裴會(huì)琴

摘 要：歸納總結(jié)了某些事物和數(shù)學(xué)之間的聯(lián)系，以及數(shù)學(xué)概念的簡(jiǎn)單性、統(tǒng)一性，結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的協(xié)調(diào)性、對(duì)稱性，數(shù)學(xué)命題與數(shù)學(xué)模型的概括性、典型性和普遍性等，并從中體現(xiàn)出一種和諧而統(tǒng)一的數(shù)學(xué)美，通過(guò)讓學(xué)生欣賞數(shù)學(xué)美以激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)美；中職；成才；學(xué)習(xí)興趣

數(shù)學(xué)課程是中等職業(yè)學(xué)校學(xué)生必修的一門公共課程。本課程的任務(wù)是：使學(xué)生掌握必要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)，具備必需的相關(guān)技能和能力，為學(xué)習(xí)專業(yè)知識(shí)、掌握職業(yè)技能、繼續(xù)學(xué)習(xí)和終身發(fā)展奠定基礎(chǔ)。從學(xué)生狀況來(lái)看，來(lái)中職學(xué)校讀書(shū)的學(xué)生，有的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)薄弱，又沒(méi)有良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣。隨著教學(xué)難度的逐步增加，不懂的內(nèi)容越積越多，久而久之，對(duì)數(shù)學(xué)的興趣也越來(lái)越淡，形成了惡性循環(huán)。另一方面，有些學(xué)生產(chǎn)生數(shù)學(xué)無(wú)用論的思想。這種思想導(dǎo)致許多學(xué)生不用心學(xué)數(shù)學(xué)或根本不學(xué)數(shù)學(xué)。作為中職學(xué)校的一名數(shù)學(xué)教師，我一直在思考：愛(ài)美之心人皆有之，特別是處于青春期的中職學(xué)生，要是能對(duì)他們適時(shí)進(jìn)行美育，使學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程中不斷獲得美的享受，就會(huì)大大激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，促進(jìn)中職生早日成才。

數(shù)學(xué)有什么美呢？“到處都是美，對(duì)于我們的眼睛，不是缺乏美，而是缺少發(fā)現(xiàn)?！泵鎸?duì)0、1、2、3、4、5、6、7、8、9這十個(gè)阿拉伯?dāng)?shù)字時(shí)，也許不會(huì)產(chǎn)生任何美感。但若聯(lián)想到，正是這幾個(gè)簡(jiǎn)單數(shù)字不同的排列組合，展示小到微生物大到天體宇宙的時(shí)候，我們胸中也許會(huì)充滿一種與天地并立的浩然正氣，這不正是數(shù)學(xué)中簡(jiǎn)單與偉大之美嗎？直線的剛勁平穩(wěn)，曲線的對(duì)稱柔和，波浪起伏的正弦圖像，目不暇接的極坐標(biāo)方程，蝴蝶定理，黃金分割等等，無(wú)不給人一種數(shù)學(xué)美。數(shù)學(xué)美即蘊(yùn)藏了數(shù)學(xué)所特有的抽象概念、公式符號(hào)、命題模型、結(jié)構(gòu)系統(tǒng)、推理論證、思維方法的簡(jiǎn)單、和諧、嚴(yán)謹(jǐn)、奇異等形式的美。

一、數(shù)學(xué)中的黃金分割美

（1）美妙的黃金分割。古希臘學(xué)者發(fā)現(xiàn)了“黃金”長(zhǎng)方形，即長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬之比為1.618最佳（即看起來(lái)賞心悅目），這個(gè)比叫作黃金分割比。1.618的倒數(shù)的近似值即為0.618，這個(gè)數(shù)被稱為黃金分割數(shù)。1.618這個(gè)比例值于1854年由德國(guó)美學(xué)家蔡辛正式定為“黃金分割律”。這個(gè)美妙的比例，實(shí)質(zhì)上是將一條單位長(zhǎng)的線段分成兩段，使=，這就是眾所周知的分線段比為中外比。

設(shè)大線段長(zhǎng)為x，則小線段長(zhǎng)為1-x，于是有=，解得x=，取其正值≈0.618。中外比（黃金分割比）的作圖并不難，如圖，只需取一個(gè)直角三角形，它的兩條直角邊分別為1與，則斜邊為，再將它減去的直角邊，得AD，然后在AC上取AE=AD，則點(diǎn)E分線段AC為中外比（黃金分割比）。

（2）將黃金數(shù)表示為連分?jǐn)?shù)。由線段的黃金比=，有x2=1-x，x（1-x）=1，得x=。對(duì)等式右邊分母中的x又以代替，可得x=；依次類推，可得連分?jǐn)?shù)：x=。這樣一個(gè)簡(jiǎn)潔的連分?jǐn)?shù)給人以有序而無(wú)窮的印象，具有美感。黃金數(shù)與連分?jǐn)?shù)之間竟有如此迷人的聯(lián)系，怎不讓人驚嘆！

（3）人體也有黃金分割點(diǎn)。意大利數(shù)學(xué)家菲波那契曾注意到數(shù)學(xué)界不屑一顧的“冷門”——人體黃金分割。他說(shuō)，一般人人體肚臍上下的長(zhǎng)度比值為0.618或者與此相近，這是人體上下結(jié)構(gòu)的最優(yōu)數(shù)字。此外，他發(fā)現(xiàn)，人體結(jié)構(gòu)還有三個(gè)黃金分割點(diǎn)，上肢的分割點(diǎn)在肘關(guān)節(jié)，肚臍以下部分的分割點(diǎn)在膝蓋，肚臍以上的部分在咽喉。這一發(fā)現(xiàn)，為評(píng)價(jià)體形提供了一定依據(jù)。

二、數(shù)學(xué)中優(yōu)美而巧妙的等式

（1）巧妙而正確的等式。有一些運(yùn)算，在恒等變換時(shí)，看似“奇怪”而“荒謬”，但結(jié)果卻是正確的。請(qǐng)看以下幾個(gè)不同尋常的演算。

①可“約去”指數(shù)的等式。如果有學(xué)生在做數(shù)學(xué)演算時(shí)，作出以下的演算： ==、==、===，粗心的老師可能說(shuō)是錯(cuò)的。而學(xué)生說(shuō)是對(duì)的。老師不相信，自己做了幾遍，發(fā)現(xiàn)學(xué)生做的這個(gè)等式是正確的。如果是“碰巧”，怎會(huì)幾個(gè)等式都會(huì)這樣呢？如果觀察式子的特點(diǎn)，可以作出如下猜想：= ，看看是否能證明呢？= = =。事實(shí)上，只需將a、b代入不同的實(shí)數(shù)（不一定是整數(shù)）都可以得出以上類似的結(jié)果。而這個(gè)運(yùn)算，好像是把等式左邊分子、分母上的指數(shù)約掉了一樣。

②可“約去”對(duì)數(shù)符號(hào)的等式。如果說(shuō)=，=，你相信嗎？事實(shí)上，等式是對(duì)的。這是因?yàn)?，恒等?是對(duì)的。證明如下：左式=×=，右式=-1=。當(dāng)m=1、2時(shí)，便是上面的兩個(gè)等式。它們好像是將分子、分母中的對(duì)數(shù)符號(hào)約去了一樣。

③兩數(shù)積等于兩數(shù)和的等式。我們說(shuō)×8=+8、×11=+11，這不是很神奇嗎？事實(shí)上，等式×（n+1）=+（n+1）是成立的。因?yàn)樽笫?，右式==，所以當(dāng)?shù)扔?、10時(shí)，便是以上的兩個(gè)等式了。

④可把帶分?jǐn)?shù)的整數(shù)部分提到根號(hào)外的等式。請(qǐng)看等式=5，=7，=10，這不是把帶分?jǐn)?shù)的整數(shù)部分提到根號(hào)外了嗎？等式是否成立呢？這要看下面等式是否成立：=a。因?yàn)樽筮?==a=右邊，說(shuō)明等式成立。因此，只需令a=5、7、10，便可得到前面的三個(gè)等式。事實(shí)上，對(duì)上面的等式還可進(jìn)一步推廣（篇幅所限，略）。

（2）優(yōu)美的算式與優(yōu)美的答案。

請(qǐng)看算式：=

==111111111×111111111=12345678987654321。這個(gè)算式整齊、勻稱、和諧、平衡，給人以美的感受。這個(gè)答案顯然具備分式的特點(diǎn)，使人感到驚奇。事實(shí)上，只需在上述算式中改變一個(gè)數(shù)字，就會(huì)有類似結(jié)果：===11111111×11111111=123456787654321.你如果認(rèn)真進(jìn)行觀察、歸納，是不難寫(xiě)出它們的一般形式的：=123…（n-1）n（n-1）…321.

所有這些，都體現(xiàn)了等式巧妙結(jié)構(gòu)本身所具有的對(duì)稱、和諧和奇異的內(nèi)在美。恒等變換是一種平淡、枯燥的運(yùn)算，只要認(rèn)真鉆研，你會(huì)感到趣味無(wú)窮，說(shuō)不定你還會(huì)發(fā)現(xiàn)一些奇異的等式呢。

三、數(shù)學(xué)中出人意料的結(jié)論給人以美

在教學(xué)過(guò)程中，一些出人意料的結(jié)論也給人以美的享受。

①學(xué)生學(xué)習(xí)集合時(shí)都知道：集合是指由一些事物組成的整體，而這些事物中的每一個(gè)稱為這個(gè)集合的一個(gè)元素。比如小明的家里有五個(gè)人，像這種只含有限個(gè)元素的集合，叫做有限集。自然數(shù)有無(wú)窮多個(gè)，像自然數(shù)集這種含有無(wú)窮多個(gè)元素的集合，叫做無(wú)限集。而要比較兩個(gè)集合的大小，也就是看這兩個(gè)集合中的元素哪個(gè)多。我們知道，全體整數(shù)有無(wú)窮多個(gè)，全體正整數(shù)也有無(wú)窮多個(gè)。那么，試問(wèn)“全體整數(shù)和全體正整數(shù)都有無(wú)窮多個(gè)，它們是不是一樣多呢？”或者我們又會(huì)想到，全體正整數(shù)是全體整數(shù)的一部分，難道一部分和全體一樣多嗎？

對(duì)有限個(gè)元素組成的集合比較大小，只需要看看兩個(gè)集合間的元素是否有一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。在比較兩個(gè)由無(wú)窮個(gè)元素組成的集合大小時(shí)，要看這兩個(gè)無(wú)限集的元素間能否建立起某種“一一對(duì)應(yīng)”關(guān)系，如果可以，這兩個(gè)集合是相等的。請(qǐng)看下面的圖示：

0 1 -1 2 -2 3 -3 4 -4 ……

↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓

1 2 3 4 5 6 7 8 9 ……

從這個(gè)圖示我們看出，可以在全體整數(shù)集和全體正整數(shù)集之間建立“一一對(duì)應(yīng)”關(guān)系，也就知道它們之間的元素是一樣多的，也就得出一個(gè)出人意料的結(jié)論：全體整數(shù)集和全體正整數(shù)集是相等的。這時(shí)，一種輕松興奮的感覺(jué)油然而生，讓人感覺(jué)數(shù)學(xué)有無(wú)窮的美讓人來(lái)享受。

②學(xué)判斷命題真假的時(shí)候，偶爾在課間聽(tīng)見(jiàn)兩個(gè)學(xué)生在打鬧時(shí)說(shuō)：“我什么都可以做到。”于是，上課時(shí)我給學(xué)生出這樣一個(gè)命題：“甲說(shuō)他什么都可以做到?！弊寣W(xué)生判斷真假。學(xué)生有的說(shuō)是真命題，有的說(shuō)是假命題，爭(zhēng)論不休，課堂氣氛很活躍。我適時(shí)引導(dǎo)他們思考：甲能否制造出一個(gè)可以打敗他的對(duì)手？學(xué)生陷入沉思。隨后我引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行分析。這個(gè)命題及其否定均可用邏輯上等效的推理加以證明，而其推導(dǎo)又無(wú)法明確指出錯(cuò)誤，這種矛盾稱為悖論，我們以后在大學(xué)會(huì)學(xué)到的。雖然學(xué)生似懂非懂的，但他們被神奇而美妙的數(shù)學(xué)吸引了，個(gè)個(gè)臉上露著微笑。悖論是一個(gè)涉及數(shù)學(xué)、哲學(xué)、邏輯學(xué)等的非常廣泛的論題，在“荒誕”中蘊(yùn)含著哲理，給人以啟迪，給人以奇異的美感。

四、數(shù)學(xué)在名言中的比喻所蘊(yùn)含的美

數(shù)學(xué)有著自己獨(dú)一無(wú)二的語(yǔ)言體系，它的文化魅力已經(jīng)滲透到各個(gè)知識(shí)領(lǐng)域。比如，不少名家學(xué)者喜歡用數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)喻事論理。①成功的秘訣：大科學(xué)家愛(ài)因斯坦以“A=X+Y+Z”的數(shù)學(xué)公式來(lái)揭示成功的秘訣。他說(shuō)：“A 代表成功，X 代表艱苦的勞動(dòng)，Y代表正確的方法，Z 代表少說(shuō)空話。”②天才公式：大發(fā)明家愛(ài)迪生說(shuō)：“天才=1%的靈感+99%的汗水?！雹廴松?jǐn)?shù)：大文豪托爾斯泰說(shuō)：“一個(gè)人好比分?jǐn)?shù)，他的實(shí)際才能好比分子，而他對(duì)自己的估價(jià)好比分母，分母越大，則分?jǐn)?shù)的值就越小?！雹艽髨A與小圓：古希臘哲學(xué)家芝諾對(duì)學(xué)生說(shuō)：“如果用小圓代表你們所掌握的知識(shí)，用大圓代表我所掌握的知識(shí)，那么，大圓的面積是多一點(diǎn)，也就是說(shuō)，我的知識(shí)比你們多一些。但兩圓之外的空白，都是我們的無(wú)知面，圓越大，其圓周接觸的無(wú)知面就越多?！?/p>

數(shù)學(xué)巧妙和諧的體系，嚴(yán)密而無(wú)懈可擊的說(shuō)服力，以及它在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)所表現(xiàn)出來(lái)的神奇力量，使得數(shù)學(xué)能夠貫穿整個(gè)人類文化。在教學(xué)過(guò)程中，要引導(dǎo)學(xué)生用欣賞的眼光看待數(shù)學(xué)，巧妙運(yùn)用教材中的內(nèi)在美，喚起學(xué)生的審美體驗(yàn)，用數(shù)學(xué)美來(lái)喚起學(xué)生的求知欲望，激發(fā)他們的學(xué)習(xí)興趣，從而促進(jìn)中職生早日成才。

參考文獻(xiàn)：

[1]易南軒.數(shù)學(xué)美拾趣[M].北京：科學(xué)出版社，2002.

[2]丘維聲.數(shù)學(xué)（基礎(chǔ)版）第一冊(cè)[M].北京：高等教育出版社，2002.

（浙江省鄞州職業(yè)高級(jí)中學(xué)）