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        根據(jù)微積分理論來認(rèn)識康托集合論的錯誤

        2019-08-30 08:36:26四川省攀枝花市老年科學(xué)技術(shù)工作者協(xié)會張喜安
        數(shù)學(xué)大世界 2019年23期
        關(guān)鍵詞:集合論基數(shù)子集

        四川省攀枝花市老年科學(xué)技術(shù)工作者協(xié)會 張喜安

        康托集合論的基本觀點(diǎn)是:一個無窮集合可以和它的一個真子集一一對應(yīng),部分可以和全體相等。這個觀點(diǎn)正是康托集合論的一個定理,現(xiàn)在我們稱這個定理為康托集合論的基本定理,為了論述得方便,我們把這個定理及其證明引述如下:

        康托集合論的基本定理 令a,b為實(shí)數(shù),并且a<b,則[a,b]的基數(shù)等于[0,1]的基數(shù)。

        證明:令y=f(x)=a+(b-a)x,顯然y=f(x)為[0,1]→[a,b]的雙射函數(shù),這就證明了[a,b]的基數(shù)等于[0,1]的基數(shù)。

        這個定理表明一個無窮集合可以和它的一個真子集一一對應(yīng),部分可以和全體相等。例如,由于存在函數(shù)y=2x為[0,1]→[0,2]的雙射函數(shù),所以[0,1]和[0,2]為一一對應(yīng)的關(guān)系,這時無窮集合[0,2]和它的真子集[0,1]一一對應(yīng),部分[0,1]和全體[0,2]相等。

        為了證明康托集合論是錯誤的,我們將以具體的例子來證明康托集合論的基本定理的證明不能成立。

        再有,在[0,1]在x軸上,[0,2]在y軸上,在y=2x的時候,[0,1]和[0,2]是一一對應(yīng)的關(guān)系,這時,我們還要注意到,在y=x的條件下,[0,1]和[0,2]卻是非一一對應(yīng)的關(guān)系。這時我們要問,[0,1]和[0,2]是一一對應(yīng)的關(guān)系,還是非一一對應(yīng)的關(guān)系?這表明,康托的兩個集合間一一對應(yīng)的定義是不能判斷兩個實(shí)數(shù)點(diǎn)的集合是不是一一對應(yīng)的關(guān)系。同時我們還要注意到,康托集合論的兩個集合間一一對應(yīng)的定義是一個全稱量詞命題,如果這個命題是正確的,它就不可能存在相反的命題,但是在y=x的條件下,[0,1]和[0,2]就是非一一對應(yīng)的關(guān)系,這就是一個相反的命題,這個事實(shí)說明,康托集合論的兩個集合間一一對應(yīng)的定義是錯誤的。這個定義是康托集合論的基礎(chǔ),它是錯誤的,說明康托集合論也就是錯誤的。

        根據(jù)以上的分析,我們可以得出結(jié)論,康托集合論的基本定理的證明不能成立,因此康托集合論是錯誤的理論。

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