠ABC＝60°，AB＝2，BC＝6，在BC上任取一點(diǎn)D，則ΔABD為鈍角三角形的概率是多少？

學(xué)生活動：如圖3，當(dāng)BE＝1時(shí)，∠AEB為直角，則D點(diǎn)在線段BE（不包含B、E點(diǎn)）上時(shí)，ΔABD為鈍角三角形；當(dāng)BF＝4時(shí)，∠BAF為直角，則D點(diǎn)在線段CF（不包含C、F點(diǎn)）上時(shí)，ΔABD為鈍角三角形，所以ΔABD為鈍角三角形的概率為

本問題基本事件發(fā)生的區(qū)域需要學(xué)生確定，這是建模的一個難點(diǎn)。在自主探究和小組討論后，讓學(xué)生總結(jié)出“先確定臨界點(diǎn)，再確定區(qū)域”的方法。如果突破了這個難點(diǎn)，新知識就得到了升華。

三、問題引領(lǐng)式數(shù)學(xué)生態(tài)課堂的實(shí)施條件

1.對學(xué)生的要求。一是充分表達(dá)。在領(lǐng)受、領(lǐng)悟和提升的任何一個階段中，學(xué)生都必須充分地表達(dá)自己的見解和看法，進(jìn)行思想交流和交鋒，這是合作研討的前提。二是質(zhì)疑爭辯。在生態(tài)課堂中，學(xué)生可以隨時(shí)提出自己的疑惑，也可以對同伴進(jìn)行質(zhì)疑，在討論、爭辯和釋疑中厘清問題，消除困惑，這是有效建構(gòu)的基礎(chǔ)。三是糾改錯。失敗是成功之母，學(xué)習(xí)者總是在糾偏中前行，在改錯中進(jìn)步，生態(tài)課堂允許學(xué)生不斷糾正偏差和嘗試錯誤，這是知識升華的起點(diǎn)。

2.對教師的要求。一是變“教師”為“導(dǎo)師”。沒有這個角色的轉(zhuǎn)變，便不能為學(xué)生的學(xué)習(xí)與成長創(chuàng)設(shè)自由、和諧、快樂、嘗試的生態(tài)課堂。二是從“前臺”到“后臺”。教師在后臺為學(xué)生提供學(xué)習(xí)服務(wù)，建議學(xué)習(xí)形式，點(diǎn)撥學(xué)習(xí)困惑。三是變“講授”為“引領(lǐng)”。在突破學(xué)習(xí)難點(diǎn)的關(guān)鍵時(shí)刻，教師建立起新穎獨(dú)到的生態(tài)學(xué)習(xí)環(huán)境，引導(dǎo)學(xué)生排除學(xué)習(xí)障礙，收獲成功喜悅，形成高峰體驗(yàn)。

參考文獻(xiàn)：

［1］朱開炎.生本教育的生態(tài)課堂教學(xué)模式［J］.課程·教材·教法，2004（05）.

［2］竇福良.生態(tài)化課堂中的教師角色［J］.新課程研究·基礎(chǔ)教育，2007（04）.

［3］詹明道.走向數(shù)學(xué)生態(tài)課堂［M］.南京：東南大學(xué)出版社，2008.

中圖分類號：G633.6

文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

文章編號：1673-9884（2016）02-0058-03

收稿日期：2015－12－19

基金項(xiàng)目：福建省教育科學(xué)“十二五”規(guī)劃課題（2015XB0424）

作者簡介：魏有蓮（1967－），女，福建三明人，三明市第一中學(xué)高級教師。