王春鴿

【摘要】本文對“函數(shù)的極值”教學設計在討論式、探索式教學方面做了較深入的研究，通過觀察圖形，引導學生經(jīng)歷了概念的抽象、性質(zhì)的探索和相關數(shù)學知識的建構過程，并體驗知識在不斷提出問題中被發(fā)現(xiàn)的喜悅.通過本節(jié)課的學習，使學生領悟了局部與整體的辯證關系，從而達到深刻理解并掌握此知識的目的.

【關鍵詞】函數(shù)；單調(diào)性；極值；極值點

函數(shù)的極值是高等數(shù)學中的導數(shù)應用里一個很重要的內(nèi)容，對極值概念的理解是學生學習的重要是一環(huán).教學中，教師在講解極值的概念時，要做到直觀，并留給學生足夠的思考空間，發(fā)揮他們的學習主體作用.本文在教學設計上進行了嘗試.

教學方案

活動1：創(chuàng)設問題情境，引入新課

（復習提問）我們應用導數(shù)來研究了函數(shù)的一種性質(zhì)——單調(diào)性，知道了函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)的符號有著密切的聯(lián)系.即

設函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，在開區(qū)間（a，b）內(nèi)可導.

（1）如果在（a，b）內(nèi)f′（x）>0，則f（x）在[a，b]上單調(diào)增加；

（2）如果在（a，b）內(nèi)f′（x）<0，則f（x）在[a，b]上單調(diào)減少.

現(xiàn)在我們再利用導數(shù)這種先進有效的工具，再來研究一下函數(shù)的另一種性質(zhì)——函數(shù)的極值.

我們?yōu)槭裁匆獙W習函數(shù)的極值這個概念呢？因為我們?nèi)粘Ｉ钪杏性S多理論和應用問題，需要求函數(shù)在某個區(qū)間上的最大值和最小值，比如經(jīng)濟學上的最大利潤問題、最小成本問題等.要計算函數(shù)的最值，我們就要先求函數(shù)的極值，所以我們要先研究函數(shù)的極值的運算方法.那么函數(shù)的極值是怎樣定義的呢？

觀察下面函數(shù)的圖像：

提出問題1：通過觀察函數(shù)的圖形，我們對函數(shù)值f（x1）與函數(shù)f（x）在點x1附近的點對應的函數(shù)值進行比較，會有什么結論呢？那么，在x2、x3、x4與x5點處的情況如何呢？

回答：通過觀察我們較容易看出，在點x1附近的點對應的函數(shù)值f（x）都滿足f（x）>f（x1），在x2、x3、x4與x5點處分別為f（x）f（x3），f（x）f（x5）.

討論：根據(jù)觀察結果能否用一句話總結，從結論中教師因勢利導，提出問題啟發(fā)學生注意局部與整體的關系，得出極值的定義.

定義1設函數(shù)f（x）在點x0的某一鄰域U（x0）內(nèi)有定義，如果對于去心鄰域U0（x0）內(nèi)的任意一點x，都有f（x）f（x0）），則稱函數(shù)值f（x0）是函數(shù)f（x）的一個極大值（或極小值），x0稱為函數(shù)f（x）的一個極大值點（或極小值點）.

函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為函數(shù)的極值，使函數(shù)取得極值的點稱為極值點.

活動2：繼續(xù)觀察圖形

提出問題2：極大值一定比極小值大嗎，為什么？

回答：極大值不一定比極小值大.圖中f（x2）為函數(shù)的極大值，f（x5）為函數(shù)的極小值，但f（x5）>f（x2），因為極值是局部的概念.

活動3：繼續(xù)觀察圖形

提出問題3：極值點處的切線有什么特點？結合導數(shù)的幾何意義，我們能得到什么樣的結論？

回答：如果函數(shù)可導，函數(shù)在取得極值的點處切線是水平的，即在這些點處導數(shù)為零，這也是我們今天要研究的函數(shù)極值點存在的必要條件，即定理1的內(nèi)容.

定理1（必要條件）設函數(shù)f（x）在x0處可導，且在x0處取得極值，則一定有f′（x0）=0.

分析我們知道函數(shù)的極值就是局部的最值，而證明極值點處的導數(shù)為零，只要在極值點的某一鄰域內(nèi)考慮即可，那么就是證明這一鄰域內(nèi)的最值處導數(shù)為零，而這實際上就是費馬（Fermat）引理的內(nèi)容.

費馬簡介：姓名：皮爾·德·費馬

生于1601年，法國律師和業(yè)余數(shù)學家.他在數(shù)學上的成就不比職業(yè)數(shù)學家差，他似乎對數(shù)論最有興趣，亦對現(xiàn)代微積分的建立有所貢獻.被譽為“業(yè)余數(shù)學家之王”.

對學生進行思想教育：費馬的故事告訴我們，在做某件事情的時候，只要努力，就可以做好.所以，我們同學中雖然有很多都是文科生，只要我們努力，也一樣能學好數(shù)學.

證明（略）

定義2使導數(shù)的點稱為函數(shù)的駐點.

定理1表明：可導函數(shù)的極值點必定是駐點.

提出問題4：函數(shù)的駐點一定是極值點嗎，啟發(fā)學生如果不是能否舉個反例說明？

回答：駐點不一定是極值點，例如函數(shù)f（x）=x3的駐點x=0就不是極值點.由這個反例我們知道定理1只是函數(shù)極值存在的必要條件，而不充分.

提出問題5：我們還可以看到定理1中要求函數(shù)是可導的，那么函數(shù)的導數(shù)不存在的點可能是極值點嗎？如果可以，能否舉個例子？

回答：函數(shù)的導數(shù)不存在的點也可能是極值點，例如函數(shù)f（x）=|x|在點x=0處不可導，但是極小值點.

由這兩個例子我們知道了函數(shù)的可能的極值點有兩類：駐點及不可導的點.我們應怎樣判斷駐點及不可導的點是否為函數(shù)的極值點，是極大值點還是極小值點呢？這是我們將要研究的重要問題——函數(shù)極值點存在的充分條件.

活動4：繼續(xù)觀察圖形

提出問題6：極大值點與極小值點左右兩側的函數(shù)的導數(shù)符號如何變化？

回答：通過觀察我們知道，如果在駐點及不可導點兩側函數(shù)導數(shù)的符號相反，則必然是使函數(shù)單調(diào)性改變的點，從而一定是函數(shù)的極值點.

這表明，求函數(shù)極值點應先找出駐點及不可導點，然后對駐點及不可導點進行判斷，哪些是極值點哪些不是極值點.根據(jù)極值的定義及函數(shù)單調(diào)性的判定法不難知道，由此我們得到下面的定理：

定理2（第一充分條件）設函數(shù)f（x）在點x0處連續(xù)，且在點x0的某一鄰域U（x0）（點x0可除外）內(nèi)具有導數(shù)，對于x∈U0（x0），

（1）若當x0，當x>x0，f′（x）<0，則f（x0）是函數(shù)f（x）的極大值；

（2）若當xx0，f′（x）>0，則f（x0）是函數(shù)f（x）的極小值；

（3）若在x0兩側，f′（x）的符號相同，則f（x0）不是f（x）的極值.

證明（略）

由定理2，我們得出求函數(shù)極值的步驟：

（1）寫出函數(shù)的定義域，求出導數(shù)f′（x）；

（2）求出f（x）的全部駐點和不可導點；

（3）根據(jù)定理2確定這些點是不是極值點，如果是極值點，進一步確定是極大值點還是極小值點；

（4）求出各極值點處的函數(shù)值，就得到函數(shù)f（x）的全部極值.

下面我們就根據(jù)求極值的步驟，求出函數(shù)的極值.

例1求函數(shù)f（x）=x3-3x2-9x+5的極值.

解該函數(shù)的定義域為（-∞，+∞）.

f′（x）=3x2-6x-9=3（x+1）（x-3）.

令f′（x）=0，得駐點x1=-1，x2=3.

駐點將定義域分成三部分，現(xiàn)列表討論如下：

x（-∞，-1）-1（-1，3）3（3，+∞）

f′（x）+0-0+

f（x）↗極大值↘極小值↗

由表可知，函數(shù)f（x）在x=-1處取得極大值，極大值為f（-1）=10；在x=3處取得極小值，極小值為f（3）=-22.

上例是對可導函數(shù)而言的，在此條件下，極值點一定是駐點，因此只要求出函數(shù)的駐點，再由定理2考察各個駐點是否為極值點就行了.但是如果函數(shù)有不可導點，就不能肯定極值點一定是駐點了，因為在導數(shù)不存在的點處，函數(shù)也可能取得極值.請看下例：

例2求函數(shù)f（x）=1-（x-2）23的極值.

解該函數(shù)的定義域為（-∞，+∞）.

當x≠2時，f′（x）=-2313x-2；當x=2時，f′（x）不存在.

當x<2時，f′（x）>0；當x>2時，f′（x）<0，又f（x）在x=2處連續(xù)，所以x=2是函數(shù)f（x）的極大值點，極大值為f（2）=1.

活動5：課堂練習

課堂小結

通過如上的教學活動，使學生理解了極值的概念，明白了局部與整體的關系，了解了研究探索問題的方法對以后的自主學習有很好的指導意義.