四川省攀枝花市老年科學(xué)技術(shù)工作者協(xié)會(huì) 張喜安

康托集合論的基本觀點(diǎn)是：一個(gè)無窮集合可以和它的一個(gè)真子集一一對(duì)應(yīng)，部分可以和全體相等。這個(gè)觀點(diǎn)正是康托集合論的一個(gè)定理，現(xiàn)在我們稱這個(gè)定理為康托集合論的基本定理，為了論述得方便，我們把這個(gè)定理及其證明引述如下：

康托集合論的基本定理 令a，b為實(shí)數(shù)，并且a＜b，則[a，b]的基數(shù)等于[0，1]的基數(shù)。

證明：令y=f(x)=a+(b-a)x，顯然y=f(x)為[0，1]→[a，b]的雙射函數(shù)，這就證明了[a，b]的基數(shù)等于[0，1]的基數(shù)。

這個(gè)定理表明一個(gè)無窮集合可以和它的一個(gè)真子集一一對(duì)應(yīng)，部分可以和全體相等。例如，由于存在函數(shù)y=2x為[0，1]→[0，2]的雙射函數(shù)，所以[0，1]和[0，2]為一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，這時(shí)無窮集合[0，2]和它的真子集[0，1]一一對(duì)應(yīng)，部分[0，1]和全體[0，2]相等。

為了證明康托集合論是錯(cuò)誤的，我們將以具體的例子來證明康托集合論的基本定理的證明不能成立。

再有，在[0，1]在x軸上，[0，2]在y軸上，在y=2x的時(shí)候，[0，1]和[0，2]是一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，這時(shí)，我們還要注意到，在y=x的條件下，[0，1]和[0，2]卻是非一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系。這時(shí)我們要問，[0，1]和[0，2]是一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，還是非一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系？這表明，康托的兩個(gè)集合間一一對(duì)應(yīng)的定義是不能判斷兩個(gè)實(shí)數(shù)點(diǎn)的集合是不是一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系。同時(shí)我們還要注意到，康托集合論的兩個(gè)集合間一一對(duì)應(yīng)的定義是一個(gè)全稱量詞命題，如果這個(gè)命題是正確的，它就不可能存在相反的命題，但是在y=x的條件下，[0，1]和[0，2]就是非一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，這就是一個(gè)相反的命題，這個(gè)事實(shí)說明，康托集合論的兩個(gè)集合間一一對(duì)應(yīng)的定義是錯(cuò)誤的。這個(gè)定義是康托集合論的基礎(chǔ)，它是錯(cuò)誤的，說明康托集合論也就是錯(cuò)誤的。

根據(jù)以上的分析，我們可以得出結(jié)論，康托集合論的基本定理的證明不能成立，因此康托集合論是錯(cuò)誤的理論。