沈建華

摘 要：數(shù)學(xué)猜想實(shí)際上是一種數(shù)學(xué)想象，是人的思維在探索數(shù)學(xué)規(guī)律、本質(zhì)時(shí)的一種策略。它是建立在已有的事實(shí)經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)上，運(yùn)用非邏輯手段而得到的一種假定，是一種合理推理。數(shù)學(xué)方法理論的倡導(dǎo)者G·波利亞曾說過：“在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中，猜想是合理的，是值得尊重的，是負(fù)責(zé)任的態(tài)度?！睌?shù)學(xué)猜想能縮短解決問題的時(shí)間；能獲得數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的機(jī)會(huì)；能鍛煉數(shù)學(xué)思維。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)猜想；類比聯(lián)想；充分想象；頭腦風(fēng)暴

歷史上許多重要的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)都是經(jīng)過合理猜想這一非邏輯手段而得到的，例如，著名的“哥德巴赫猜想”“四色猜想”等。因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，運(yùn)用猜想可以營(yíng)造學(xué)習(xí)氛圍，激起學(xué)生飽滿的熱情和積極的思維，培養(yǎng)學(xué)生克服困難的堅(jiān)強(qiáng)意志，自始至終地主動(dòng)參與數(shù)學(xué)知識(shí)探索的過程。

一、利用類比聯(lián)想培養(yǎng)學(xué)生進(jìn)行有效猜想的能力

所謂類比聯(lián)想，就是在聯(lián)想的基礎(chǔ)上對(duì)兩個(gè)或兩個(gè)以上的事物進(jìn)行比較，找出它們之間的共同點(diǎn)，進(jìn)而受到新的啟示，產(chǎn)生新的思路，從而產(chǎn)生新的解決問題的方法。

數(shù)學(xué)教學(xué)要重視問題情境的創(chuàng)設(shè)，以引起學(xué)生的好奇心和求知欲，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和探究的欲望，使學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題并尋求解決問題的方法。類比轉(zhuǎn)化法就是把要解決的問題轉(zhuǎn)化為另一個(gè)與之有關(guān)的，且是較熟悉的、易理解的問題去解答的方法。這種方法往往用于解答一些較抽象的概念或定理，由于難以表達(dá)，需轉(zhuǎn)換一個(gè)角度去思考，這樣問題就容易解決。例如，在“有理數(shù)加法”的教學(xué)中，如何理解8+（-5）等于多少呢？若舉些實(shí)際例子來解決這個(gè)問題，那么學(xué)生就能夠很快得出答案。我是這樣說的：“把8看作我原有8元錢，把-5看作我用了5元，則手里還剩下幾元錢？”學(xué)生很快就能答出是3。然后讓學(xué)生按照相似的方法舉出各種加法的情況再加以猜想，學(xué)生很快就得出了加法的法則。通過這些生活中的例子，學(xué)生對(duì)有理數(shù)加法法則有了感性的認(rèn)識(shí)。因此，教師在創(chuàng)設(shè)問題情境時(shí)要在符合客觀事實(shí)的基礎(chǔ)上，凸顯出一些問題解決方式或答案的信息，使創(chuàng)設(shè)的情境對(duì)學(xué)生的猜想和假設(shè)具有一定的啟發(fā)和暗示性。這樣學(xué)生在猜想與假設(shè)時(shí)，就有了一個(gè)較為明確的方向，不至于做出一些不著邊際的猜想與假設(shè)，同時(shí)培養(yǎng)了學(xué)生收集信息的能力。

數(shù)學(xué)教學(xué)在解題過程中為了尋找問題的解決線索，通常借助類比聯(lián)想，從而達(dá)到啟發(fā)思路的目的。因此，類比聯(lián)想在求解問題中有著廣泛的應(yīng)用。在解題教學(xué)中采用類比教學(xué)，可以梳理知識(shí)、歸納題型、總結(jié)解題方法，這樣做既有利于學(xué)生記憶和掌握所學(xué)知識(shí)，又有利于培養(yǎng)學(xué)生聯(lián)想思維的靈活性，從而培養(yǎng)了學(xué)生進(jìn)行有效猜想的能力。

例：已知m2+3m-2=0，n2+3n-2=0（s≠t），求mn+4s+4t的值。

思路分析：觀察已知條件和所求代數(shù)式的外形，可聯(lián)想到一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系。類比題設(shè)構(gòu)造一個(gè)以m和n為根的一元二次方程x2+3x-2=0，然后根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系知m+n=-3，mn=-2，從而很容易求出所求代數(shù)式的值：mn+4s+4t=mn+4（s+t）=-2+4×（-3）=-14。

二、讓學(xué)生在參與合作學(xué)習(xí)中激活猜想

“心理自由”或“心理安全”是有利于創(chuàng)造性活動(dòng)的基本構(gòu)件，一個(gè)學(xué)生如果感到課堂心理氣氛是自由和安全的，他就會(huì)心情舒暢，而不必花時(shí)間來保護(hù)自己，也不怕別人來責(zé)難，始終能按自己選定的目標(biāo)不斷進(jìn)取，敢于發(fā)表意見、敢于猜想。假如教師給學(xué)生的是一種“無法親近、高高在上”的感覺，那么，即使學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中有一些猜想與假設(shè)，也不敢告訴教師，當(dāng)然無法讓學(xué)生進(jìn)行有效的猜想與假設(shè)了。因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要用發(fā)展的眼光看待學(xué)生提出的猜想，發(fā)現(xiàn)學(xué)生的閃光點(diǎn)，多激勵(lì)表揚(yáng)學(xué)生，對(duì)學(xué)生提出的各種猜想哪怕是較為不合理的猜想也要認(rèn)真對(duì)待，同時(shí)積極引導(dǎo)學(xué)生沿著合理科學(xué)的思維方向進(jìn)行有效的猜想與假設(shè)。例如，在“可能性的大小”教學(xué)中，我讓每個(gè)學(xué)習(xí)小組模擬現(xiàn)實(shí)情境做轉(zhuǎn)盤游戲：課前將轉(zhuǎn)盤分成大小不等的幾個(gè)扇形，并分別涂上紅、黃、綠、黑四種不同的顏色，它們分別表示一等獎(jiǎng)、二等獎(jiǎng)、三等獎(jiǎng)、謝謝參與，再在課堂上讓各個(gè)小組都動(dòng)手做轉(zhuǎn)盤的游戲，并對(duì)中獎(jiǎng)結(jié)果作了記錄。游戲后，我問學(xué)生：“你在轉(zhuǎn)出結(jié)果之前，頭腦里會(huì)想些什么？”學(xué)生必然會(huì)說：“猜我會(huì)得什么獎(jiǎng)？”“可能得什么獎(jiǎng)？”我緊接著問：“有四種可能：一等獎(jiǎng)、二等獎(jiǎng)、三等獎(jiǎng)、謝謝參與?！薄懊總€(gè)獎(jiǎng)次出現(xiàn)的可能性相同嗎？”“不相同，圓心角越大，可能性越大?！薄瓕W(xué)生通過玩游戲，加深了對(duì)可能性的理解，充分感受到事件發(fā)生的可能性大小是不一樣的：事件發(fā)生的可能性大小是由事件發(fā)生的條件決定的，而不是運(yùn)氣的問題。再例如，在求n多邊形內(nèi)角和時(shí)，我提供了一種證法，從n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，引出（n-3）條對(duì)角線，他們將n邊形分為（n-2）個(gè)三角形，n邊形的內(nèi)角和等于（n-2）×180°，學(xué)生在此基礎(chǔ)上，大膽地提出了自己的猜想——把一個(gè)多邊形分成幾個(gè)三角形，還有其他分法嗎？由新的分法能得到多邊形的內(nèi)角和公式嗎？于是我把學(xué)生分成幾個(gè)小組進(jìn)行討論、探究，學(xué)生很快得到了兩種方法，方法1：在n邊形內(nèi)任取一點(diǎn)O，連接O與各個(gè)頂點(diǎn)，把n邊形分成n個(gè)三角形。因?yàn)檫@n個(gè)三角形的內(nèi)角的和等于n·180°，以O(shè)為公共頂點(diǎn)的n個(gè)角的和是360°，所以n邊形的內(nèi)角和是n·180°-2×180°=（n-2）·180°。即n邊形的內(nèi)角和等于（n-2）×180°。方法2：在n邊形的任意一邊上任取一點(diǎn)O，連接O點(diǎn)與其他各頂點(diǎn)的線段可以把n邊形分成（n-1）個(gè)三角形，這（n-1）個(gè)三角形的內(nèi)角和等于（n-1）·180°，以O(shè)為公共頂點(diǎn)的（n-1）個(gè)角的和是180°，所以，n邊形的內(nèi)角和是（n-1）·180°-180°=（n-2）·180°。他們通過努力，親自驗(yàn)證了他們的猜想，學(xué)生更加有信心和參與課堂的積極性，突然又有兩三個(gè)學(xué)生大膽地進(jìn)行了猜想，既然點(diǎn)O能在多邊形內(nèi)部和邊上，那么點(diǎn)O能不能在多邊形的外部呢？這個(gè)猜想轟動(dòng)了全班學(xué)生的思維，大家不約而同地小組討論起來，果不其然，一段時(shí)間后，有的小組得出了結(jié)論：可以得到多邊形內(nèi)角和公式，于是得到了方法3：在多邊形外取一點(diǎn)O（點(diǎn)O不在n邊形任一邊的延長(zhǎng)線上），連接此點(diǎn)與各頂點(diǎn)，得到（n-1）個(gè)三角形，所以此n邊形的內(nèi)角和等于（n-1）個(gè)三角形的內(nèi)角和減去一個(gè)三角形的內(nèi)角和，即（n-1）·180°-180°=（n-2）·180°，歸納之后得到n邊形的內(nèi)角和為（n-2）×180°。雖然列出的式子和方法2的一樣，但是研究的方法是不一樣的，學(xué)生敢于猜想，并積極參與合作探究，驗(yàn)證了猜想，這樣的處理符合學(xué)生的心理特征，也最大限度地調(diào)動(dòng)了學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性。整個(gè)學(xué)習(xí)過程，學(xué)生思維活躍，具有開放性。在師生的共同合作中，學(xué)生進(jìn)行了非常有效的猜想，課堂教學(xué)取得了良好的效率。

三、提供充足的時(shí)間，讓學(xué)生充分想象

初中數(shù)學(xué)中的許多概念、性質(zhì)、判定等知識(shí)，對(duì)于正處于由感性認(rèn)識(shí)到理性認(rèn)識(shí)轉(zhuǎn)化的初中生而言是比較抽象的。讓他們通過觀察具體圖形或?qū)嵨锬Ｐ秃蛣?dòng)手實(shí)驗(yàn)，根據(jù)自己的觀察實(shí)驗(yàn)，在感性認(rèn)知的基礎(chǔ)上提出合理的猜想，猜想時(shí)，每個(gè)學(xué)生憑借自己的想象進(jìn)行估計(jì)、推測(cè)，對(duì)問題的看法不同，教學(xué)時(shí)要讓學(xué)生的思維充分發(fā)散，以提出不同猜想。如，在教學(xué)“認(rèn)識(shí)三角形”時(shí)，提出：“是不是任意三條線段都能組成三角形呢？”一開始幾乎所有的學(xué)生都回答：“是?！边@時(shí)，我拿出事先準(zhǔn)備好的一些長(zhǎng)短不一的木棒，讓學(xué)生自己動(dòng)手演示，學(xué)生通過親自動(dòng)手實(shí)踐否定了他們的答案。我抓住學(xué)生的結(jié)論引導(dǎo)學(xué)生猜測(cè)：“能不能組成三角形是否與三條木棒的長(zhǎng)度有關(guān)系？”請(qǐng)學(xué)生接著分組測(cè)量課本中提供的三類三角形的三邊之長(zhǎng)，最后由學(xué)生自己得出三角形的三邊關(guān)系。這一問題情境創(chuàng)設(shè)突破了教學(xué)的難點(diǎn)，學(xué)生不僅能主動(dòng)地獲取知識(shí)，而且能不斷豐富數(shù)學(xué)活動(dòng)的經(jīng)驗(yàn)，學(xué)會(huì)探索，學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)。反饋信息表明，學(xué)生對(duì)自己操作得到的數(shù)學(xué)結(jié)論理解得深，掌握得牢。教學(xué)時(shí)要善于引導(dǎo)學(xué)生密切聯(lián)系所學(xué)過的知識(shí)展開想象，使學(xué)生產(chǎn)生好奇心理。比如，在講授“等腰三角形的兩個(gè)底角相等”時(shí)，教師可先讓學(xué)生拿出已準(zhǔn)備好的等腰三角形紙片，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行觀察并對(duì)兩個(gè)底角的關(guān)系進(jìn)行猜想。學(xué)生通過自己的感官反應(yīng)馬上得到“等腰三角形的兩個(gè)底角相等”，在教師的肯定與贊揚(yáng)聲中，學(xué)生躍躍欲試，又通過動(dòng)手操作：有的拿出了量角器來進(jìn)行測(cè)量，有的通過對(duì)折來看這兩個(gè)角能否重合……很快他們就找到了驗(yàn)證自己猜想的方法，并自然而又深刻地掌握了這一性質(zhì)。又如，新授“三角形中位線”定理時(shí)，學(xué)生在了解了“連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段是三角形的中位線”之后，通過“畫一畫”“量一量”“看一看”的操作來猜想三角形中位線的性質(zhì)，通過學(xué)生自己的觀察與測(cè)量得到了“三角形的中位線平行于第三邊且等于第三邊的一半”，這就引發(fā)了想象：是不是任何一個(gè)三角形的中位都平行于第三邊且等于第三邊呢？隨后，學(xué)生饒有興趣地進(jìn)一步推理論證該定理。在講授新知識(shí)的同時(shí)，讓學(xué)生體驗(yàn)知識(shí)本身的魅力與內(nèi)心的喜怒哀樂，同時(shí)又培養(yǎng)他們的想象力。

每個(gè)學(xué)生的能力、水平、思維的敏捷性不同，提出猜想所需的時(shí)間也不相同；學(xué)生在猜想時(shí)還要不斷地進(jìn)行交流討論甚至辯論，這也需要以一定的時(shí)間為基礎(chǔ)。因此，在探究教學(xué)中要提供給學(xué)生充分的時(shí)間，充分發(fā)揮其想象力，提出各種可能的猜想。如果沒有一定的時(shí)間保證，猜想只能匆匆進(jìn)行，既不能使所有學(xué)生進(jìn)行猜想也不能使猜想達(dá)到應(yīng)有的深度。

四、利用頭腦風(fēng)暴法，展示學(xué)生的猜想

頭腦風(fēng)暴法是教學(xué)中讓學(xué)生根據(jù)自己對(duì)問題的看法，提出盡量多的猜測(cè)，教師和其他學(xué)生不要打斷和進(jìn)行評(píng)價(jià)，直到把所有的可能都提出來的一種猜想方法。頭腦風(fēng)暴法可充分發(fā)揮學(xué)生的聰明才智，調(diào)動(dòng)學(xué)生的能動(dòng)性、積極性，讓學(xué)生暢所欲言，把所有的猜想都提出來。例如，（1）在教學(xué)“有理數(shù)的乘方”時(shí)可這樣導(dǎo)入：讓學(xué)生把厚0.1毫米的紙依次折疊并計(jì)算紙的厚度。引導(dǎo)學(xué)生觀察、發(fā)現(xiàn)紙張的厚度變化是在成倍地增加。同時(shí)提出繼續(xù)折20次、30次會(huì)有多厚？如果一層樓高3米計(jì)算，折疊20次有30層樓高嗎？珠穆朗瑪峰有8844米，折疊30次有12個(gè)珠穆朗瑪峰高嗎？這一驚人的疑問讓學(xué)生精神集中，思維活躍，進(jìn)入最佳狀態(tài)。（2）假如有一條很長(zhǎng)很長(zhǎng)的繩子，恰好可以繞地球赤道一周，如果把繩子再稍稍加長(zhǎng)15米，在赤道的任何地方，你都可以站著從繩子下方自由穿過嗎？（3）相傳國王要獎(jiǎng)賞國際象棋的發(fā)明者，問他需要什么，發(fā)明者說，我想在棋盤的第一個(gè)格子里放一顆麥粒，第二個(gè)格子里放兩顆麥粒，以后的每一個(gè)格子里的麥粒都是前一個(gè)格子里的麥粒的2倍，直到第64個(gè)格子，請(qǐng)國王滿足我這個(gè)要求即可。試問：“同學(xué)們，這64個(gè)格子里的麥粒之和為多少？怎樣計(jì)算呢？”不用多說，在這樣的問題情景之下，學(xué)生帶著渴求的心理去探究，課堂上學(xué)生不由自主地投入學(xué)習(xí)。

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》的基本理念是“以學(xué)生發(fā)展為本”“倡導(dǎo)積極主動(dòng)、勇于探索的學(xué)習(xí)方式”“發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)”，因此在實(shí)施素質(zhì)教育的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，要不斷優(yōu)化課堂教學(xué)方法，教師在教學(xué)中利用猜想，為學(xué)生創(chuàng)造了更多的自主思考機(jī)會(huì)，激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)的內(nèi)驅(qū)力，發(fā)展了學(xué)生的潛在能力，使學(xué)生在認(rèn)識(shí)所學(xué)知識(shí)、理解所學(xué)知識(shí)的同時(shí)，智力水平不斷提高。使學(xué)生產(chǎn)生“疑而未解，又欲解之”的強(qiáng)烈愿望，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為一種對(duì)知識(shí)的渴求，從而調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性和主動(dòng)性，達(dá)到提高課堂教學(xué)質(zhì)量的目的。

參考文獻(xiàn)：

[1]鄭良.全面貫徹新課程理念，提高數(shù)學(xué)教學(xué)學(xué)生參與程度和課堂效率[J].浙江教育技術(shù)，2010（01）.

[2]王娟娟.課堂教學(xué)應(yīng)重視鼓勵(lì)性評(píng)價(jià)[J].作文教學(xué)研究，2007（05）.

編輯 董慧紅