四川省攀枝花市老年科學(xué)技術(shù)工作者協(xié)會(huì) 張喜安
康托集合論的基本觀點(diǎn)是:一個(gè)無(wú)窮集合可以和它的一個(gè)真子集一一對(duì)應(yīng),部分可以和全體相等。這個(gè)觀點(diǎn)正是康托集合論的一個(gè)定理,現(xiàn)在我們稱(chēng)這個(gè)定理為康托集合論的基本定理,為了論述得方便,我們把這個(gè)定理及其證明引述如下:
康托集合論的基本定理 令a,b為實(shí)數(shù),并且a<b,則[a,b]的基數(shù)等于[0,1]的基數(shù)。
證明:令y=f(x)=a+(b-a)x,顯然y=f(x)為[0,1]→[a,b]的雙射函數(shù),這就證明了[a,b]的基數(shù)等于[0,1]的基數(shù)。
這個(gè)定理表明一個(gè)無(wú)窮集合可以和它的一個(gè)真子集一一對(duì)應(yīng),部分可以和全體相等。例如,由于存在函數(shù)y=2x為[0,1]→[0,2]的雙射函數(shù),所以[0,1]和[0,2]為一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系,這時(shí)無(wú)窮集合[0,2]和它的真子集[0,1]一一對(duì)應(yīng),部分[0,1]和全體[0,2]相等。
為了證明康托集合論是錯(cuò)誤的,我們將以具體的例子來(lái)證明康托集合論的基本定理的證明不能成立。
再有,在[0,1]在x軸上,[0,2]在y軸上,在y=2x的時(shí)候,[0,1]和[0,2]是一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系,這時(shí),我們還要注意到,在y=x的條件下,[0,1]和[0,2]卻是非一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系。這時(shí)我們要問(wèn),[0,1]和[0,2]是一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系,還是非一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系?這表明,康托的兩個(gè)集合間一一對(duì)應(yīng)的定義是不能判斷兩個(gè)實(shí)數(shù)點(diǎn)的集合是不是一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系。同時(shí)我們還要注意到,康托集合論的兩個(gè)集合間一一對(duì)應(yīng)的定義是一個(gè)全稱(chēng)量詞命題,如果這個(gè)命題是正確的,它就不可能存在相反的命題,但是在y=x的條件下,[0,1]和[0,2]就是非一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系,這就是一個(gè)相反的命題,這個(gè)事實(shí)說(shuō)明,康托集合論的兩個(gè)集合間一一對(duì)應(yīng)的定義是錯(cuò)誤的。這個(gè)定義是康托集合論的基礎(chǔ),它是錯(cuò)誤的,說(shuō)明康托集合論也就是錯(cuò)誤的。
根據(jù)以上的分析,我們可以得出結(jié)論,康托集合論的基本定理的證明不能成立,因此康托集合論是錯(cuò)誤的理論。