王春鴿

【摘要】本文對(duì)“函數(shù)的極值”教學(xué)設(shè)計(jì)在討論式、探索式教學(xué)方面做了較深入的研究，通過(guò)觀察圖形，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷了概念的抽象、性質(zhì)的探索和相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)的建構(gòu)過(guò)程，并體驗(yàn)知識(shí)在不斷提出問(wèn)題中被發(fā)現(xiàn)的喜悅.通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，使學(xué)生領(lǐng)悟了局部與整體的辯證關(guān)系，從而達(dá)到深刻理解并掌握此知識(shí)的目的.

【關(guān)鍵詞】函數(shù)；單調(diào)性；極值；極值點(diǎn)

函數(shù)的極值是高等數(shù)學(xué)中的導(dǎo)數(shù)應(yīng)用里一個(gè)很重要的內(nèi)容，對(duì)極值概念的理解是學(xué)生學(xué)習(xí)的重要是一環(huán).教學(xué)中，教師在講解極值的概念時(shí)，要做到直觀，并留給學(xué)生足夠的思考空間，發(fā)揮他們的學(xué)習(xí)主體作用.本文在教學(xué)設(shè)計(jì)上進(jìn)行了嘗試.

教學(xué)方案

活動(dòng)1：創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，引入新課

（復(fù)習(xí)提問(wèn)）我們應(yīng)用導(dǎo)數(shù)來(lái)研究了函數(shù)的一種性質(zhì)——單調(diào)性，知道了函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的符號(hào)有著密切的聯(lián)系.即

設(shè)函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，在開(kāi)區(qū)間（a，b）內(nèi)可導(dǎo).

（1）如果在（a，b）內(nèi)f′（x）>0，則f（x）在[a，b]上單調(diào)增加；

（2）如果在（a，b）內(nèi)f′（x）<0，則f（x）在[a，b]上單調(diào)減少.

現(xiàn)在我們?cè)倮脤?dǎo)數(shù)這種先進(jìn)有效的工具，再來(lái)研究一下函數(shù)的另一種性質(zhì)——函數(shù)的極值.

我們?yōu)槭裁匆獙W(xué)習(xí)函數(shù)的極值這個(gè)概念呢？因?yàn)槲覀內(nèi)粘Ｉ钪杏性S多理論和應(yīng)用問(wèn)題，需要求函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上的最大值和最小值，比如經(jīng)濟(jì)學(xué)上的最大利潤(rùn)問(wèn)題、最小成本問(wèn)題等.要計(jì)算函數(shù)的最值，我們就要先求函數(shù)的極值，所以我們要先研究函數(shù)的極值的運(yùn)算方法.那么函數(shù)的極值是怎樣定義的呢？

觀察下面函數(shù)的圖像：

提出問(wèn)題1：通過(guò)觀察函數(shù)的圖形，我們對(duì)函數(shù)值f（x1）與函數(shù)f（x）在點(diǎn)x1附近的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值進(jìn)行比較，會(huì)有什么結(jié)論呢？那么，在x2、x3、x4與x5點(diǎn)處的情況如何呢？

回答：通過(guò)觀察我們較容易看出，在點(diǎn)x1附近的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值f（x）都滿足f（x）>f（x1），在x2、x3、x4與x5點(diǎn)處分別為f（x）f（x3），f（x）f（x5）.

討論：根據(jù)觀察結(jié)果能否用一句話總結(jié)，從結(jié)論中教師因勢(shì)利導(dǎo)，提出問(wèn)題啟發(fā)學(xué)生注意局部與整體的關(guān)系，得出極值的定義.

定義1設(shè)函數(shù)f（x）在點(diǎn)x0的某一鄰域U（x0）內(nèi)有定義，如果對(duì)于去心鄰域U0（x0）內(nèi)的任意一點(diǎn)x，都有f（x）f（x0）），則稱函數(shù)值f（x0）是函數(shù)f（x）的一個(gè)極大值（或極小值），x0稱為函數(shù)f（x）的一個(gè)極大值點(diǎn)（或極小值點(diǎn)）.

函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為函數(shù)的極值，使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn).

活動(dòng)2：繼續(xù)觀察圖形

提出問(wèn)題2：極大值一定比極小值大嗎，為什么？

回答：極大值不一定比極小值大.圖中f（x2）為函數(shù)的極大值，f（x5）為函數(shù)的極小值，但f（x5）>f（x2），因?yàn)闃O值是局部的概念.

活動(dòng)3：繼續(xù)觀察圖形

提出問(wèn)題3：極值點(diǎn)處的切線有什么特點(diǎn)？結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義，我們能得到什么樣的結(jié)論？

回答：如果函數(shù)可導(dǎo)，函數(shù)在取得極值的點(diǎn)處切線是水平的，即在這些點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)為零，這也是我們今天要研究的函數(shù)極值點(diǎn)存在的必要條件，即定理1的內(nèi)容.

定理1（必要條件）設(shè)函數(shù)f（x）在x0處可導(dǎo)，且在x0處取得極值，則一定有f′（x0）=0.

分析我們知道函數(shù)的極值就是局部的最值，而證明極值點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)為零，只要在極值點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)考慮即可，那么就是證明這一鄰域內(nèi)的最值處導(dǎo)數(shù)為零，而這實(shí)際上就是費(fèi)馬（Fermat）引理的內(nèi)容.

費(fèi)馬簡(jiǎn)介：姓名：皮爾·德·費(fèi)馬

生于1601年，法國(guó)律師和業(yè)余數(shù)學(xué)家.他在數(shù)學(xué)上的成就不比職業(yè)數(shù)學(xué)家差，他似乎對(duì)數(shù)論最有興趣，亦對(duì)現(xiàn)代微積分的建立有所貢獻(xiàn).被譽(yù)為“業(yè)余數(shù)學(xué)家之王”.

對(duì)學(xué)生進(jìn)行思想教育：費(fèi)馬的故事告訴我們，在做某件事情的時(shí)候，只要努力，就可以做好.所以，我們同學(xué)中雖然有很多都是文科生，只要我們努力，也一樣能學(xué)好數(shù)學(xué).

證明（略）

定義2使導(dǎo)數(shù)的點(diǎn)稱為函數(shù)的駐點(diǎn).

定理1表明：可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)必定是駐點(diǎn).

提出問(wèn)題4：函數(shù)的駐點(diǎn)一定是極值點(diǎn)嗎，啟發(fā)學(xué)生如果不是能否舉個(gè)反例說(shuō)明？

回答：駐點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)，例如函數(shù)f（x）=x3的駐點(diǎn)x=0就不是極值點(diǎn).由這個(gè)反例我們知道定理1只是函數(shù)極值存在的必要條件，而不充分.

提出問(wèn)題5：我們還可以看到定理1中要求函數(shù)是可導(dǎo)的，那么函數(shù)的導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)可能是極值點(diǎn)嗎？如果可以，能否舉個(gè)例子？

回答：函數(shù)的導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)也可能是極值點(diǎn)，例如函數(shù)f（x）=|x|在點(diǎn)x=0處不可導(dǎo)，但是極小值點(diǎn).

由這兩個(gè)例子我們知道了函數(shù)的可能的極值點(diǎn)有兩類：駐點(diǎn)及不可導(dǎo)的點(diǎn).我們應(yīng)怎樣判斷駐點(diǎn)及不可導(dǎo)的點(diǎn)是否為函數(shù)的極值點(diǎn)，是極大值點(diǎn)還是極小值點(diǎn)呢？這是我們將要研究的重要問(wèn)題——函數(shù)極值點(diǎn)存在的充分條件.

活動(dòng)4：繼續(xù)觀察圖形

提出問(wèn)題6：極大值點(diǎn)與極小值點(diǎn)左右兩側(cè)的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)符號(hào)如何變化？

回答：通過(guò)觀察我們知道，如果在駐點(diǎn)及不可導(dǎo)點(diǎn)兩側(cè)函數(shù)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)相反，則必然是使函數(shù)單調(diào)性改變的點(diǎn)，從而一定是函數(shù)的極值點(diǎn).

這表明，求函數(shù)極值點(diǎn)應(yīng)先找出駐點(diǎn)及不可導(dǎo)點(diǎn)，然后對(duì)駐點(diǎn)及不可導(dǎo)點(diǎn)進(jìn)行判斷，哪些是極值點(diǎn)哪些不是極值點(diǎn).根據(jù)極值的定義及函數(shù)單調(diào)性的判定法不難知道，由此我們得到下面的定理：

定理2（第一充分條件）設(shè)函數(shù)f（x）在點(diǎn)x0處連續(xù)，且在點(diǎn)x0的某一鄰域U（x0）（點(diǎn)x0可除外）內(nèi)具有導(dǎo)數(shù)，對(duì)于x∈U0（x0），

（1）若當(dāng)x0，當(dāng)x>x0，f′（x）<0，則f（x0）是函數(shù)f（x）的極大值；

（2）若當(dāng)xx0，f′（x）>0，則f（x0）是函數(shù)f（x）的極小值；

（3）若在x0兩側(cè)，f′（x）的符號(hào)相同，則f（x0）不是f（x）的極值.

證明（略）

由定理2，我們得出求函數(shù)極值的步驟：

（1）寫出函數(shù)的定義域，求出導(dǎo)數(shù)f′（x）；

（2）求出f（x）的全部駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)；

（3）根據(jù)定理2確定這些點(diǎn)是不是極值點(diǎn)，如果是極值點(diǎn)，進(jìn)一步確定是極大值點(diǎn)還是極小值點(diǎn)；

（4）求出各極值點(diǎn)處的函數(shù)值，就得到函數(shù)f（x）的全部極值.

下面我們就根據(jù)求極值的步驟，求出函數(shù)的極值.

例1求函數(shù)f（x）=x3-3x2-9x+5的極值.

解該函數(shù)的定義域?yàn)椋?∞，+∞）.

f′（x）=3x2-6x-9=3（x+1）（x-3）.

令f′（x）=0，得駐點(diǎn)x1=-1，x2=3.

駐點(diǎn)將定義域分成三部分，現(xiàn)列表討論如下：

x（-∞，-1）-1（-1，3）3（3，+∞）

f′（x）+0-0+

f（x）↗極大值↘極小值↗

由表可知，函數(shù)f（x）在x=-1處取得極大值，極大值為f（-1）=10；在x=3處取得極小值，極小值為f（3）=-22.

上例是對(duì)可導(dǎo)函數(shù)而言的，在此條件下，極值點(diǎn)一定是駐點(diǎn)，因此只要求出函數(shù)的駐點(diǎn)，再由定理2考察各個(gè)駐點(diǎn)是否為極值點(diǎn)就行了.但是如果函數(shù)有不可導(dǎo)點(diǎn)，就不能肯定極值點(diǎn)一定是駐點(diǎn)了，因?yàn)樵趯?dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)處，函數(shù)也可能取得極值.請(qǐng)看下例：

例2求函數(shù)f（x）=1-（x-2）23的極值.

解該函數(shù)的定義域?yàn)椋?∞，+∞）.

當(dāng)x≠2時(shí)，f′（x）=-2313x-2；當(dāng)x=2時(shí)，f′（x）不存在.

當(dāng)x<2時(shí)，f′（x）>0；當(dāng)x>2時(shí)，f′（x）<0，又f（x）在x=2處連續(xù)，所以x=2是函數(shù)f（x）的極大值點(diǎn)，極大值為f（2）=1.

活動(dòng)5：課堂練習(xí)

課堂小結(jié)

通過(guò)如上的教學(xué)活動(dòng)，使學(xué)生理解了極值的概念，明白了局部與整體的關(guān)系，了解了研究探索問(wèn)題的方法對(duì)以后的自主學(xué)習(xí)有很好的指導(dǎo)意義.