王德友

[摘要]創(chuàng)設(shè)故事情境能喚起學(xué)生的求知欲、探索欲，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)探究的思想.

[關(guān)鍵詞]數(shù)學(xué)故事 問題情境 合作探究

[中圖分類號] G633.6

[文獻標識碼] A [文章編號] 1674-6058（2016）02-0022

通過視頻播放科幻大片《猩球崛起》的片斷，片斷中一只叫明眸的猩猩在玩四層漢諾塔游戲，由此引出情境問題：這只猩猩最少要移動幾次才能完成任務(wù)？這就是我們今天要探究的問題，如教材第75頁例4：如圖，有三根針和套在根針上的若干金屬片，按下列規(guī)則，把金屬片從一根針上全部移到另一根針上.（1）每次只能移動1個金屬片；（2）較大的金屬片不能放在較小的金屬片上面.試推測：把n個金屬片從l號針移到3號針，最少需要移動多少次？

教師可引導(dǎo)學(xué)生先獨立思考，再小組合作交流.從特殊情況分析，利用合情推理：三根針的序號為1.2，3，各個金屬片從上到下，從小到大分別定義為（1）.（2），（3），…，（n）.

當n=l時金片移動的順序為（1）-3只需1次就能完成任務(wù).（（1）-3表示把金屬片（1）移到3號針上）.

當n=2時，金片移動的順序為（1）-2，（2）-3，（1）-3只需3次就能完成任務(wù).

當n=3時，金片移動的順序為（1）-3，（2）-2.（1）-2，（3）-3，（I）-1，（2）-3，（1）-3只需7次就能完成任務(wù).

當n=4時，金片移動的順序為（1）-2，（2）-3，（1）-3，（3）-2.（1）-1，（2）-2，（1）-2，（4）-3.（1）-3.（2）-1，（1）-1，（3）-3，（1）-2，（2）-3，（1）-3只需15次就能完成任務(wù).

我們設(shè)移動n個金屬片所需次數(shù)為f（n）構(gòu)成的數(shù)列、f（l），f（2），f（3），f4），…，f（n）.

其中，f（1）=1，f（2）=3，f3）=7，f（4）=15，那么f（n）=？

我們可以通過觀察、分析、比較得：f（1）=2-1，f（2）=2?-l，f3）=2?-1，f（4）=2⁴-1，猜想f（n）=2ⁿ-l（n∈N*）（該結(jié)論需證明）

通過上面的合情推理可歸納出n個金屬片移動的步驟：

第一步，將1號針上面n-l個金屬片從1號針移到2號針（只要移動f（n-1）次）；

第二步，把1號針上剩下的一個金屬片移到塔3上（只要移動1次）；

第三步，將2號上n-1個金屬片移到塔3上（只要移動f（n-1）次）.因此可得到：

f（n）=f（n-1）+1+f（n-1）=2f（n-l）+1.

解決該問題的數(shù)列模型：已知f（1）=1，f（n）=2f（n-l）+1，（n∈N*，n≥2），求f（n）=？

方法一：由f（1）=2-1，f（2）=2?-l，f3=2?-1，f（4）=2⁴-1猜想f（n）=2ⁿ-l（n∈N*）.

方法二：由f（2）-f（1）=2，f（3）-f（2）=2?，f（4）-f（3）=2?猜想f（n+l）-f（n）=2ⁿ，

聯(lián)立f（n+l）=2f（n）+1可得f（n）=2ⁿ-l.

方法三：發(fā)現(xiàn)遞推公式f（n）=2f（n-1）+1右邊多了一個1，沒這個1就成了f（n）=2f（n-1）.這是我們熟悉的等比數(shù)列.通過觀察、分析、比較得：

①f（n）=2f（n-1），f（1）=2，f（2）=4，f（3）=8，f（4）=16，…，f（n）=2ⁿ；

②f（n）=2f（n-1）+1，f（1）=1，f（2）=3，f3）=7，f（4）=15，那么f（n）=2ⁿ-1（猜想）.

在探究問題中，合情推理能幫助我們通過觀察、分析、比較、歸納、類比，猜測得出結(jié)論，但結(jié)論正確與否還要通過嚴格的證明.

下面我們就來證明結(jié)論.

（1）用數(shù)學(xué)歸納法證明如下：

①n=l時，顯然f（n）=l成立；

②n=2時，假設(shè)當n=k時命題成立也即f（k）=2^k-l，那么當n=k+l時，f（k+1）=2f（k）+1=2（2^k-1）命題也成立.

由上面①、②可得證n任意正整時命題成立.也

（2）其他證法

還是觀察遞推公式、f（n）=2f（n-l）+l（n≥2）右邊多出的這個1，怎么處理它呢？

分析一：若再寫出f（n+1）=2f（n）+l將兩式作差可把那個1消去，得到f（n+1）-f（n）=2[f（n）f（n-1）]，得到數(shù)列{f（n+1）-f（n）}為等比數(shù)列.

分析二：不去消1，兩邊加1呢？就得到f（n）+l=2[f（n-1）+1]，這是我們熟悉的等比數(shù)列，于是有f（n）

讓學(xué)生課后探索下列數(shù)學(xué)的通項公式：

①f（n+1）=3f（n）+2且f（1）=1.

②f（n+1）=pf（n）+q，且f（1）=1（p，q為常數(shù)）.