孔祥雯，郭貴春

(山西大學 科學技術哲學研究中心，山西 太原 030006)

數(shù)學哲學的研究離不開數(shù)學學科的繁榮發(fā)展，數(shù)學基礎為數(shù)學學科的發(fā)展提供了堅固保障。集合論對數(shù)學概念的統(tǒng)一解釋奠定了其在數(shù)學基礎研究中的核心地位，范疇論對數(shù)學結構的闡釋啟發(fā)了新的基礎研究思路，撼動了ZFC*策梅洛-弗蘭克爾的公理化集合論(Zermelo-Fraenkel Set Theory)，包含選擇公理(AC)時記為ZFC。長期以來的基礎定位。那么范疇論數(shù)學基礎的研究起點是什么？范疇論數(shù)學基礎具有怎樣的研究特點？根據(jù)研究性質，范疇論數(shù)學基礎能否充分地闡釋集合論？以這些問題為契機，我們可以分析范疇論數(shù)學基礎相對于集合論數(shù)學基礎具有的研究優(yōu)勢，并論證范疇論在數(shù)學基礎研究中超越集合論的可能性。

一 范疇論數(shù)學基礎的研究起點

集合論對無窮的全新解讀在數(shù)學史上具有里程碑式的意義，對數(shù)學對象的解釋又促使其在數(shù)學基礎研究中率先占據(jù)了核心地位。范疇論基于對數(shù)學結構的闡釋躋身數(shù)學基礎研究，成為集合論數(shù)學基礎的有力競爭者。闡明范疇論數(shù)學基礎的研究起點，為探求數(shù)學基礎研究中范疇論對集合論的超越奠定基礎。

闡明范疇論數(shù)學基礎的研究起點，實際上是對范疇論數(shù)學基礎進行理論溯源，如此，既可明晰范疇論被提議為數(shù)學基礎的動因，又有利于深入分析范疇論數(shù)學基礎的研究特點。

二 范疇論數(shù)學基礎的研究特點

范疇論基于對數(shù)學結構的闡釋，創(chuàng)立了一種不同于集合論的數(shù)學基礎研究進路。聚焦范疇論數(shù)學基礎的研究特點，比較分析范疇論與集合論在數(shù)學基礎研究中存在的差異性，探究范疇論數(shù)學基礎相對于集合論數(shù)學基礎的研究優(yōu)勢。

(一)重構研究重心

范疇論與集合論最顯著的區(qū)別在于集合論的研究重心是數(shù)學對象，范疇論則將研究重心轉向了數(shù)學對象間的關系。研究重心的不同揭示了范疇論與集合論數(shù)學基礎的本質差異，直接決定了數(shù)學對象在數(shù)學基礎研究中的重要性。在集合論數(shù)學基礎的研究思想中，數(shù)學的研究對象是集合，也就是說，集合可以表示所有的數(shù)學對象。那么表示不同對象的集合有什么不同，它們是由什么確定的呢？集合論者通過集合所包含的元素來確定集合，但由于表示同一個數(shù)的集合其包含的元素可能存在不同，使得集合會面臨選擇上的困難。以范疇論為數(shù)學基礎的研究思想中，數(shù)學研究的是結構，而結構是對象之間的關系所形成的，因而范疇論研究的重心在于對象之間的關系，范疇論中的概念如態(tài)射、函子、自然轉換、同構、伴隨等都是對關系的表述。在范疇中，對象只需滿足其中的態(tài)射關系即可。范疇論者不需要指出、也不關心對象由什么構成，并且單個對象在范疇中沒有作為個體的研究意義，對象間的關系才是范疇論的研究重點。通過以上分析可知，范疇論重構了數(shù)學的研究重心。相對于集合論數(shù)學基礎而言，范疇論數(shù)學基礎的研究優(yōu)勢在于其通過結構來闡釋數(shù)學，無須考慮數(shù)學對象的具體構造。

(二)重建關系表述

集合論中涉及的關系表述都是直觀的；范疇論則是將包含關系的數(shù)學系統(tǒng)抽象為數(shù)學結構，重建理論中的關系表述。我們通過分析理論中涉及的關系來具體解釋表述的不同。在集合論中，元素與集合之間的從屬關系，集合與集合之間的包含關系實質上都是在確定元素是否屬于某一集合，是直觀的。范疇由對象和態(tài)射組成，本質上是態(tài)射決定了對象，進而確定了范疇。范疇論中的關系都包含在結構中，對數(shù)學系統(tǒng)進行抽象，就能得到一個由關系組成的數(shù)學結構。在關系的表述過程中可以得出，集合論中的關系都是依附于集合的，因為只有集合確定了，才能談及集合涉及的從屬關系、包含關系；反之，范疇是依附于關系的，是關系確定了范疇。就理論中的關系而言，拉夫爾(F. William Lawvere)曾表示，“集合論基于二元的從屬關系，范疇論基于三元的復合關系(如圖表的交換性)。通過這種方式，范疇論專注于結構，集合論則專注于恒等式……。在范疇論中對象之間的關系表示結構的形成，尤其當確定出箭頭的上域時，就能明確區(qū)分包含映射與恒等映射。集合論則不能完全地區(qū)別f：R→R與f：R→N”[1]。顯然，范疇論是借由關系來理解數(shù)學，故而對關系的表述更加精細、全面。

(三)重聚理論闡述的對象域

相較于集合論，范疇論可描述的對象域更顯寬廣?？紤]理論闡述的對象域首先要解析集合和范疇的定義。集合的元素都是具體對象，集合中的映射一般通過函數(shù)表示；由范疇的定義可知，范疇的對象不需要包含元素，態(tài)射也不必是函數(shù)。例如，一個有關形式邏輯系統(tǒng)的范疇，該范疇的對象是邏輯系統(tǒng)中的公式，態(tài)射是從前提公式到結論公式之間的推導關系。[2]可見，范疇的定義更一般化。麥克萊恩(Saunders Mac Lane)對集合論提出了質疑，認為集合論不能闡述兩類范疇：(1)由于自我指涉的悖論，集合論不能闡述涉及結構全體的范疇，如所有集合的范疇、所有群的范疇，所有范疇的范疇等；(2)任意兩個給定的范疇所形成的指數(shù)范疇BA，[1]該范疇是函子范疇，其中的態(tài)射是函子之間的自然轉換。然而，我們可以通過單位態(tài)射、恒等態(tài)射等態(tài)射的使用將集合看作范疇中的對象。結合上述分析可知，集合論對數(shù)學對象域的描述并不充分，范疇論重新聚焦理論闡述的對象域，憑借定義的一般化闡述了更大范圍的數(shù)學對象域。

(四)重釋數(shù)學結構

與集合論對數(shù)學結構的闡釋相比，范疇論的闡釋方式更符合數(shù)學結構主義的研究宗旨，能夠更高效地重釋數(shù)學結構。數(shù)學哲學家為結構的闡釋提供了多種思路。布爾巴基學派(Bourbaki School)最早完成了數(shù)學結構的定義，并選用集合論的語言闡釋數(shù)學結構。拉夫爾、麥克拉蒂(Colin McLarty)等支持范疇論數(shù)學基礎，主張使用范疇論的語言闡釋數(shù)學結構。從范疇論與集合論對數(shù)學結構的闡釋中可對比得出兩點：(1)在集合論的闡釋中，交換群與模表示的是同樣的結構，也就是說集合論對任意給定的數(shù)學結構有多種不同的解釋模式；而表示相同結構的范疇是同構的，范疇論對數(shù)學結構的闡釋保持在恒定的語法中。(2)集合是由元素組成的，故而集合論對結構的闡釋始終包含與結構無關的性質。范疇論研究的是對象間的關系，不關注對象由什么組成。在范疇論的闡釋中，數(shù)學對象都處于特定的關系中，不存在與結構無關的性質。顯然，范疇論對數(shù)學結構的重新闡釋與結構主義的思想更加契合。阿沃弟(Steve Awodey)對此表示，“相比于型論以及集合論的構造，范疇論支持的結構主義進路更為堅定、強大以及恒定”[3]124。應該說，范疇論更適用于數(shù)學結構主義的研究進路。

綜上，范疇論數(shù)學基礎具有不同于集合論數(shù)學基礎的研究特點，這源于范疇論自身的構造方式。范疇的定義是建立在關系而不是數(shù)學對象之上的，如此決定了范疇論數(shù)學基礎的研究重心，以及對關系的抽象表述方式，也同時決定了范疇論所描述的對象域相對于集合論而言更為寬廣。結構是范疇論通往數(shù)學基礎之路的重要媒介，范疇論在闡釋數(shù)學結構中表現(xiàn)出的恒定與契合突出了其相對于集合論的研究優(yōu)勢。

三 范疇論數(shù)學基礎的研究性質

范疇論與集合論被同時提及必定源于對數(shù)學基礎爭論的探討。盡管是在不同的時期被提議為數(shù)學基礎，但這兩種理論還是具有明顯的競爭關系。究竟是集合論能夠為包含范疇論在內(nèi)的數(shù)學提供基礎，還是范疇論能夠闡釋所有的數(shù)學結構后來者居上呢？顯然，點對點的分散式研究不足以回答這一問題，需要從整體角度出發(fā)進行解答。因此，我們將從研究特點轉向研究性質，并依據(jù)范疇論數(shù)學基礎的研究性質，探索范疇論數(shù)學基礎超越集合論數(shù)學基礎的可能性。

(一)集合論數(shù)學基礎對范疇論闡釋的不充分性

集合論數(shù)學基礎的研究思路是將所有的數(shù)學對象都表示為集合；范疇論數(shù)學基礎則認為數(shù)學研究的是結構，范疇論可以闡釋所有結構。使用集合論數(shù)學基礎闡釋范疇論就是要解釋數(shù)學中的結構。貝納塞拉夫(Paul Benacerraf)曾指出數(shù)不是集合；結構主義者主張數(shù)與數(shù)之間的關系是滿足了某些特定條件的結構，數(shù)是該結構中的某個位置。按照這樣的理解，集合論必定不能解釋數(shù)的結構，自然也無法詮釋所有的數(shù)學結構。范疇由對象和態(tài)射構成，如果將范疇看作對象，范疇間的函子看作態(tài)射，又可以形成新的范疇?？紤]到范疇的構造，格羅滕迪克(Grothendieck)對范疇進行了區(qū)分，將可以用集合表示的范疇稱作小范疇。顯然，范疇論中還存在一些集合論無法解釋的大范疇。面對這一難題，集合論者想要通過借助一些理論為所有范疇提供集合論的闡釋。一種思路是借助格羅騰迪克全域(universe)，使那些不能稱作小范疇的數(shù)學結構借助不可達基數(shù)表示為累積分層(Cumulativehierarchy)中更高級別的層級。但是這其中借助的不可達基數(shù)，其存在超出了ZFC公理系統(tǒng)的包含范圍。因此，集合論采用的這種闡釋方式并不成立。另一種思路源自布拉斯(Andreas Blass)，他指出不需要假定不可達基數(shù)的存在，“假定當變量遍及所有集合或遍及所有小集合時，每個一階陳述都有同樣的意義。換言之，所有小集合的全域是所有集合全域的子結構”[4]。這種假設是想要借助反射原理(Reflectionprinciple)完成，如果依據(jù)大范疇得到了某個結論，那么小范疇自然也有同樣的結論。我們認為，利用反射原理并不能完成這樣的假設。因為如果不假定不可達基數(shù)的存在，集合的語言就不能表述大范疇，范疇的全域與集合的全域沒有包含關系，自然不能將集合中的結論應用于大范疇。綜上，我們有理由認為集合論數(shù)學基礎的研究性質并不能完全地適用于范疇論。

對于集合論數(shù)學基礎能否闡釋范疇論，還有一種簡單的回答，即范疇論與集合論是相互獨立的，范疇論不需要集合論作為數(shù)學基礎。按照這樣的思路，無論集合論能否充分地闡釋范疇論，都是不必要的?？v觀數(shù)學史的發(fā)展，集合論在范疇論出現(xiàn)之前已取得輝煌的成就，確實不需要依賴范疇論。此外，范疇論的出現(xiàn)比較滯后，但是這并不表明范疇論就必然依賴于集合論的相關概念和理論。林博(?ystein Linnebo)及佩蒂格魯(Richard Pettigrew)在“范疇論作為自主的基礎”[5]一文中論證了范疇論在邏輯、概念上的自主性，表明了范疇論相對于集合論的獨立性。由此可見，范疇論確實不需要集合論的闡釋，它可以依據(jù)公理系統(tǒng)斷言自身存在，范疇論的對象也不需要集合論的表述，因為范疇論關注的是對象之間的關系，不考慮對象的組成。因此，范疇論自身的發(fā)展不需要借助任何有關集合論的概念、性質等。

簡言之，集合論數(shù)學基礎的研究性質的確可以適用于部分范疇，但不適用于所有的范疇。由此可知，集合論數(shù)學基礎對范疇論的闡釋是不充分的。

(二)范疇論數(shù)學基礎對集合論的闡釋及深化

更重要的是，范疇論不僅可以闡釋集合論，而且能以范疇的方式處理集合，對集合論進行進一步深化。以集合范疇為例，將所有的集合看作對象，集合間的函數(shù)關系作為態(tài)射，就形成了集合范疇。值得注意的是，范疇與集合的深入聯(lián)系不僅僅局限于集合范疇，而是朝向更一般化的拓撲斯。應該說，范疇論與集合論在拓撲斯公理系統(tǒng)中的聯(lián)系最為緊密。拓撲斯的出現(xiàn)歸功于格羅滕迪克，他認為空間屬于范疇，而一般的拓撲空間可以表示為拓撲斯。當然，拓撲斯的涵蓋范圍遠不止此。20世紀70年代，拉夫爾與蒂爾尼(Myles Tierney)對拓撲斯進行了一階公理化，豐富了拓撲斯公理系統(tǒng)。拓撲斯公理是在一般的范疇公理上添加兩個涉及終對象和冪集的公理。顯而易見，所有的拓撲斯都是范疇，確切地說，拓撲斯是特殊的范疇。在拓撲斯公理系統(tǒng)中，經(jīng)典數(shù)學的概念、性質、證明等依然存在及成立，只是不同于原先的構造方式。集合范疇作為最一般的拓撲斯，其對集合的處理方式與公理化集合論中的處理方式必然不同。但是，公理化集合論中的定義和證明在拓撲斯中都是適用的，并且使用拓撲斯公理中的冪集、子集等概念可以替代集合論中的力迫法、對稱子模型等；另外，拓撲斯還能作用于集合論中一些結論的證明，例如科恩(Paul Cohen)的獨立性證明、選擇公理的獨立性證明。簡言之，范疇論不僅能夠闡釋集合論中的概念、性質、定理等，而且能夠通過結構的方式對集合論進一步深化，使其不同于公理化集合論的構造，更加方便、有效地證明數(shù)學理論。

總之，集合論數(shù)學基礎在闡釋范疇的過程中表現(xiàn)出了不充分性，無法闡釋全體數(shù)學。與之相比，范疇論表現(xiàn)出了一定的競爭優(yōu)勢，不僅范疇論數(shù)學基礎的研究性質可作用于集合論，而且范疇論還能以結構的方式處理集合論的相關內(nèi)容。由此，我們認為相較于集合論的數(shù)學基礎，范疇論數(shù)學基礎在描述數(shù)學的過程中具有一定的優(yōu)勢，值得數(shù)學哲學家繼續(xù)深入研究。

四 范疇論數(shù)學基礎的研究意義

范疇論數(shù)學基礎的發(fā)展深刻地沖擊了集合論長期以來的數(shù)學基礎地位，憑借對數(shù)學結構的闡釋范疇論在數(shù)學基礎研究中脫穎而出，以結構的方式更加清晰地建構數(shù)學。剖析范疇論數(shù)學基礎的研究特點及研究性質，有助于闡明范疇論不同于集合論的基礎研究進路。通過具體的分析比較，范疇論數(shù)學基礎展現(xiàn)出了一定的研究優(yōu)勢。為此，我們將探求范疇論數(shù)學基礎的研究意義，彰顯其深遠的研究價值。

(一)研究內(nèi)容上，范疇論的基礎進路扭轉了傳統(tǒng)基礎研究對數(shù)學對象的單一關注，使數(shù)學轉向了對關系的研究

從對象到對象之間的關系，這種轉向一方面揭示了范疇論被提議為數(shù)學基礎的動因，另一方面表明了范疇論是不同于集合論的數(shù)學基礎思路。在結構主義思潮的推動下，數(shù)學結構主義在數(shù)學哲學中應運而生。結構主義者摒除了以集合論為數(shù)學基礎的研究思想，嘗試以結構的方式建構數(shù)學，將數(shù)學看作是由結構構成的學科。范疇論的研究重心是對象之間的關系，對數(shù)學系統(tǒng)中的關系進行抽象就得到了數(shù)學結構，這些數(shù)學結構共同作用形成了數(shù)學整體，由此產(chǎn)生了從數(shù)學到結構再到范疇的基礎研究思路，范疇論也因此成為數(shù)學基礎的有力競爭者，使數(shù)學基礎研究邁上了新的征程，打破了長期以來以集合論為主的基礎研究狀態(tài)。

(二)研究方法上，范疇論轉向了以方法論為主的基礎研究思路，超越了集合論以本體論為主的基礎研究思路

集合論最顯著的基礎特征是對數(shù)學對象的闡述，主要在本體論的意義上探討數(shù)學基礎。范疇論關注對象間的關系，由關系決定該結構中的對象，范疇論確實有本體論上的斷言，但是與數(shù)學結構相比，數(shù)學中的對象顯然不是結構主義的研究重心。范疇論的基礎特征源自對數(shù)學結構的闡釋，體現(xiàn)了數(shù)學結構主義的研究方法?！拔覀儸F(xiàn)在想要確定一種特定的結構主義方法，這種方法是許多當代數(shù)學家所共用的。它涉及數(shù)學家所做的工作，我們將其稱作結構主義的方法論?！盵6]考慮到結構主義方法論在數(shù)學中的應用以及范疇論與結構的闡述關系，數(shù)學哲學家更多的是在方法論這一意義上闡明范疇論的數(shù)學基礎，為范疇論的數(shù)學基礎研究提供方法論意義上的論證。

(三)研究思路上，范疇論數(shù)學基礎遵循著從數(shù)學到結構再到范疇的研究思路，這一思路既呈現(xiàn)了范疇論數(shù)學基礎的理論淵源，也表明了范疇論數(shù)學基礎不是數(shù)學哲學家的任意選擇，而是基于數(shù)學結構主義思想的合理優(yōu)選

在數(shù)學結構主義的發(fā)展過程中，不只有范疇論的結構主義進路，還主要包括先物結構主義及模態(tài)結構主義的進路。遺憾的是，先物結構主義無法逃脫認識論的劫難[7]，模態(tài)結構主義對結構的模態(tài)中立主義態(tài)度，使其難以表明數(shù)學的可應用性，也難以規(guī)避語義學難題。[8]布爾巴基作為數(shù)學結構主義的奠基者，試圖通過集合論闡釋數(shù)學結構，但是這一進路并沒有行進太遠就夭折了。范疇論依據(jù)自身的態(tài)射、函子及同構等一些概念充分合理地闡釋了數(shù)學結構，催生了范疇結構主義的研究進路，也由此帶動了范疇論數(shù)學基礎的研究。

(四)研究目的上，隨著數(shù)學在理論及應用中的不斷進步，數(shù)學學科日益精進，但始終無法繞開“數(shù)學基礎”這一研究主題，范疇論數(shù)學基礎的興起是解決數(shù)學基礎爭論的一大重要嘗試

范疇結構主義進路極大地推動了數(shù)學基礎的研究，尤其在對數(shù)學學科的解讀、對數(shù)學結構的組織統(tǒng)一等方面。相較于集合論數(shù)學基礎，范疇論數(shù)學基礎在研究特點和研究性質上都展現(xiàn)出了一定的優(yōu)勢和研究價值。另外，盡管ZFC面臨著選擇公理的一致性難題，但在數(shù)學基礎的研究中似乎仍具有不可取代的地位，一個重要的原因就是，數(shù)學尚缺乏一個全新的理論來替代傳統(tǒng)的集合論數(shù)學基礎研究模式。范疇論為數(shù)學基礎研究提供了這樣的可能，它以結構主義方法論為切入點，依據(jù)自身語言闡釋數(shù)學結構，構建了數(shù)學基礎研究的新模式，使數(shù)學基礎邁進了一個新的研究階段。

綜上，結合范疇論數(shù)學基礎的研究起點、研究特點及研究性質可知，范疇論因自身的研究特性、關系表述及對結構的詮釋顯示了其替代集合論數(shù)學基礎的可能性，在與集合論的相互闡釋中表現(xiàn)出了相對的充分性。基于此，我們認為范疇論數(shù)學基礎在特定方面超越了集合論的數(shù)學基礎，是最具發(fā)展前景的數(shù)學基礎進路之一。盡管數(shù)學哲學家對范疇論能否替代集合論作為數(shù)學基礎始終保持相對謹慎的態(tài)度，但這種結構主義的進路革新了數(shù)學哲學家對數(shù)學基礎的傳統(tǒng)研究模式，使其具有深刻的研究意義。

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