尹團(tuán)則

摘要：數(shù)列求通項(xiàng)問(wèn)題在高考中一般不會(huì)單獨(dú)命題，通常以綜合性大題出現(xiàn)，考查學(xué)生的觀察能力，分析和解決問(wèn)題的能力，解題過(guò)程中往往出現(xiàn)新的數(shù)列，即構(gòu)造法求通項(xiàng)公式，下面就常見(jiàn)的幾類題型進(jìn)行說(shuō)明。

關(guān)鍵詞：數(shù)列求通項(xiàng)；觀察；猜想；整體構(gòu)造

中圖分類號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1674-9324（2014）12-0266-01

數(shù)列求通項(xiàng)問(wèn)題在高考中一般不會(huì)單獨(dú)命題，通常以綜合性大題出現(xiàn)，考查學(xué)生的觀察能力，分析和解決問(wèn)題的能力，解題過(guò)程中往往出現(xiàn)新的數(shù)列，即構(gòu)造法求通項(xiàng)公式，下面就常見(jiàn)的幾類題型進(jìn)行說(shuō)明。

例1.已知數(shù)列{an}中，a1=1，an+3≤an+3，an+2≥an+2，求a2007。

解：由題設(shè)，an+2≥an+2，則：

a2007≥a2005+2≥a2003+2×2≥L≥a1+2×1003=2007.

由an+2≥an+2，得an≤an+2-2，則：

an+3≤an+3≤an+2-2+3=an+2+1（n≥1）.

于是：a2007≤a2006+1≤a2005+1×2≤a2002+3+1×2≤a1999+3×2+1×2≤L≤a1+3×668+1×2=2007，

所以a2007=2007.

易知數(shù)列a1=1，a2=2，L，an=n符合本題要求。

點(diǎn)評(píng)：本題首先觀察條件的特點(diǎn)，掌握規(guī)律性，采用類比的思維進(jìn)行解答。

（注意：猜得答案an=n或a2007=2007，給2分。若解答選擇題時(shí)，不妨一試。）

例2.（2003京春文，6）在等差數(shù)列{an}中，已知a1+a2+a3+a4+a5=20，那么a3等于（）。

A.4B.5C.6D.7

解析：因?yàn)閧an}為等差數(shù)列，設(shè)首項(xiàng)為a1，公差為d，由已知有5a1+10d=20，∴a1+2d=4，即a3=4.在等差數(shù)列中a1+a5=a2+a4=2a3.所以由a1+a2+a3+a4+a5=20得5a3=20，∴a3=4.

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的基本求法，屬于送分題，只要記牢性質(zhì)就能把此題拿下。

例3.由a1=1，an+1=給出的數(shù)列{an}的第34項(xiàng)為（ ）

A.B.100C.D.

解：∵-=3，=1+（n-1）×3=3n-2，∴=100，即=100.

點(diǎn)評(píng)：本題重在考查數(shù)列求通項(xiàng)中的變形，首先要想到取倒數(shù)形式，出現(xiàn)新的等差數(shù)列，再代入公式法求解。

例4.已知數(shù)列{an}滿足a1=1，an+2=-（n∈N+）則該數(shù)列前26項(xiàng)的和為 。

解：求出此數(shù)列的前幾項(xiàng)：1，-2，-1，，1，-2，…，得{an}的周期為4，所以該數(shù)列前26項(xiàng)的和為6（a1+a2+a3+a4）+a1+a2=-10.

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查周期數(shù)列的性質(zhì)，若數(shù)列中求取的項(xiàng)數(shù)較大時(shí)，就要考慮周期的情況，利用不完全歸納法找到它的周期，迅速解決，屬于中等題，不會(huì)太難。

例5.（2008北京理6）已知數(shù)列{an}對(duì)任意的p，q∈N*滿足ap+q=ap+aq，且a2=-6，那么a10等于（）。

A.-165 B.-33 C.-30 D.-21

解法1.由已知a4=a2+a2=-12，a8=a4+a4=-24，a10=a8+a2=-30，故選C。

解法2.由已知得a2=2a1?a1=-3?an+1-an=-3，a10=-30。

點(diǎn)評(píng)：本題可采用特殊值法。

例6.由正數(shù)組成的等比數(shù)列{an}，若前2n項(xiàng)之和等于它前2n項(xiàng)中的偶數(shù)項(xiàng)之和的11倍，第3項(xiàng)與第4項(xiàng)之和為第2項(xiàng)與第4項(xiàng)之積的11倍，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an=。

解：當(dāng)q=1時(shí)，得2na1=11na1不成立，∴q≠1，=①，a1q2+a1q3=11aq·a1q3②，由①得q=，代入②得a1=10，∴an=（）.

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列中的奇偶項(xiàng)的問(wèn)題，應(yīng)首先想到等比數(shù)列的性質(zhì)，利用性質(zhì)解題會(huì)起到事半功倍的效果。

例7.給定公比為q（q≠1）的等比數(shù)列{an}，設(shè)b1=a1+a2+a3，b2=a4+a5+a6，…，bn=a3n-2+a3n-1+a3n，…，則數(shù)列{bn}（）。

A.是等差數(shù)列

B.是公比為q的等比數(shù)列

C.是公比為q3的等比數(shù)列

D.既非等差數(shù)列也非等比數(shù)列

解：因?yàn)閧an}是等比數(shù)列，所以{bn}也是等比數(shù)列，則===q3。

點(diǎn)評(píng)：本題屬于數(shù)列中整體思想的體現(xiàn)，要有敏銳的觀察力。充分考慮到整體形式的特點(diǎn)，采用整體思維化解難題不失為一種能力的展示。

總之，數(shù)列中求通項(xiàng)的方法有很多，要善于歸類總結(jié)，針對(duì)不同條件，采用合適的方法，在此基礎(chǔ)上求解與通項(xiàng)問(wèn)題相關(guān)的其他問(wèn)題，就會(huì)干到得心應(yīng)手水到渠成。

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