集合論
- 實在論視角下的大基數(shù)
= κ。是當(dāng)代集合論研究中的一個重要領(lǐng)域。對大基數(shù)的研究開始于豪斯道夫（F.Hausdorff）對正則的極限基數(shù)的研究，他發(fā)現(xiàn)這樣的基數(shù)必須滿足κ=?κ，因此是直觀上相當(dāng)“大”的基數(shù)；又因為“ZFC+存在這樣的基數(shù)”能證明ZFC一致，故而其一致性強(qiáng)度比ZFC 更強(qiáng)。2大基數(shù)有時并不指其為很“大”的一個基數(shù)，而單指它的一致性強(qiáng)度很強(qiáng)，例如0?。我們說大基數(shù)A 比B 強(qiáng)，若在ZFC+A 中能證明ZFC+B 一致。隨著大基數(shù)理論的發(fā)展，大基數(shù)根據(jù)一致性強(qiáng)度形成了
邏輯學(xué)研究 2023年2期2023-05-22
- 《開天辟地：宇宙演化理論》
來又有了康托的集合論，數(shù)學(xué)家們十分興奮激動，認(rèn)為數(shù)學(xué)第一次有了“基礎(chǔ)牢靠”的理論。然而，當(dāng)初康托的集合論對“集合”的定義太原始了，以為把任何一堆東西放在一起，只要它們具有某種簡單定義的相同性質(zhì)，再加以數(shù)學(xué)抽象后，就可以叫作“集合”了。沒想到如此“樸素”的想法也會導(dǎo)致許多悖論，羅素悖論就是其中之一。因此，在這些悖論解決之后，人們便將康托原來的理論稱為“樸素集合論”。實際上，集合可以分為在邏輯上不相同的兩大類，一類（A）可以包括集合自身，另一類（B）不能包括自
全國新書目 2022年7期2022-09-21
- 解決集合論悖論的雷歇爾方案
——兼論解決集合論悖論的方法論
r）創(chuàng)立的樸素集合論作為數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，其在數(shù)學(xué)發(fā)展中作用重大。但在19 世紀(jì)末20 世紀(jì)初，一些悖論卻先后在其中被發(fā)現(xiàn)，主要包括布拉里-福蒂（C.Burali-Forti）的最大序數(shù)悖論、康托爾的最大基數(shù)悖論和羅素（B.Russell）提出的羅素悖論。學(xué)界一般將它們統(tǒng)稱為集合論悖論。由于集合論悖論的出現(xiàn)直接導(dǎo)致了人們對集合論作為數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的可靠性質(zhì)疑，進(jìn)而引發(fā)了數(shù)學(xué)基礎(chǔ)危機(jī)。因此，解決悖論成為了集合論學(xué)家、數(shù)學(xué)哲學(xué)家以及邏輯學(xué)家的共同訴求?；羲诡D（L.Hors
邏輯學(xué)研究 2022年4期2022-04-06
- 哥德爾綱領(lǐng)的實現(xiàn)能支持?jǐn)?shù)學(xué)實在論嗎？
統(tǒng)問題對通常的集合論公理系統(tǒng)ZFC的獨(dú)立性，并提出了一個解決它（以及其他類似的獨(dú)立性問題）的研究方略，即尋找新公理加強(qiáng)ZFC，從而確定連續(xù)統(tǒng)基數(shù)的大小，后人稱之為“哥德爾綱領(lǐng)”（G?del’s Program）[1]。這個綱領(lǐng)指引了20 世紀(jì)70 年代以來集合論中的一大批實踐，特別是以武?。℉ugh Woodin）、斯蒂爾（John Steel）等人為代表的集合論加州學(xué)派的一系列重要工作和成果。在這些成果的激勵下，今天有很多人甚至認(rèn)為，“集合論已經(jīng)發(fā)展到了
科學(xué)經(jīng)濟(jì)社會 2021年2期2022-01-01
- 也論形式主義與多宇宙觀
等人關(guān)于公理化集合論的形式主義，形式主義在現(xiàn)代數(shù)學(xué)哲學(xué)的討論中一直在場。然而，自從哥德爾的兩個不完全性定理的發(fā)現(xiàn)揭示希爾伯特形式主義原版的研究綱領(lǐng)不可實現(xiàn)，形式主義在嚴(yán)肅的數(shù)學(xué)哲學(xué)討論中始終處于相對弱勢的地位。盡管如此，形式主義對數(shù)學(xué)工作者仍然有著強(qiáng)烈的吸引力，盡管這一吸引力主要來自可以回避進(jìn)一步的追問。正如Reuben Hersh寫道：“典型的‘?dāng)?shù)學(xué)工作者’是工作日的柏拉圖主義者，又是星期日的形式主義者?！盵1]集合論多宇宙觀（set-theoretic
科學(xué)經(jīng)濟(jì)社會 2021年2期2021-07-13
- 集合論公理的選擇：兩種路徑
上個世紀(jì)公理化集合論發(fā)展起來后，集合論的ZFC系統(tǒng)已經(jīng)得到了普遍認(rèn)可。與此同時，關(guān)于集合論新公理的討論也一直不曾停止①誠然，一些數(shù)學(xué)家認(rèn)為數(shù)學(xué)不需要新公理，但這個問題不在本文討論的范圍內(nèi)。本文要討論的是，目前集合論新公理討論中的幾種選項與它們各自的理由。。哥德爾在其《什么是康托的連續(xù)統(tǒng)假設(shè)》一文中提到：“康托的猜想必然或者為真或者為假，從今日已知公理得到的不可判定性僅能表明，這些公理沒有包含對這一事實（this reality）的完全描述……集合論公理絕沒
科學(xué)經(jīng)濟(jì)社會 2021年2期2021-07-13
- 模糊集合論對羅素悖論的解決
現(xiàn)引起了人們對集合論作為數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的懷疑，甚至導(dǎo)致了第三次數(shù)學(xué)危機(jī)。一切后續(xù)的集合論研究都不能回避這個悖論，于是出現(xiàn)了ZF集合論(Zermelo-Fraenkel set theory)和NBG集合論(von Neumann-Bernays-G?del set tehroy)等公理化集合論來解決悖論，它們都對樸素集合論作出了修正。ZF集合論給出的方案是將能夠?qū)е裸Ｕ摰母爬ㄔ瓌t限制為分離公理，即將“如果φ(x)是一個性質(zhì)，那么就存在一個集合{x|φ(x)}”修
重慶理工大學(xué)學(xué)報(社會科學(xué)) 2021年6期2021-07-09
- 數(shù)學(xué)基礎(chǔ)文化素質(zhì)課程教學(xué)探索
然[摘 要] 集合論知識在數(shù)學(xué)體系中具有基礎(chǔ)性地位，是整個數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。對各個專業(yè)的學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)基礎(chǔ)方面的教學(xué)，對于提高學(xué)生的文化素質(zhì)具有重要意義。通過設(shè)計相應(yīng)的課程教學(xué)策略，培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用集合論的基本原理思考和分析所從事專業(yè)當(dāng)中涉及的問題，并能夠用集合論知識中所蘊(yùn)含的邏輯思維方法提升工程實際中數(shù)學(xué)描述和表達(dá)的深度與廣度。[關(guān)鍵詞] 數(shù)學(xué)基礎(chǔ);集合論;文化素質(zhì);邏輯思維;教學(xué)實踐[基金項目] 2020年度北京理工大學(xué)教改重點(diǎn)項目“新形勢下信息與通信工程研究生教
教育教學(xué)論壇 2021年17期2021-06-25
- 模態(tài)邏輯的集合論語義與互模擬不變性
介紹模態(tài)邏輯的集合論語義，我們在集合傳遞閉包上解釋模態(tài)語言。第二部分定義從模態(tài)語言到集合論語言的翻譯，引入集合傳遞閉包之間的互模擬的概念。第三部分討論集合論語言與一階關(guān)系語言之間的一些聯(lián)系，這是第四部分證明刻畫定理的基礎(chǔ)。第四部分，將證明集合論語義下的刻畫定理，即一個一階集合論公式等價于某個模態(tài)公式的集合論翻譯當(dāng)且僅當(dāng)它在集合互模擬關(guān)系下不變。也就是，模態(tài)語言是一階集合論語言的集合互模擬不變片段，它是對van Benthem 刻畫定理的推廣。1 模態(tài)邏輯的
邏輯學(xué)研究 2021年1期2021-04-22
- 羅素悖論與羅素定理
0)一個幽靈在集合論中徘徊，這個幽靈就是羅素悖論.羅素悖論可以用以下公式表示：?y?x(x∈y?x?x)從這個公式來看，羅素悖論來自于集合論的一個常用語句.這個常用語句就是用屬于符號∈構(gòu)成的語句.由于集合論的所有表達(dá)式都離不開這個常用語句，所以集合論的所有表達(dá)式都會無一例外地受到羅素悖論的困擾.有人認(rèn)為，子集公理能夠從集合論中排除羅素悖論.子集公理可以用以下公式表示：?x?y?z(x∈y?x∈z∧p(x))但是，即使有了子集公理，羅素悖論仍然無處不在.因為
數(shù)理化解題研究 2021年12期2021-01-31
- 結(jié)構(gòu)主義是一種有效的數(shù)學(xué)哲學(xué)嗎？
構(gòu)主義起源于對集合論基礎(chǔ)主義（set-theoretic foundationalist position）的批評。以一階邏輯為代表的現(xiàn)代謂詞邏輯起源于弗雷格（G.Frege）為數(shù)學(xué)尋找基礎(chǔ)的努力。而策梅洛-弗蘭克爾公理化集合論（Zermelo-Fraenkel set theory），在某種意義上，起源于弗雷格邏輯主義的災(zāi)難——羅素悖論。自那以后，公理化集合論被廣泛接受為數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。人們是在下述意義上稱公理化集合論是數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)的。首先，幾乎所有的數(shù)學(xué)概念
邏輯學(xué)研究 2020年4期2020-12-21
- 無窮小存在的證據(jù)與康托集合論的錯誤
們首先引述康托集合論的兩個集合間一一對應(yīng)的定義如下：康托集合論的兩個集合間一一對應(yīng)的定義：如果存在函數(shù)y=f(x)為集合A→B的雙射函數(shù)，則集合A和B為一一對應(yīng)的關(guān)系?？低?span id="uwcoea0" class="hl">集合論的基本觀點(diǎn)是一個無窮集合可以和它的一個真子集一一對應(yīng)，部分可以和全體相等。而這個觀點(diǎn)正是康托集合論的一個定理，本文稱它為康托集合論的基本定理，現(xiàn)在我們把這個定理及其證明引述如下：康托集合論的基本定理：令a，b為實數(shù)，且a＜b，則[a，b]的基數(shù)等于[0，1]的基數(shù)，即等于c。證明：
數(shù)學(xué)大世界 2020年4期2020-12-18
- 論“民族精神家園”與“人類命運(yùn)共同體”文藝價值互約
，要么體現(xiàn)為“集合論”，但是在全球化時代，面對前所未有的機(jī)遇和挑戰(zhàn)，一種基于“文明正義”和“命運(yùn)共同體”的“互約論”觀念“脫穎而出”。構(gòu)造“人類命運(yùn)共同體”作為全球治理的“中國方案”，必然要求精神建構(gòu)作為庇護(hù)和支撐，進(jìn)而必然要求文藝作為民族和人類生存的重要精神意識形式，在整個建構(gòu)事態(tài)中最大限度地展現(xiàn)其社會進(jìn)步驅(qū)動能量。問題的復(fù)雜性在于，傳統(tǒng)世界格局所顯形的垂直民族結(jié)構(gòu)與文明形態(tài)的非平等關(guān)系，導(dǎo)致民族精神建構(gòu)與人類精神建構(gòu)諸多知識沖突與意義緊張，因而也就延及
文藝論壇 2020年1期2020-07-14
- 集合論多宇宙觀與形式主義
百多年前的公理集合論有著兩重身份（[22]）：其一，它是數(shù)理邏輯的四大分支之一1數(shù)理邏輯的另外三個主要分支是模型論、遞歸論以及證明論。，因此也是數(shù)學(xué)的一個專門領(lǐng)域；其二，常規(guī)數(shù)學(xué)所研究的對象可以被表示為各種集合，所使用到的方法以及預(yù)設(shè)也可以溯源到集合論公理，概言之，許多數(shù)學(xué)命題可以被視為各種集合論公理系統(tǒng)2最典型的集合論公理系統(tǒng)是ZFC，此外，在研究中還會涉及到ZFC 的各種子系統(tǒng)、擴(kuò)張系統(tǒng)，甚至與ZFC 不一致的系統(tǒng)，比如ZF+AD。中的定理，因此主流的
邏輯學(xué)研究 2020年5期2020-04-13
- 康托和柯西究竟誰對
們首先引述康托集合論的兩個集合間一一對應(yīng)的定義如下：定義 如果存在函數(shù)y=f(x)為集合A →B 的雙射函數(shù)，那么集合A 和B 為一一對應(yīng)的關(guān)系。前面已經(jīng)指出，康托集合論的基本觀點(diǎn)是，一個無窮集合可以和它的一個真子集一一對應(yīng)，部分可以和全體相等，而這正是康托集合論的一個定理，本文稱這個定理為康托集合論的基本定理?，F(xiàn)在，我們把這個定理及其證明引述如下：康托集合論基本定理 令a，b 為實數(shù)，且a＜b，則[a，b] 的基數(shù)等于[0，1]的基數(shù)，即等于c。證明：令
數(shù)學(xué)大世界 2020年2期2020-03-07
- 數(shù)學(xué)確定性的喪失的原因
思想性的到來。集合論中每一個超無限的元素都對應(yīng)于有一個超無限的子集合的元素，它是無始無終的。數(shù)學(xué)元素從有限到無限，無可爭議。但是，到無限以外卻難以理解和想像，特別是延續(xù)的過程還是像從有限到無限一樣。從有限到無限的過程是自然的和連續(xù)的，無窮無盡的元素一點(diǎn)一點(diǎn)被歸納到其中，即使再多也無所謂。很難理解和想像同樣的過程在無限之上還能夠再繼續(xù)下去，并以超越無限的形式展現(xiàn)在我們的面前。我們相信能夠繼續(xù)這一過程的理由是存在子集合的元素不能夠和原集合元素建立一一對應(yīng)的關(guān)系
科教導(dǎo)刊·電子版 2020年22期2020-01-10
- 論“無窮事物”的定量認(rèn)知（Ⅷ）
——新、舊無窮集合論和數(shù)學(xué)分析基礎(chǔ)理論中的三個不同特征
析理論”和“新集合論”的產(chǎn)生——我們將以經(jīng)典無窮理論體系為基礎(chǔ)的“第一、二、三代數(shù)學(xué)分析理論”（標(biāo)準(zhǔn)分析前的數(shù)學(xué)分析、標(biāo)準(zhǔn)分析、非標(biāo)準(zhǔn)分析）稱之為“現(xiàn)有經(jīng)典數(shù)學(xué)分析理論（舊數(shù)學(xué)分析理論）”，將以新無窮理論體系為基礎(chǔ)的新數(shù)學(xué)分析理論稱之為“第四代數(shù)學(xué)分析理論”[1-6]，將以經(jīng)典無窮理論體系為基礎(chǔ)的現(xiàn)有經(jīng)典無窮集合論稱之為“第一代無窮集合論（舊無窮集合論）”，將以新無窮理論體系為基礎(chǔ)的新無窮集合論稱之為“第二代無窮集合論”[7-13].1 “半阿基米德性”研
喀什大學(xué)學(xué)報 2020年3期2020-01-09
- 無窮性的悖論與公理集合論思想述略
列著述，建立了集合論，他首次引進(jìn)無窮集合的概念，并證明了實數(shù)集合的不可數(shù)性，創(chuàng)立“超窮數(shù)”理論，提出了自然數(shù)集的基數(shù)與實數(shù)集基數(shù)之間不存在中間基數(shù)的“連續(xù)統(tǒng)假設(shè)”；為了將有窮集合的元素個數(shù)的概念推廣到無窮集合，他以一一對應(yīng)為原則，提出了集合等價的概念。證明了一般的N維空間可以與直線建立一一對應(yīng)。這一結(jié)果連他自己也感到莫名驚詫，他說：“我發(fā)現(xiàn)了它，但簡直不敢相信”?？低袪柹羁探沂玖藷o窮的本質(zhì)特性，從根本上改造了數(shù)學(xué)的結(jié)構(gòu)，促進(jìn)了數(shù)學(xué)新分支的建立和發(fā)展?？低袪?/div>
昭通學(xué)院學(xué)報 2019年5期2020-01-08
- 因為發(fā)現(xiàn)了不同種類的無窮大，他進(jìn)了精神病院
的一個核心——集合論打下了基礎(chǔ)。不過，當(dāng)時的數(shù)學(xué)家們各種不適應(yīng)無窮大新品種的概念，他們各種嘲笑康托爾。同時期的數(shù)學(xué)家有多么不理解他的研究呢？比如，法國最偉大的數(shù)學(xué)家之一龐加萊這樣評價康托爾的集合論：“后世的人會把集合論看做一個人曾經(jīng)生過的一場病?！庇直热纾?881年哈勒·維騰貝格大學(xué)（Martin-Luther-University Halle-Wittenberg）的數(shù)學(xué)家愛德華·海涅（Eduard Heine）去世后，康托爾推薦了三個數(shù)學(xué)家頂替他的位子視野 2019年19期2019-10-18
- 根據(jù)微積分理論來認(rèn)識康托集合論的錯誤
會 張喜安康托集合論的基本觀點(diǎn)是：一個無窮集合可以和它的一個真子集一一對應(yīng)，部分可以和全體相等。這個觀點(diǎn)正是康托集合論的一個定理，現(xiàn)在我們稱這個定理為康托集合論的基本定理，為了論述得方便，我們把這個定理及其證明引述如下：康托集合論的基本定理 令a，b為實數(shù)，并且a＜b，則[a，b]的基數(shù)等于[0，1]的基數(shù)。證明：令y=f(x)=a+(b-a)x，顯然y=f(x)為[0，1]→[a，b]的雙射函數(shù)，這就證明了[a，b]的基數(shù)等于[0，1]的基數(shù)。這個定理表數(shù)學(xué)大世界 2019年23期2019-08-30
- 論集合論的模型
。1908年，集合論第一次被策梅洛（E.Zermelo）公理化，后經(jīng)過斯柯倫（T.Skolem）和弗蘭克爾（A.Fraenkel）的改進(jìn)，形成了ZF，在ZF的基礎(chǔ)上添加AC，就得到ZFC。公理化集合論ZFC的誕生，使得元數(shù)學(xué)成為可能，因為所有的數(shù)學(xué)都能在ZFC中被形式化。元數(shù)學(xué)即對數(shù)學(xué)自身的研究。但是根據(jù)哥德爾（K.G?del）的不完全性定理，ZF或ZFC系統(tǒng)是不完全的，因此，對于我們抱有疑慮的公理AC或假設(shè)GCH，它們在形式系統(tǒng)ZF或ZFC中的證明或證偽邏輯學(xué)研究 2019年1期2019-04-01
- 數(shù)學(xué)悖論發(fā)展概述
羅素發(fā)現(xiàn)的一個集合論悖論。羅素在解決集合論問題時將集合分為兩種：第一種是自身元素的集合，第二種集合為不是自身元素的集合。接下來，假設(shè)S是由一切不屬于自身的集合所組成，即“S={x∣x ∈S}”。則S是否包含于S？如果假設(shè)S包含于S，則不符合題中x ∈S，所以S包含于S不成立；假設(shè)S不包含于S，于是就符合x ∈S，可推出S包含于S，但因為假設(shè)中S不包含于S，與S包含于S矛盾，所以假設(shè)也不成立。在悖論提出后，人們紛紛尋找著解決的辦法，有些人希望對康托爾的集合論中國校外教育 2019年5期2019-01-31
- 康托集合論的錯誤的證據(jù)
張喜安一、康托集合論的錯誤的直接證據(jù)康托集合論的基本觀點(diǎn)為一個無窮集合可以和它的一個真子集一一對應(yīng)，部分可以和全體相等，這個觀點(diǎn)即為康托集合論的一個定理，為了指出康托集合論的錯誤的直接證據(jù)，現(xiàn)在將康托集合論的這個定理及其證明引述如下：定理 令a，b為實數(shù)，且a＜b，則[a，b]的基數(shù)等于[0，1]的基數(shù)，即等于c。證明 令 f（x）=a+（b-a）x，顯然 f為 [0，1]→[a，b]的一個雙射函數(shù)，這就證明了[a，b]的基數(shù)也是c?？低姓J(rèn)為上述定理的證明數(shù)學(xué)大世界 2018年20期2018-11-30
- 范疇論對集合論的超越 ——“數(shù)學(xué)基礎(chǔ)”研究的比較分析
供了堅固保障。集合論對數(shù)學(xué)概念的統(tǒng)一解釋奠定了其在數(shù)學(xué)基礎(chǔ)研究中的核心地位，范疇論對數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的闡釋啟發(fā)了新的基礎(chǔ)研究思路，撼動了ZFC*策梅洛-弗蘭克爾的公理化集合論(Zermelo-Fraenkel Set Theory)，包含選擇公理(AC)時記為ZFC。長期以來的基礎(chǔ)定位。那么范疇論數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的研究起點(diǎn)是什么？范疇論數(shù)學(xué)基礎(chǔ)具有怎樣的研究特點(diǎn)？根據(jù)研究性質(zhì)，范疇論數(shù)學(xué)基礎(chǔ)能否充分地闡釋集合論？以這些問題為契機(jī)，我們可以分析范疇論數(shù)學(xué)基礎(chǔ)相對于集合論數(shù)學(xué)- 集合悖論再議
論文,標(biāo)志著《集合論》的創(chuàng)立。1900年,希爾伯特在國際數(shù)學(xué)家大會上說,“集合論是人類純粹智力活動的最高成就之一”。然而,1903年，羅素(英國，1872-1970年)提出一個簡明的集合悖論，打破了人們的希望，引發(fā)了數(shù)學(xué)基礎(chǔ)新的爭論和研究。1908年,策梅洛提出了7條公理組成的集合論體系,稱為Z公理系統(tǒng);1922年,弗蘭克爾又加進(jìn)一條公理,還把公理用符號邏輯表示出來,形成了集合論的ZF公理系統(tǒng);再后來還有伯奈斯和哥德爾改進(jìn)的ZFC公理系統(tǒng)。這些系統(tǒng)由于嚴(yán)格山西廣播電視大學(xué)學(xué)報 2018年3期2018-01-29
- 對充要條件教學(xué)的再認(rèn)知
中學(xué)數(shù)學(xué)第一章集合論可以說是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，有了集合論規(guī)范的表述，才有了后來各種數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí).集合論教學(xué)中，子集、交集、并集、全集、補(bǔ)集是集合中最基本的五大要點(diǎn)，形成了集合論的基礎(chǔ).比如：子集關(guān)系是運(yùn)用到各種知識銜接的重要知識.以命題為例：“若p，則q”指的是就是集合論中的子集關(guān)系，但是學(xué)生在學(xué)習(xí)中卻鮮有將知識串聯(lián)在一起思考.因此教師教學(xué)需要打通這些知識的單一性，形成教學(xué)的全方位處理，形成知識的綜合理解成為關(guān)鍵.一、概念的認(rèn)識充要條件的概念在教材中僅僅是中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2018年1期2018-01-23
- 一種模糊集合論的公理化方法
50)一種模糊集合論的公理化方法李 娜，楊 帆(南開大學(xué) 哲學(xué)院， 天津 300350)模糊集合論是模糊理論的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，其公理化可以從不同的邏輯語言出發(fā)。經(jīng)典邏輯是較為簡潔的一種方法。夏平基于扎德的模糊集概念創(chuàng)立了第一個公理化模糊集合論Za。這個公理化是ZF的。將它擴(kuò)張為NBG是一種自然的考慮。這樣的擴(kuò)張將作為從非經(jīng)典邏輯如模糊邏輯出發(fā)建立集合論的一個基礎(chǔ)。模糊集合論；公理化；NBGAbstract: Fuzzy set theory (FST) is t重慶理工大學(xué)學(xué)報(社會科學(xué)) 2017年9期2017-10-11
- 對集合論的辯證思考
職業(yè)技術(shù)學(xué)院對集合論的辯證思考趙雁 樂山職業(yè)技術(shù)學(xué)院集合論被認(rèn)為是20世紀(jì)偉大的數(shù)學(xué)創(chuàng)造，它在近代數(shù)學(xué)中有重要的地位。從集合的一些基本常識，認(rèn)識一下初等數(shù)學(xué)“樸素集合論”的理論基礎(chǔ)是不夠嚴(yán)密的。從哲學(xué)高度來看，對集合論作歷史觀察，可以幫助我們有更多的思考。無限集 集合論 公理化1 無限集之謎什么是無限集：就是含有無限個元素的集合。無限與無限集不只是數(shù)學(xué)的課題，同時也是哲學(xué)的問題。并長期困擾著哲學(xué)家與數(shù)學(xué)家。它的定義十分簡單、明確。但對“無限”的認(rèn)識哲學(xué)家走數(shù)碼世界 2017年7期2017-07-25
- 論集合中的元素的確定性、互異性和無序性
基本概念，它是集合論的研究對象，集合論的基本理論直到19世紀(jì)才被創(chuàng)立。最簡單的說法，即是在最原始的集合論——樸素集合論中的定義，集合就是“一堆東西”。集合里的“東西”，叫作元素。若x是集合A的元素，則記作x∈A。一個集合中可以有很多個元素，而這些元素的構(gòu)成都有一定的特性：確定性、互異性、無序性。1 集合中元素的性質(zhì)1.1 元素的確定性每一個對象都能確定是不是某一集合的元素，沒有確定性就不能成為集合，例如“個子高的同學(xué)”“很小的數(shù)”都不能構(gòu)成集合。這個性質(zhì)主數(shù)碼世界 2017年7期2017-07-25
- 康托集合論為什么是錯誤的理論
會 張喜安康托集合論為什么是錯誤的理論四川省攀枝花市老年科技工作者協(xié)會 張喜安康托集合論的基本觀點(diǎn)是，一個無窮集合可以和它的一個真子集一一對應(yīng)，或者說部分可以和全體相等，而這個觀點(diǎn)正是康托集合論的一個定理的結(jié)論。因此，只要我們能夠證明康托集合論的上述定理是錯誤的，那么，我們也就證明了康托集合論是一個錯誤的理論。本文首先根據(jù)客觀事實對康托的上述定理提出質(zhì)疑，然后詳細(xì)地證明上述康托集合論的定理的證明是錯誤的，最后我們得出結(jié)論，康托集合論是錯誤的理論。還有一點(diǎn)值數(shù)學(xué)大世界 2017年13期2017-02-25
- 理發(fā)師悖論
呢？在數(shù)學(xué)中，集合論的嚴(yán)密性是數(shù)學(xué)得以“絕對嚴(yán)格”的基礎(chǔ)?？闪_素悖論恰恰揭示了在集合論中存在著不可避免的矛盾，因此這個悖論動搖了數(shù)學(xué) “絕對嚴(yán)格”的基礎(chǔ)，引發(fā)了數(shù)學(xué)史上的第三次危機(jī)。仿照理發(fā)師悖論，你可以設(shè)想出許許多多類似的悖論。如：有一個機(jī)器人，它只為一切不維修保養(yǎng)自己的機(jī)器人進(jìn)行維修，那么，誰來維修它自己？有一個目錄，它只為一切不列入本身的目錄編目，那么，這個目錄應(yīng)編入哪個目錄？家教世界·創(chuàng)新閱讀 2016年11期2016-12-27
- 整體不一定大于部分
爾創(chuàng)立了著名的集合論。在集合論剛產(chǎn)生時，曾遭到許多人的猛烈攻擊，但不久這一開創(chuàng)性成果就被廣大數(shù)學(xué)家所接受，并且獲得廣泛而高度的贊譽(yù)。數(shù)學(xué)家們發(fā)現(xiàn)，從自然數(shù)與康托爾集合論出發(fā)可建立起整個數(shù)學(xué)大廈，因而集合論成為現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基石。集合論產(chǎn)生后，數(shù)學(xué)家們以為數(shù)學(xué)的嚴(yán)格性終于實現(xiàn)了，人們把數(shù)學(xué)基礎(chǔ)理論的不矛盾性歸結(jié)為集合論的不矛盾性。可是，英國科學(xué)家羅素認(rèn)為集合論是自相矛盾的，沒有相容性。這就是著名的羅素悖論，或者說是“集合論”悖論。通俗地講，我們知道整體大于部分，初中生學(xué)習(xí)·低 2016年10期2016-11-25
- 連續(xù)統(tǒng)問題與薄實在論
學(xué)問題。但通行集合論公理在判定這個問題上的無力使得它衍生出一個相應(yīng)的哲學(xué)問題，即連續(xù)統(tǒng)問題有沒有意義的問題。對于這后一個，哲學(xué)意義上的“連續(xù)統(tǒng)問題”，數(shù)學(xué)哲學(xué)家們給出了各種不同的回答，其中尤以哥德爾（Kurt G?del）所代表的柏拉圖主義立場最為有影響。事實上，與此立場密切相關(guān)的所謂“哥德爾綱領(lǐng)”（G?del's Program），在很大程度上塑造了當(dāng)代集合論的實踐。然而不可否認(rèn)的是，柏拉圖主義存在種種困難，最為人熟知的便是關(guān)于抽象對象的認(rèn)識論問題，亦即邏輯學(xué)研究 2016年2期2016-10-09
- 數(shù)理邏輯中一個撤消百年的悖論
悖論，igR是集合論中一個由錯誤前提導(dǎo)致的自相矛盾，它是數(shù)學(xué)推理中違反邏輯排中原則必然導(dǎo)致荒謬的典型。百年來，它在相關(guān)學(xué)科中仍在宣傳，其實這個所謂悖論百年前已經(jīng)被策梅洛撤消，這是一段值得反思的歷史。1908年，德國數(shù)學(xué)家策梅洛（E.Zermelo）為集合論基礎(chǔ)研究建立一組公理系統(tǒng)，以其中的“劃分公理”解釋了當(dāng)時被稱為羅素悖論的矛盾的起因，將其排除出集合論研究范疇，從而解除了它給數(shù)學(xué)和邏輯基礎(chǔ)帶來的威脅。但此后，對那個所謂的悖論不合事實的宣傳在一個世紀(jì)中并沒科學(xué) 2016年3期2016-05-30
- 數(shù)學(xué)集合論思想對集體觀念研究的借鑒價值
119)?數(shù)學(xué)集合論思想對集體觀念研究的借鑒價值蔣萬勝，劉璐(陜西師范大學(xué) 新聞與傳播學(xué)院，陜西 西安 710119)數(shù)學(xué)集合論主要利用集合之間的運(yùn)算關(guān)系來說明物件與集合之間的關(guān)系。效仿數(shù)學(xué)集合論的研究方式，建立個人觀念與集體觀念的集合，是研究個人觀念與集體觀念之間關(guān)系的新途徑。運(yùn)用集合論思想對集體觀念進(jìn)行研究，有助于從數(shù)理的角度揭示集體觀念與個人觀念之間的關(guān)系。集體觀念并非個人觀念的簡單相加，集體觀念源于個人觀念的擴(kuò)散與提升。將數(shù)學(xué)分析方法應(yīng)用于人文社會新鄉(xiāng)學(xué)院學(xué)報 2016年5期2016-03-02
- 基于哲學(xué)邏輯的集合論研究
基于哲學(xué)邏輯的集合論研究李 娜(南開大學(xué)哲學(xué)院,天津300350)20世紀(jì)60年代之后,涌現(xiàn)出了嘗試以非經(jīng)典邏輯為基礎(chǔ)邏輯來拯救集合論的熱潮。在這一時期,誕生了模態(tài)集合論、弗協(xié)調(diào)集合論、直覺主義集合論等一些基于哲學(xué)邏輯的集合理論。模態(tài)邏輯是在經(jīng)典邏輯的基礎(chǔ)上增加模態(tài)算子形成的一種二階邏輯,因此,它是一種比經(jīng)典邏輯強(qiáng)的邏輯。模態(tài)集合論相對于公理化集合論是一種加強(qiáng)了基礎(chǔ)邏輯的公理化集合論。與ZF公理化集合論用公理限制集合的方法不同,弗協(xié)調(diào)集合論也是一種改變了集- 如何從集合論觀點(diǎn)看待數(shù)學(xué)教學(xué)
韓桂玲摘要：集合論在現(xiàn)代數(shù)學(xué)的發(fā)展中起到了基礎(chǔ)作用，也使幾個數(shù)學(xué)分支統(tǒng)一到一起。集合論貫穿于整個數(shù)學(xué)從基礎(chǔ)數(shù)學(xué)到高等數(shù)學(xué)的知識系統(tǒng)中，無論是概念還是方法，集合論都有著不可替代的作用。關(guān)鍵詞：集合論數(shù)學(xué)教學(xué)思想方法集合論在數(shù)學(xué)中有獨(dú)特的地位，它的基本概念已滲透到數(shù)學(xué)的所有領(lǐng)域，如各種數(shù)學(xué)理論是建立在集合論的基礎(chǔ)上的，（實數(shù)理論是奠定在集合論的基礎(chǔ)上），各種復(fù)雜的數(shù)學(xué)概念（比如自然數(shù)、實數(shù)、函數(shù)等）都是借助集合定義出來，從這個意義上來講，集合論可以說是現(xiàn)代數(shù)學(xué)學(xué)周刊·中旬刊 2015年8期2015-08-15
- 如何從集合論觀點(diǎn)看待數(shù)學(xué)教學(xué)
075000）集合論在數(shù)學(xué)中有獨(dú)特的地位，它的基本概念已滲透到數(shù)學(xué)的所有領(lǐng)域，如各種數(shù)學(xué)理論是建立在集合論的基礎(chǔ)上的，（實數(shù)理論是奠定在集合論的基礎(chǔ)上），各種復(fù)雜的數(shù)學(xué)概念（比如自然數(shù)、實數(shù)、函數(shù)等）都是借助集合定義出來，從這個意義上來講，集合論可以說是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。一、集合論的概念與數(shù)學(xué)教學(xué)中集合概念的關(guān)系1874年，康托爾越過“數(shù)集”的限制，開始提出“集合”的概念。他對“集合”給出了這樣的定義：把若干確定的有區(qū)別的（具體的或抽象的）事物合并起來，看作學(xué)周刊 2015年23期2015-08-07
- 整體不一定大于部分
爾創(chuàng)立了著名的集合論。在集合論剛產(chǎn)生時，曾遭到許多人的猛烈攻擊。但不久這一開創(chuàng)性成果就為廣大數(shù)學(xué)家所接受，并且獲得廣泛而高度的贊譽(yù)。數(shù)學(xué)家們發(fā)現(xiàn)，從自然數(shù)與康托爾集合論出發(fā)可建立起整個數(shù)學(xué)大廈，因而集合論成為現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基石。集合論產(chǎn)生后，數(shù)學(xué)家們以為數(shù)學(xué)的嚴(yán)格性終于實現(xiàn)了，人們把數(shù)學(xué)基礎(chǔ)理論的不矛盾性歸結(jié)為集合論的不矛盾性。可是，英國科學(xué)家羅素認(rèn)為集合論是自相矛盾的，沒有相容性。這就是著名的羅素悖論，或者說是“集合論”悖論。通俗地講，我們知道整體大于部分，初中生之友·中旬刊 2015年6期2015-06-10
- 基于類比與集合論的《金匱要略》篇章分析
基于類比與集合論的《金匱要略》篇章分析吳清榮，賈春華*(北京中醫(yī)藥大學(xué)基礎(chǔ)醫(yī)學(xué)院，北京 100029)摘要：《金匱要略》記載雜病，采用臟腑辨證法則，將搜集可見及潛在的癥狀體征，運(yùn)用援物比類等法，經(jīng)過分析判斷尋求病因真相。條文編排上，系以整體系統(tǒng)性之邏輯類比形式，便利各項病證作異同比較；在治法上，有“同病異治”或“異病同治”之相對運(yùn)用，俾益于學(xué)習(xí)指導(dǎo)及臨癥應(yīng)用參考。各篇章內(nèi)容雖集雜病而成，然從其中結(jié)構(gòu)分析，條文之間彼此具備相關(guān)從屬關(guān)系，經(jīng)過逐條比對之后，可見吉林中醫(yī)藥 2015年7期2015-04-15
- “文化集合論”:內(nèi)在矛盾與可能之途
9)一、“文化集合論”的緣起“文化”這種說法在中國古已有之，如“觀乎天文，以察時變;觀乎人文，以化成天下”，以及“圣人之治天下也，先文德而后武力。凡武之興，為不服也，文化不改，然后加誅”等。但這里的“文化”指的是“文治教化”，與現(xiàn)代意義上的“文化”并非同一所指。今天所說的“文化”實際上轉(zhuǎn)譯自“culture”，其原形是拉丁語的“cultura”，意指“耕作或耕作方式;才能的培養(yǎng);古跡的維護(hù);人際關(guān)系的經(jīng)營以及宗教儀式”［1］等。真正作為學(xué)術(shù)概念的“文化”最文化學(xué)刊 2015年1期2015-03-20
- 對集合論公理化方法悖性的審思
41003）對集合論公理化方法悖性的審思王習(xí)勝（安徽師范大學(xué)政治學(xué)院，安徽 蕪湖 241003）公理化集合論理論的創(chuàng)立，解決了康托爾素樸集合論因其概括原則的前提預(yù)設(shè)而導(dǎo)致的一系列悖論。在公理化集合論中人們沒有發(fā)現(xiàn)新的悖論，學(xué)界因此而視其為成功的解悖方案。公理化的本質(zhì)是重構(gòu)集合論的演繹系統(tǒng)，演繹方法具有保真性，能夠?qū)С隹煽恐R。公理化集合論的兩個準(zhǔn)等價的系統(tǒng)卻是從相互矛盾的前提建構(gòu)得來的。如果這兩個公理系統(tǒng)導(dǎo)出的結(jié)論是可靠的，就說明可靠知識可以由不可靠的公理井岡山大學(xué)學(xué)報(社會科學(xué)版) 2014年1期2014-04-15
- 是誰把數(shù)學(xué)推向了深淵？
么康托爾樸素的集合論則幾乎把數(shù)學(xué)推向了深淵?？低袪柍錾诙韲氖ケ说帽?，猶太后裔，后來遷居到德國。在而立之年，他提出了令人高深莫測的無窮大概念，這個無窮大不是微積分里的無窮大，是表述集合元素多少的。集合的概念不需要我多做解釋，相信學(xué)過一點(diǎn)數(shù)學(xué)的人都知道。眾所周知，有限集存在有多少元素的問題，例如一個班級有多少人？班級的人數(shù)成為這個班級的“基數(shù)”或“勢”，任何有限集都可以數(shù)出它的元素來，可如果問自然數(shù)有多少？有理數(shù)有多少？實數(shù)有多少？誰能回答？康托爾的目的就求知導(dǎo)刊 2014年1期2014-02-24
- 數(shù)學(xué)存在的語言建構(gòu)——結(jié)構(gòu)主義的研究范式
分的算術(shù)化導(dǎo)致集合論的建立，從而形成數(shù)學(xué)基礎(chǔ)三大學(xué)派:邏輯主義、形式主義與直覺主義，進(jìn)而引發(fā)了更為普遍的哲學(xué)思潮。以邏輯實證主義為代表的分析哲學(xué)運(yùn)動主張，邏輯是哲學(xué)的唯一合法的研究領(lǐng)域，形而上學(xué)問題源于語言的誤用，沒有任何意義而應(yīng)當(dāng)從哲學(xué)中清除出去，數(shù)學(xué)哲學(xué)成為數(shù)學(xué)語言的邏輯分析，成為關(guān)于數(shù)學(xué)語言的邏輯句法學(xué)與邏輯語義學(xué)。20世紀(jì)30年代哥德爾不完全性定理的提出，從邏輯上闡明了對于數(shù)學(xué)語言的邏輯分析無法完全封閉形成自我滿足的有限世界，數(shù)學(xué)語言除了具有邏輯的重慶理工大學(xué)學(xué)報(社會科學(xué)) 2013年3期2013-08-15
- 單調(diào)類定理的一個集合論證明
調(diào)類定理的一個集合論證明王小特（陜西能源職業(yè)技術(shù)學(xué)院，咸陽 712000）本文利用集合論中的序數(shù)理論和超限歸納法，給出概率測度論中一個集族生成的最小σ代數(shù)，最小λ類和最小單調(diào)類的具體形式，并給出單調(diào)類定理一個直接的證明.單調(diào)類定理；集合論；最小σ代數(shù)；最小λ類；最小單調(diào)類1 引言與預(yù)備我們首先介紹概率測度論中的一些概念.定義1.1［1］設(shè)Ω為一個集合，C為Ω的一個子集族.①Ω∈C； ②A，B∈C，B?A得A－B?C； ③An∈C，n≥1，An↑A得A∈C.大學(xué)數(shù)學(xué) 2012年4期2012-11-02
- 構(gòu)造性數(shù)學(xué)與構(gòu)造集合論
良基集合的經(jīng)典集合論基礎(chǔ)之上的，即公理系統(tǒng)ZFA(ZFC-+AFA)。Rathjen斷言 Barwise和 Moss的大部分工作都可以建立在包含非良基集合的構(gòu)造性全域(constructive universe)的基礎(chǔ)上，而不是經(jīng)典集合全域。也就是說，Barwise和Moss的大部分工作都可以在構(gòu)造集合論(constructive set theory)的意義下進(jìn)行。正如公理系統(tǒng)ZFC對應(yīng)著康托經(jīng)典數(shù)學(xué)的形式化一樣，構(gòu)造集合論起源于Myhill的努力，他為華北水利水電大學(xué)學(xué)報(社會科學(xué)版) 2012年5期2012-07-04
- 非良基公理的本質(zhì)及其應(yīng)用
形成新的非良基集合論。這樣形成的精確圖還是不太合理，考慮圖4：（圖4）一個嚴(yán)格的但不是同構(gòu)外延的可達(dá)點(diǎn)圖（圖5）一個同構(gòu)外延的但非外延的可達(dá)點(diǎn)圖這是嚴(yán)格的且外延的圖。底端的每個結(jié)點(diǎn)被一個等于自己的單元素集所裝飾，裝飾這兩個結(jié)點(diǎn)的集合似乎應(yīng)該相等，需要更嚴(yán)格的精確圖概念。隨著中國城鎮(zhèn)住房金融制度的改革，改革開放40年中，住房金融市場逐步衍生、發(fā)展和繁榮?？v觀改革開放40年，我們不難發(fā)現(xiàn)，中國城鎮(zhèn)住房金融對開發(fā)商獲得土地、商品房開發(fā)、商品房購買和消費(fèi)提供了金融- 集合論觀點(diǎn)下的一類恒成立問題的辨析
318020)集合論觀點(diǎn)下的一類恒成立問題的辨析●祝敏芝(三門教育局教研室 浙江臺州 317100) ●洪秀滿(黃巖教育局教研室 浙江臺州 318020)集合論是19世紀(jì)德國數(shù)學(xué)家康托(Cantor)創(chuàng)立的，現(xiàn)在已發(fā)展為獨(dú)立的數(shù)學(xué)分支，其基本概念與方法已滲入到數(shù)學(xué)的各個領(lǐng)域，成為現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基石.對于含有存在量詞的存在性問題與含有全稱量詞的恒成立問題，本文試用集合論的基本概念與方法對恒成立進(jìn)行辨析，挖掘這類問題的數(shù)學(xué)本質(zhì)，讓其思想更深刻，形式更簡約.1 問題中學(xué)教研(數(shù)學(xué)) 2010年1期2010-12-01
- 底層集合論
“什么是集合？集合論的創(chuàng)始人Cantor曾作如下描述： ‘一個集合是我們直覺中或理智中，確定的，互不相同的事物的一個匯集，被設(shè)想為一個整體 （單位）’.這些事物叫做這個集合的元素，或者說這些元素屬于這個集合，也說這集合包含這些元素.Cantor的描述對人們直觀地理解集合概念是很有價值的.例如，它說一個集合的元素是 ‘確定的’，這意味著某個事物是否屬于某個集合的元素是 ‘確定的’，某個事物是否屬于某個集合是沒有絲毫含混余地的；又如，它說一個集合的元素是 ‘互- 矩陣在離散數(shù)學(xué)中的應(yīng)用
數(shù)的概念,然而集合論和圖論是離散數(shù)學(xué)的范疇,從表面上看沒有什么聯(lián)系,這篇文章把矩陣和關(guān)系、關(guān)系的復(fù)合、關(guān)系的冪、關(guān)系的性質(zhì)、關(guān)系的閉包以及有向圖、圖的通路和回路數(shù)有機(jī)地結(jié)合起來,另辟蹊徑,打開了思路。矩陣;離散數(shù)學(xué);集合論;圖論“宇宙間的萬物是相通的”,任何事物之間都存在著這樣或那樣的聯(lián)系,線性代數(shù)與離散數(shù)學(xué)之間同樣存在著相關(guān)性。特別是矩陣在集合論和圖論中的應(yīng)用,使得集合論和圖論中的某些問題變得容易理解。一、矩陣在集合論中的應(yīng)用1.關(guān)系矩陣設(shè)非空有限集A=長沙民政職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報 2010年3期2010-01-05
- 對阿蘭·巴迪歐“數(shù)學(xué)等于本體論”的思考
不但把康托爾的集合論引入哲學(xué)中,而且為當(dāng)代哲學(xué)注入了新鮮活力。關(guān)鍵詞:本體論 康托爾 集合論 空集 無限中圖分類號:O1-0文獻(xiàn)標(biāo)識碼:A文章編號:1006-8937(2009)03-0143-01巴迪歐提出一個著名的命題:“數(shù)學(xué)=本體論”,但是,巴迪歐在這里提及的數(shù)學(xué)并非一般意義上的數(shù)學(xué),這與弗雷格開創(chuàng)的哲學(xué)的數(shù)學(xué)-邏輯學(xué)轉(zhuǎn)向并沒有太大關(guān)聯(lián)。更準(zhǔn)確的說,巴迪歐在這里依靠的是一種特殊的數(shù)學(xué)范疇——集合論,尤其是康托爾之后的集合論發(fā)展的諸多成果。康托爾是德籍企業(yè)技術(shù)開發(fā)·中旬刊 2009年3期2009-10-12
- 羅素悖論與第三次數(shù)學(xué)危機(jī)
代數(shù)學(xué)中被稱為集合論,其基本概念幾乎滲透到數(shù)學(xué)的所有領(lǐng)域,它的創(chuàng)始人康托爾也因此被譽(yù)為20世紀(jì)最偉大的數(shù)學(xué)家之一。既然同學(xué)們都學(xué)過集合知識,那有個問題要考考大家。假設(shè)有一個集合S,它由一切不是自身元素的集合所組成。那么請問,S是否屬于S?我們知道,一個元素或者屬于某個集合,或者不屬于某個集合。因此,如果S屬于S,那么根據(jù)S的定義,S就不屬于S;反之,如果S不屬于S,同樣根據(jù)定義,S就應(yīng)該屬于S。這就是著名的“羅素悖論”,它非常淺顯易懂,而且涉及的都是集合論中學(xué)生天地·高中學(xué)習(xí)版 2009年6期2009-06-02
- 因為發(fā)現(xiàn)了不同種類的無窮大，他進(jìn)了精神病院