楊紅云

【摘要】 概念教學(xué)大致可分為四步：引入—形成—鞏固—深化. 為了重視概念教學(xué)，夯實(shí)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，本文就這四步中要注意的問(wèn)題進(jìn)行研究. 提出概念的引入要遵循人的認(rèn)識(shí)規(guī)律；形成要淡化形式，注重實(shí)質(zhì)；鞏固要突出概念的本質(zhì)屬性；深化要廓清數(shù)學(xué)問(wèn)題的條件與結(jié)論，分清概念的外延和內(nèi)涵.

【關(guān)鍵詞】 概念教學(xué)；非標(biāo)準(zhǔn)變式；概念的外延和內(nèi)涵

概念是反映事物本質(zhì)屬性的思維方式，數(shù)學(xué)概念恰是研究邏輯形式與數(shù)理關(guān)系的精髓，它具有高度的抽象性和特殊的功能. 數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)教材結(jié)構(gòu)的最基本的因素，正確理解數(shù)學(xué)概念是掌握數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的前提，學(xué)生如果不能正確地理解數(shù)學(xué)中的各種概念，就不能很好地掌握各種法則、公式、定理，也就不能應(yīng)用所學(xué)知識(shí)去解決一些實(shí)際的問(wèn)題. 因此數(shù)學(xué)概念的教學(xué)是提高數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量的關(guān)鍵. 但是在實(shí)際學(xué)習(xí)中由于學(xué)生受年齡、生活經(jīng)驗(yàn)、智力、心理發(fā)展規(guī)律等因素的影響出現(xiàn)了很多問(wèn)題：學(xué)生死記硬背，機(jī)械記憶，但靈活地理解與運(yùn)用比較困難. 概念教學(xué)中如果沒(méi)有促使學(xué)生的知識(shí)內(nèi)化，就會(huì)導(dǎo)致學(xué)生對(duì)概念形成片面的認(rèn)知. 其次，教師處理概念無(wú)科學(xué)性類(lèi)比，輕易補(bǔ)充或者以練習(xí)代理解，脫離實(shí)際，造成教學(xué)上的被動(dòng). 為了重視概念教學(xué)，夯實(shí)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，本文針對(duì)概念教學(xué)中的問(wèn)題提出以下觀點(diǎn).

一、數(shù)學(xué)概念的引入要遵循人的認(rèn)識(shí)規(guī)律

新課程標(biāo)準(zhǔn)指出：抽象數(shù)學(xué)概念的教學(xué)，要關(guān)注概念實(shí)際背景與概念的形成過(guò)程，幫助學(xué)生克服機(jī)械記憶概念的學(xué)習(xí)方式. 初中生正處于由形象思維向抽象思維發(fā)展的階段，抽象思維能力較差. 因此，教師在概念教學(xué)時(shí)，不能直截了當(dāng)?shù)鼐投x而講定義，應(yīng)更多地從概念的產(chǎn)生和發(fā)展過(guò)程中為學(xué)生提供思維情境，讓他們積極參與整個(gè)概念的形成過(guò)程，讓他們通過(guò)觀察、比較、概括，由特殊到一般，由具體到抽象，這樣不僅能幫助學(xué)生理解和掌握新概念，而且也使他們的抽象思維得到發(fā)展.

概念形成實(shí)際上可以概括為兩個(gè)階段：從完整的表象歸納為抽象的規(guī)定；使抽象的規(guī)定在思維過(guò)程中導(dǎo)致具體再現(xiàn). 數(shù)學(xué)概念比常識(shí)概念更抽象，但公理化的組織內(nèi)容的方法，又往往是定義在先，實(shí)例在后. 從心理本質(zhì)上講，數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)中，以自發(fā)性概念為基礎(chǔ)，以實(shí)例為出發(fā)點(diǎn)，讓學(xué)生從實(shí)例中得到啟發(fā)，上升到思維的歸納.

例如在“合并同類(lèi)項(xiàng)”教學(xué)實(shí)例引入中，南師大易曉明博士舉出了一個(gè)例子就比較好：早上父親吩咐兒子去買(mǎi)早點(diǎn)，爸爸要吃?xún)蓚€(gè)包子、一根油條和一杯豆?jié){；媽媽要一個(gè)包子、一根油條和一杯豆?jié){；兒子自己只想吃三個(gè)包子、一杯豆?jié){. 兒子會(huì)怎樣去買(mǎi)？這個(gè)實(shí)例設(shè)計(jì)合理，緊扣課題，背景簡(jiǎn)明，前后有呼應(yīng)，社會(huì)實(shí)踐性比較高，容易使學(xué)生接受并且印象深刻，無(wú)矯揉造作感.

在我們的教科書(shū)上還有一些概念的引入就是采用定義的方法. 比如絕對(duì)值的概念，它的定義是“一個(gè)正數(shù)的絕對(duì)值是它本身，一個(gè)負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)，零的絕對(duì)值是零”. 用式子表示為

|a| = a a > 0，0 a = 0，-a a < 0.

這個(gè)定義同時(shí)給出了運(yùn)算法則. 一些教師也常常以這個(gè)定義來(lái)教. 而學(xué)生在求絕對(duì)值時(shí)經(jīng)常出錯(cuò)，此時(shí)老師認(rèn)為學(xué)生還未熟悉運(yùn)算法則. 而實(shí)質(zhì)上，學(xué)生掌握這個(gè)概念有困難，可能是由于這個(gè)概念的獲得過(guò)程與常識(shí)概念的形成過(guò)程次序相反而造成的. 這種相反的次序，就是Freudenthal（1995）所說(shuō)的“違反教學(xué)法的顛倒”. 他指出概念學(xué)習(xí)不應(yīng)以概念獲得為目的，不應(yīng)該為教概念而將概念具體化，而應(yīng)先有具體化的材料、實(shí)例，再有概念的定義. 總之，數(shù)學(xué)概念的教學(xué)應(yīng)當(dāng)遵循人的一般認(rèn)識(shí)規(guī)律，從表象到規(guī)定，即從具體到抽象，而不是走相反的路.

二、數(shù)學(xué)概念的形成要淡化形式，注重實(shí)質(zhì)

概念分為自發(fā)性概念和科學(xué)概念，“自發(fā)”就是指沒(méi)有人刻意教的，有時(shí)學(xué)生自己也解釋不清楚的. 科學(xué)概念則是定義明確的、精細(xì)的、有一定邏輯意義和體系屬性的概念. 數(shù)學(xué)概念屬于科學(xué)概念. 自發(fā)性概念的形成就像我們學(xué)習(xí)母語(yǔ)那樣產(chǎn)生于自然發(fā)生的環(huán)境中. 概念的形成大多需要學(xué)生用已經(jīng)熟悉的實(shí)例來(lái)直觀地形成新概念，教師不是教定義. 比如學(xué)生說(shuō)不定是從奧運(yùn)五環(huán)中知道“圓”的，但不了解到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合就是圓了；比如知道“羊有四條腿，但四條腿的不一定是羊”，但不需要掌握必要條件，充分條件的概念；學(xué)生知道鈍角三角形鈍角邊上的高在三角形的外部，但他們往往會(huì)畫(huà)錯(cuò). 這些自發(fā)性概念的不足之處正是我們關(guān)注的問(wèn)題. 研究學(xué)生自己的概念將會(huì)讓我們更好地理解他們考慮問(wèn)題的方法和理由. 遵循學(xué)生最近發(fā)展區(qū)原理，對(duì)照數(shù)學(xué)概念，確實(shí)幫助學(xué)生從自發(fā)性概念中去粗取精，去偽存真，數(shù)學(xué)概念的掌握效果就會(huì)更好.

西南師大陳重穆先生（1993）提出“淡化形式，注重實(shí)質(zhì)”的觀點(diǎn)，數(shù)學(xué)概念的嚴(yán)格化形式淡化以后就能使學(xué)生比較容易地與自發(fā)性概念銜接起來(lái). 這樣數(shù)學(xué)概念的實(shí)質(zhì)就容易被學(xué)生接受. 再比如，在求根時(shí)，不少學(xué)生會(huì)出現(xiàn)如下錯(cuò)誤解答：■ = -x + 3或者是■ = 3 - x. 學(xué)生為什么只在x前加上負(fù)號(hào)呢？數(shù)學(xué)概念都具有二重性. 因?yàn)樗麄儗?shí)際上沒(méi)有把（x + 3）當(dāng)作一個(gè)對(duì)象，即x與3的和這個(gè)整體，而是當(dāng)作兩個(gè)對(duì)象x與3的加法運(yùn)算過(guò)程. 于是學(xué)生只分別考慮對(duì)象值不能為負(fù)的條件，在x前加上一個(gè)負(fù)號(hào)，似乎就保證了開(kāi)方后為正值，卻丟棄了x + 3作為整體對(duì)象的意義. 針對(duì)教學(xué)實(shí)際情景的需要，我們要淡化數(shù)學(xué)概念的二重性，靈活地改變認(rèn)識(shí)的角度，就把二次根式里的對(duì)象看作一個(gè)整體，抓住這個(gè)本質(zhì)，這樣學(xué)生操作起來(lái)就方便，還不容易出錯(cuò).

三、數(shù)學(xué)概念的鞏固要通過(guò)非標(biāo)準(zhǔn)變式，突出概念的本質(zhì)屬性，加強(qiáng)學(xué)生理解和靈活應(yīng)用概念的能力

如對(duì)于“垂直于弦的直徑”，教師不僅應(yīng)給出常見(jiàn)的標(biāo)準(zhǔn)圖形，如圖1，還應(yīng)對(duì)圖形作適當(dāng)變式（圖2和圖3），把握概念的本質(zhì)屬性，為學(xué)習(xí)相關(guān)定理打下良好的基礎(chǔ). 這個(gè)概念能否準(zhǔn)確理解，直接關(guān)系到對(duì)相關(guān)定理的掌握，因此教師在教這部分概念時(shí)，應(yīng)以圖形為依據(jù)，把這些概念融合到同一圖形中，分析它們之間的關(guān)系并通過(guò)圖形變式揭示概念的本質(zhì)屬性. 對(duì)比是變式的一種形式，可利用圖形變式，將相近概念進(jìn)行對(duì)比.

又例如“同弧所對(duì)的圓心角與圓周角”的比較，可以引導(dǎo)學(xué)生得出以下三種形式（如圖4）.

還有一個(gè)案例：圖5是數(shù)軸嗎？為什么？

百分之九十的同學(xué)回答不是數(shù)軸，甚至在數(shù)學(xué)教學(xué)一線(xiàn)的部分老師們也認(rèn)為不是數(shù)軸，并且態(tài)度很堅(jiān)決. 因?yàn)橐罁?jù)長(zhǎng)期教學(xué)的“經(jīng)驗(yàn)”及教材上的明文“規(guī)定”. 大家?guī)缀醵颊页隽私滩闹械囊痪湓?huà)：“規(guī)定直線(xiàn)上原點(diǎn)向右的方向?yàn)檎较颉?，這一規(guī)定決定了他們教學(xué)的思想. 抓住了教材中的一句話(huà)不放，忽視概念的本質(zhì)，豈不是舍本逐末嗎？這個(gè)實(shí)例告訴我們教師不能照本宣科，死扣教材，受教材束縛. 教材怎么寫(xiě)就怎么教是行不通的，要加強(qiáng)學(xué)生理解和靈活運(yùn)用概念的能力. 在教學(xué)過(guò)程中，受到感性經(jīng)驗(yàn)或“先入為主”的影響，從而在腦海中具有一些“標(biāo)準(zhǔn)”形式，那么通過(guò)“非標(biāo)準(zhǔn)”變式可以突出概念本質(zhì). 《易經(jīng)》里說(shuō)“窮則變，變則通，通則久”，也是這個(gè)道理.

四、數(shù)學(xué)概念的深化要廓清數(shù)學(xué)問(wèn)題的條件與結(jié)論，分清概念的外延和內(nèi)涵

隨著學(xué)生知識(shí)面的擴(kuò)大和邏輯思維能力的發(fā)展，教師對(duì)學(xué)生已經(jīng)形成的概念要不斷地深化，弄清概念的內(nèi)涵和外延. 有些概念學(xué)生一開(kāi)始可能僅僅會(huì)背誦概念的定義，能辨認(rèn)概念的外延，但對(duì)概念的本質(zhì)屬性卻不了解；學(xué)生有時(shí)會(huì)忽略概念的隱含條件，這樣解題時(shí)往往出錯(cuò). 這些情況學(xué)生都沒(méi)有真正理解概念. 在教學(xué)過(guò)程中，學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的條件與結(jié)論沒(méi)有太深的理解與揣摩，我們可以用反例教學(xué). 比如在講圓的切線(xiàn)的定義時(shí)，我們可以舉一反三：“垂直于半徑的直線(xiàn)是圓的切線(xiàn)嗎？”在得到菱形的對(duì)角線(xiàn)互相垂直平分的性質(zhì)時(shí)，我們可以反問(wèn)“對(duì)角線(xiàn)互相垂直的四邊形是菱形嗎？”再比如“兩個(gè)頂角為100度的等腰三角形相似”我們可以追問(wèn)“頂角為50度的等腰三角形都相似嗎？”“所有的等腰三角形都相似嗎？”從而得出概念的本質(zhì)屬性. 這樣學(xué)生以后碰到類(lèi)似的題目就不會(huì)出錯(cuò)了. 又如在學(xué)習(xí)“三角形的高”這一概念時(shí)，可以為學(xué)生提供一些在形狀（銳角、直角、鈍角三角形）、位置等方面有變化的不同三角形的例證，讓學(xué)生通過(guò)對(duì)這幾種典型變式的思維加工，抽象概括出“三角形的高”的定義. 同時(shí)我們也可以舉出反例讓學(xué)生準(zhǔn)確把握“三角形的高”的概念的本質(zhì)屬性. 比如：圖6和圖7中的AD是△ABC的高嗎？為什么？

通過(guò)對(duì)變式習(xí)題的辨析，使學(xué)生在實(shí)際應(yīng)用中進(jìn)一步把握概念的本質(zhì)屬性. 通過(guò)錯(cuò)例分析，進(jìn)一步明確“三角形的高”的本質(zhì)屬性.

總之，準(zhǔn)確的目標(biāo)定位是有效教學(xué)的前提，教材上的概念只不過(guò)很多隱去了其形成的思維過(guò)程，數(shù)學(xué)概念的教學(xué)是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)教學(xué)的核心，教師價(jià)值的判斷和學(xué)生思維活動(dòng)的過(guò)程在概念教學(xué)中尤為重要，其核心還是思想和方法的挖掘，內(nèi)涵在于理性和文化. 重視概念教學(xué)，夯實(shí)學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，提升數(shù)學(xué)能力迫在眉睫.

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