魏萍麗

【內(nèi)容摘要】函數(shù)是研究客觀世界變化規(guī)律的一個重要模型，也是中學(xué)數(shù)學(xué)的核心概念。初中里，函數(shù)是學(xué)生數(shù)學(xué)認識上的一次飛躍，從常量數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)變到變量數(shù)學(xué)，學(xué)生對函數(shù)概念的形成和掌握都有一定難度。教師在設(shè)計和組織《認識函數(shù)》的教學(xué)中，都會遇到同一個疑問——如何對函數(shù)概念進行歸納和剖析？本文以函數(shù)概念的關(guān)鍵語為著力點，一一剖析，逐個擊破，力求攻破教學(xué)的重難點。

【關(guān)鍵詞】關(guān)鍵語 剖析方法 設(shè)計意圖 反思

《認識函數(shù)》不僅是一堂章節(jié)起始課，更是一堂從常量數(shù)學(xué)到變量數(shù)學(xué)的認知起始課，而且這種認知還是原有認知基礎(chǔ)的飛躍，因此，函數(shù)概念的起始教學(xué)顯得更難，也更富有挑戰(zhàn)性。初中課本里對函數(shù)概念描述以簡略易懂為宗旨，在教學(xué)中，根據(jù)學(xué)生的認知基礎(chǔ)，對概念的關(guān)鍵語進行適當剖析，有助于學(xué)生理解函數(shù)的本質(zhì)。

課本函數(shù)概念：一般地，在某個變化過程中，設(shè)有兩個變量x，y，如果對于x的每一個確定的值，y都有唯一確定的值，那么就說y是x的函數(shù)，x叫做自變量。

關(guān)鍵語一：變化過程中，有兩個變量x和y。

學(xué)生困惑：1.較難理解“變化過程中”；2.不理解兩個變量之間的主從關(guān)系。

原因概要：學(xué)生沒有經(jīng)過動態(tài)變化的體驗，數(shù)學(xué)思維仍停留在常量的世界里。

剖析方法：

1.“變化過程”，可通過舉例，讓學(xué)生體驗動態(tài)變化的過程，并用通俗易懂的語言解釋

例如，直棱柱的形狀問題（設(shè)底面邊數(shù)為n，面數(shù)為m）：

若n已知，則m也確定，但如果不知道直棱柱的形狀，則n和m可以取不同的數(shù)，即n和m是兩個變量。所以在直棱柱形狀變化的過程中，有兩個變量底面邊數(shù)n和面數(shù)m。

再如，圓的面積問題（設(shè)半徑為r，面積為S）：

若已知r，則S也確定，但如果不知道圓的形狀，則r和S可以取不同的數(shù)，即r和S是兩個變量。所以在圓形狀變化的過程中，有兩個變量圓的半徑r和圓的面積S。

設(shè)計意圖：學(xué)生能從詞面上理解“變化過程”的意思，但并不能理解數(shù)學(xué)中，為什么“變化過程”是函數(shù)概念的前提條件。設(shè)計兩個常見的數(shù)學(xué)實際問題，有利于學(xué)生理解“變化過程中，有兩個變量x和y”這一關(guān)鍵語。

2.“兩個變量的主從關(guān)系”可下列機器模型和表格幫助學(xué)生理解

（1）寫出變量x與y之間的內(nèi)在規(guī)則，使得只要知道輸入值就可以得出輸出值。

（2）把表格的缺失部分補充完整。

設(shè)計意圖：無論是機器模型還是表格中都用英文單詞“in-out”，以此來幫助學(xué)生理解兩個變量以及兩個變量之間的“因果”，“主從”關(guān)系，“in”代表首先變化的量x確定一個值，并輸入后，通過某個規(guī)則，可以“out”，即輸出一個唯一確定的y值。同時還能幫助學(xué)生理解“x叫做自變量”。

關(guān)鍵語二：唯一確定

學(xué)生困惑：混淆兩個變量之間的幾種關(guān)系；不了解為什么“唯一確定”作為函數(shù)概念內(nèi)涵的必要性和合理性。

原因概要：缺乏對“一對一”，“多對一”，“一對多”的比較認識。

剖析方法：

1.探究活動

在古埃及有一個神秘小鎮(zhèn)，古人在鎮(zhèn)上小山的地道里埋藏了很多寶藏。而要進入地道需要破譯很多密碼。

“一對一”

第一重地道門的明碼是“YGVA KEW”，你能否根據(jù)破譯規(guī)則表寫出這個明碼的密碼？（god is me）

“多對一”

第二重地道門的明碼是“GFVAD Z”，你能否根據(jù)破譯規(guī)則表寫出這明

碼的密碼？（on hill）

“一對多”

第三重地道門的明碼是“KFMOY Z”，你能否根據(jù)破譯規(guī)則表寫出這個明碼的密碼？為什么？

設(shè)計意圖：

（1）通過比較，理解現(xiàn)實世界中幾種“對應(yīng)”的方式，“多對一”與“一對一”的特殊意義，有助于對“唯一確定”的理解；

（2）在活動中體會“規(guī)則”的重要性，有助于理解“對應(yīng)法則”在函數(shù)模型中的意義。

2.舉例辨析

（1）解析法——算一算

判斷變量y與x滿足下列關(guān)系時，y是否為x的函數(shù)？為什么？

①y=x2；②y=2x；③y=±x

設(shè)計意圖：兩個變量的關(guān)系式是否是函數(shù)解析式，其判別方法是：任意選取滿足條件的x值，代入關(guān)系式，計算結(jié)果中y的值是否唯一。

（2）列表法——查一查

辨一辨：上虞國慶黃金周的日最高氣溫如下表：

請問：T是d的函數(shù)嗎？

設(shè)計意圖：表格中兩個變量是否是函數(shù)關(guān)系的判別方法是：表格中d的每一個取值下方，T的值是否唯一。

（3）圖像法——畫一畫

下圖是小明放學(xué)回家的折線圖，其中t表示時間，s表示離開學(xué)校的路程，請根據(jù)圖象回答下面的問題：

這個折線圖反映了哪兩個變量之間的關(guān)系？路程s可以看成t的函數(shù)嗎？

設(shè)計意圖：平面直角坐標系中，圖像上兩個變量是否是函數(shù)關(guān)系，其判別方法是：在圖像范圍內(nèi)，做橫軸的垂線，與圖像相交，其交點是否唯一（即t每取一個值，是否對應(yīng)了唯一的s值）。

通過對函數(shù)三種常用表示方法的舉例辨析，進一步理解“對于x的每一個確定的值，y都有唯一確定的值，才能說y是x的函數(shù)”。

關(guān)鍵語三：函數(shù)、自變量

學(xué)生困惑：“函數(shù)”“自變量”這兩個名稱很難直觀表達概念內(nèi)涵，學(xué)生甚至從詞面上錯誤的理解為：“函數(shù)”是一個數(shù)。

原因概要：“函數(shù)”、“自變量”這樣的名稱影響了對其涵義的理解。

剖析方法：了解概念的英文表達方式。

1.函數(shù)——function本意：“功能、作用”——自變量取值后，在一定規(guī)則的“作用”下變成了函數(shù)值。

2.自變量——independent variable本意：“不依賴于誰的變量”。

3.因變量——dependent variable本意：“依賴于誰的變量”。顯然y是依賴于x的變化而變化的。

設(shè)計意圖：彌補概念的中文名稱形成的學(xué)習(xí)障礙，讓學(xué)生從名稱的英文解釋中理解函數(shù)的關(guān)鍵內(nèi)涵。

反思一：立足本質(zhì)

數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計及課堂教學(xué)組織應(yīng)立足數(shù)學(xué)本質(zhì)，著力解決教學(xué)中遇到的疑難問題。基于此，把握課程標準，研透教學(xué)目標就顯得十分必要。浙教版教材在編寫意圖和教學(xué)建議中闡明“兩個變量之間的函數(shù)關(guān)系，只有在問題情境中蘊含的數(shù)量關(guān)系基礎(chǔ)上才能建立，才真正具有意義。因此函數(shù)教學(xué)中無論是知識的發(fā)生過程，還是應(yīng)用過程，都要充分運用實例，包含可以進行的實驗”。因此在函數(shù)概念教學(xué)中，選擇學(xué)生容易接受的典型情境剖析、探究函數(shù)概念，使學(xué)生在情境的識別和辨析中逐步體會它的形成過程，并一次又一次的親身感悟，逐步抽象出函數(shù)概念，使學(xué)生對函數(shù)的認識由模糊到清晰、由粗略到精確，這種教學(xué)過程是概念教學(xué)中值得借鑒的。

反思二：注重過程

現(xiàn)代教育心理學(xué)研究指出，學(xué)生的學(xué)習(xí)過程不僅是一個接受知識的過程，也是一個發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題的過程。這個過程一方面是暴露學(xué)生產(chǎn)生各種疑問、困難、障礙和矛盾的過程，另一方面是展示學(xué)生發(fā)展聰明才智、形成獨特個性與創(chuàng)新成果的過程。正因為如此，新課程強調(diào)過程，強調(diào)學(xué)生探索新知的經(jīng)歷和獲得新知的體驗。當然，強調(diào)探索過程，意味著學(xué)生要面臨問題和困惑、挫折和失敗，這同時也意味著學(xué)生可能花了很多時間和精力結(jié)果表面上卻一無所獲，但是，這卻是一個人的學(xué)習(xí)、生存、生長、發(fā)展、創(chuàng)造所必須經(jīng)歷的過程，也是一個人的能力、智慧發(fā)展的內(nèi)在要求，它是一種不可量化的“長效”、一種難以言說的豐厚回報，而眼前耗費的時間和精力應(yīng)該說是值得付出的代價。

總之，課本是“死”的，而我們的課堂教學(xué)卻是“活”的。教學(xué)中，一定要注重對課程標準的研究，設(shè)計基于學(xué)生理解的教法，切勿讓學(xué)生死記硬背。因為數(shù)學(xué)科學(xué)嚴謹?shù)耐评硇?，決定了搞好概念教學(xué)是傳授知識的首要條件，而學(xué)生概念不清，必將表現(xiàn)出思路閉塞，邏輯紊亂，對法則、定理的理解更無從談起。因此，對數(shù)學(xué)概念的教法，是我們數(shù)學(xué)教師長期探索的一個課題。

【參考文獻】

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[2] 王擁軍. 數(shù)學(xué)教學(xué)中的過程性例談[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2012（1-2）：23-26.

[3] 杜育林. 理解教材是上好課的前提[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2013（4）：14-15.

（作者單位：浙江省紹興市上虞區(qū)小越鎮(zhèn)中學(xué)）