張永清

【摘要】分段函數(shù)是一個(gè)函數(shù)而非幾個(gè)函數(shù)，是其定義域被劃分為若干部分，不同部分的x值依據(jù)不同的對(duì)應(yīng)法則與y相對(duì)應(yīng)。本文從分段函數(shù)的定義域?yàn)槌霭l(fā)點(diǎn)簡(jiǎn)單討論分段函數(shù)的值域、解析式、圖像、函數(shù)值、單調(diào)性等。

【關(guān)鍵詞】分段函數(shù) 定義域 值域 函數(shù)值 單調(diào)性

【中圖分類號(hào)】O17 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2015）03-0155-02

1.分段函數(shù)的定義域與值域

分段函數(shù)的定義域是各段定義域的并集，值域也是各段值域的并集。

例1 求函數(shù)f（x）=x2+4x（x≤-2）2x （x>-2） 的值域。

解：當(dāng)x≤-2時(shí)，y=x2+4x=（x+2）2-4 所以y≥-4

當(dāng)x>-2時(shí)，，y=2x，所以y>2-2=■

∵[-4，+∞）∪（■，+∞）=[-4，+∞）

∴函數(shù)f（x）的值域是[-4，+∞）

2.分段函數(shù)的解析式

分段函數(shù)解析式的求法很多，要根據(jù)題設(shè)條件選取合理的方法。通常情況下要按其定義域開展分類討論，各個(gè)擊破，最終寫出表達(dá)式。

例2 設(shè)g（x）=0 （x≤0）1 （x>0），求函數(shù)y=g（x-1）的解析式。

解：令t-1=x，則當(dāng)x≤0，即t≤1時(shí)，g（t-1）=0；

當(dāng)x>0，即t>1時(shí)，g（t-1）=1，

故y=g（x-1）=0 （x≤1）1 （x>1）

3.分段函數(shù)的圖象

作出分段函數(shù)的圖象其分段函數(shù)的定義域是關(guān)鍵要素，通常用列表法畫出對(duì)應(yīng)的圖象；畫圖的關(guān)鍵是根據(jù)定義域的不同范圍，分別由表達(dá)式作出對(duì)對(duì)應(yīng)的圖象。畫圖時(shí)要注意各段自變量的取值范圍，并且要標(biāo)明關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)。

例3 已知函數(shù)f（x）=2x （x≤-1） 1 （-11），畫出這個(gè)函數(shù)的圖象。

解析：該函數(shù)圖象由一條線段、兩條射線組成。如圖所示，其中一條射線沒(méi)有端點(diǎn)，另一條線段沒(méi)有左端點(diǎn)。

例3圖

一、分段函數(shù)的函數(shù)值

求分段函數(shù)的函數(shù)值時(shí)，應(yīng)先確定自變量的取值在其定義域內(nèi)的哪個(gè)子區(qū)間，然后再用與這個(gè)子區(qū)間相應(yīng)的對(duì)應(yīng)法則來(lái)求解函數(shù)值。

例4 已知f（x）=■x （x≤-2） ？仔 （-2

解：∵3∈[2，+∞） ∴f（3）=32-4×3=-3

∵-3∈（-∞，-2] ∴f[f（3）]=f（-3）=■×（-3）=-■

∵-■∈（-2，2） ∴f{f[f（3）]}=f（-■）=π

4.分段函數(shù)的單調(diào)性

判斷一個(gè)分段函數(shù)的單調(diào)性，首先應(yīng)對(duì)各段函數(shù)進(jìn)行單調(diào)性的研究，然后再綜合求解。

例5 求函數(shù)f（x）=x■+2x （x≤0）x-1 （x>0）的單調(diào)區(qū)間。

解：當(dāng)x≤0時(shí)，y=x■+2x，由圖象可知：在（-∞，-2]、[-1，0]上函數(shù)單調(diào)遞減；在[-2，-1]上函數(shù)單調(diào)遞增。

當(dāng)x>0時(shí)，y=x-1 ，由圖象可知：在（0，1]上函數(shù)單調(diào)遞減；在[1，+∞）上函數(shù)單調(diào)遞增。

綜上所述，所求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是：[-2，-1]，[1，+∞）；單調(diào)遞減區(qū)間是：（-∞，-2]、[-1，0]，（0，1]。

參考文獻(xiàn)：

[1]數(shù)學(xué)①普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書.人民教育出版社2007.1

[2]孔黎.高等數(shù)學(xué)中國(guó)建筑工業(yè)出版社2000.12