寇 亮

一、引言

自上個世紀公理化集合論發(fā)展起來后，集合論的ZFC系統(tǒng)已經(jīng)得到了普遍認可。與此同時，關于集合論新公理的討論也一直不曾停止①誠然，一些數(shù)學家認為數(shù)學不需要新公理，但這個問題不在本文討論的范圍內。本文要討論的是，目前集合論新公理討論中的幾種選項與它們各自的理由。。哥德爾在其《什么是康托的連續(xù)統(tǒng)假設》一文中提到：“康托的猜想必然或者為真或者為假，從今日已知公理得到的不可判定性僅能表明，這些公理沒有包含對這一事實（this reality）的完全描述……集合論公理絕沒有構成一個自身封閉的系統(tǒng)……”[1]

為集合論增加新公理這個問題在哥德爾和科恩的研究之后變得更為緊迫：連續(xù)統(tǒng)假設（CH）就是ZFC不能判定的一個有意義的數(shù)學命題。即，我們可以構造一個模型L，其中連續(xù)統(tǒng)假設為真；也可以構造一個模型M[G]，其中連續(xù)統(tǒng)假設為假。因此，ZFC不能證明CH，也不能證明CH的否定。

要為ZFC 添加什么樣的公理，這是一個不容易的問題。例如，我們是否可以直接把CH 或CH 的否定作為公理呢？如果添加CH 作為公理，理由何在？除此之外，由于哥德爾不完全性定理的限制，任何ZFC 的擴張都存在不可判定的命題，特別地，它們都必然不能證明自身的一致性。受此限制，我們對新公理的探索到哪一步停下？添加新公理的目的又是什么呢？

當代集合論的兩大主要分支：大基數(shù)和力迫，它們對以上問題的解決給出了兩種備選項：大基數(shù)公理和力迫公理。

二、兩組候選公理

（一）大基數(shù)公理

將大基數(shù)公理作為候選新公理是一個較為自然的選擇，因為最早被發(fā)現(xiàn)的大基數(shù)——不可達基數(shù)——實際上是對第一個無窮ω的模仿。

我們已知所有的大于?0的后繼基數(shù)都是正則的①序數(shù)α的共尾cf(α)是最小的滿足存在f:β→α使得sup(f[β])=α的序數(shù)β。一個基數(shù)κ是正則的當且僅當cf(κ)=κ。，因此奇異基數(shù)②一個基數(shù)是奇異的當且僅當其不是正則的。都是極限基數(shù)。反過來，是否存在正則的極限基數(shù)呢？豪斯道夫最早注意到，這樣的基數(shù)κ必須滿足κ=?κ，并且κ中極限點的極限就是κ。這樣的基數(shù)被稱為“弱不可達基數(shù)”。

觀察ω和每一個自然數(shù)的關系，從自然數(shù)到達“更大”的集合無非通過兩種方式。第一種是進行“后繼運算”：κ→κ+；第二種是進行“冪集運算”κ→2κ。并且，任何自然數(shù)都不能通過先取一組基數(shù)較小的集合后取并集“堆起來”③即共尾運算：κ→cf(κ)。達到ω。容易發(fā)現(xiàn)，通過自然數(shù)的后繼運算、取冪運算都無法達到ω，且ω的共尾就是ω，因此“從下面堆積”無法到達ω。一個自然的問題是，是否有其他的集合也滿足這樣的條件？塔斯基將?0之上的這樣的基數(shù)稱為“不可達基數(shù)”。

假設廣義連續(xù)統(tǒng)假設成立，則“弱不可達基數(shù)”與“不可達基數(shù)”等價。它們是已知的最小大基數(shù)④這里的“小”，指一致性強度。若T+φ 的一致性蘊涵T 的一致性，則我們稱T+φ 的一致性強度不弱于（≥）T。假設ZFC+存在κ 是不可達基數(shù)一致，那么Vκ?ZFC，因此ZFC一致。，在ZFC之中我們不能證明存在這樣的基數(shù)。

由以上可以總結不可達基數(shù)的幾個特點：

a）不可達基數(shù)的定義是對第一個無窮ω的模仿；

b）不可達基數(shù)的一致性強度比ZFC更強；

c）ZFC+“存在不可達基數(shù)”是對ZFC的擴張⑤即ZFC中不能證明存在不可達基數(shù)。。

正是因為如此，哥德爾認為不可達基數(shù)這樣的大基數(shù)公理是擴充ZFC 的良好選項：“……集合論公理所基于的集合概念暗示了公理系統(tǒng)的擴張，這些擴張的新公理斷言存在‘……的集合’這一運算的更遠迭代……這些強‘無窮公理’中最簡單的就是斷言存在＞?0的不可達基數(shù)。”[1]520

回到引言中最末段的問題，我們加入新公理的目標是什么？斯蒂爾在其《哥德爾綱領》一文中將哥德爾在《什么是康托的連續(xù)統(tǒng)假設》中所提出的目標總結為：“哥德爾綱領在ZFC 獲得良好辯護的（well-justified）擴張中決定那些獨立于ZFC的數(shù)學上有趣的問題”[2]。

因此對于實現(xiàn)哥德爾綱領而言，實現(xiàn)目標有兩個要點，一是解決獨立性，二是獲得良好辯護。獲得良好辯護在哥德爾的語境下包含了內在辯護與外在辯護[1]519-521⑥對內在辯護與外在辯護的分析，還可參考寇亮《反映原理作為大基數(shù)內在辯護的不可行性》（《邏輯學研究》2020 年第4 期）。。不論是就解決獨立性的目標，還是就獲得良好辯護而言，大基數(shù)公理同時代的備選項還有哥德爾的可構成性公理V=L，因為V=L有如下一些優(yōu)勢：

a）L中可以獲得一個可定義的良序，能知道CH是對的，能知道存在蘇斯林樹，進而蘇斯林假設不成立，即可以解決大量獨立性問題；

b）L是一個有秩序的、結構十分清晰的模型；

c）V=L使得我們對一些具體的數(shù)學概念有了更深的理解。例如假設V=L，可知κ是弱緊基數(shù)當且僅當不存在κ蘇斯林樹。

哥德爾所處的時代人們所能認識到的大基數(shù)公理與V=L都是相容的。從下面的定理可知，如果存在這樣的大基數(shù)，那么這些大基數(shù)在L之中也存在：

定理1[3]

a）若κ是基數(shù)，則（κ是基數(shù)）L；

b）若κ是極限基數(shù)，則（κ是極限基數(shù)）L；

c）若κ是正則基數(shù)，則（κ是正則基數(shù)）L；

d）若κ是不可達基數(shù)，則（κ是不可達基數(shù)）L；

e）若κ是馬洛基數(shù)，則（κ是馬洛基數(shù)）L。

如果L與大基數(shù)相容，那么或許L的確就是那個獨特的集合宇宙，或許在新公理下，所有有意義的數(shù)學命題都可以得到判定。但是，斯科特的結果表明，這是不能做到的：

定理2（Scott）[4]如果存在可測基數(shù)，則V≠L。

可測基數(shù)是從測度自然引入的一種大基數(shù)，它等價于存在某種形式的初等嵌入?？蓽y基數(shù)是比不可達基數(shù)強得多的一種大基數(shù)。因此，大基數(shù)公理與V=L只能二選一。

事實上，不僅只有可測基數(shù)與V=L不相容，0#這樣的大基數(shù)①0#的原始定義與一種不可辨元序列有關。如果0#存在，事實上0#=Σ={φ:L?ω[?1,…,?n]}，編碼后是一個實數(shù)。也與V=L不相容。因為它等價于存在L到L的非平凡初等嵌入：

定理3（Kunen）[5]323

下列等價：

a）0#存在；

b）不存在j:L→L是非平凡初等嵌入。

而同時，不存在V到V的非平凡初等嵌入：

定理4（Kunen）[5]290若存在j:M→V的非平凡初等嵌入，則M≠V。

大基數(shù)公理與V=L不相容，但集合論學家、特別是柏拉圖主義傾向的集合論學家不傾向于將L作為真實的集合宇宙②事實上，邏輯學家在這個問題上莫衷一是。遞歸論學家會認為V=L 是非常好的公理，柏拉圖主義的集合論學家，如H.Woodin 絕不認為L是真實的集合宇宙，形式主義的邏輯學家則只考慮相對一致性結果和它的后承。。這基于多種理由。第一，0#之下的那些較小的大基數(shù)可以獲得較為可靠的內在辯護；第二，大基數(shù)公理也蘊含著許多漂亮的結果，例如Woodin基數(shù)與PD 的等一致性；第三，有一些大基數(shù)公理成立的“證據(jù)”，例如HOD 猜想、終極L猜想等[6]。目前，數(shù)學哲學仍在探索大基數(shù)公理更受集合論學家青睞的理由。

除了上述這些大基數(shù)公理之外，還有更多比可測基數(shù)更強的大基數(shù)公理。這些大基數(shù)公理有著與可測基數(shù)定義相類似的形式，即都斷言存在著某種形式的初等嵌入，例如超緊基數(shù)、Woodin 基數(shù)等等。在哥德爾綱領下，人們試圖尋找容納大基數(shù)公理和V=L兩種優(yōu)勢的新集合宇宙，這是我們后文將會介紹的內模型計劃。如前所述，大基數(shù)公理是哥德爾綱領下的候選新公理。

（二）力迫公理

哥德爾在《什么是康托的連續(xù)統(tǒng)假設》一文發(fā)表時，尚不知道（或剛剛知道）Cohen 的力迫法結果。Cohen 的力迫法證明CH 的獨立性后，哥德爾探索集合概念的目標立刻受到了挑戰(zhàn)。對哥德爾而言，集合概念是獨一無二的實在。換言之，集合宇宙是唯一的，我們發(fā)現(xiàn)新公理的目標，只是幫助我們理解這個唯一的集合宇宙。

但以Cohen為代表的形式主義者不這么認為。對于形式主義者而言，獨立性不過意味著，在ZFC這個公理系統(tǒng)下，CH 既不能被證明，也不能被證否，僅此而已。我們可以借助力迫法構造不同的模型，以此證明一個命題在不同的模型下可以有不同的真值。利用力迫法得出的相對一致性無非意味著，某個公理系統(tǒng)下一些命題是獨立的。這種形式主義推而廣之，則形成了集合多宇宙觀，即沒有一個獨特的集合宇宙，而是有著諸多地位平等的集合宇宙①可見Shelah S.,“Logical Dreams”, Preprint Math, 2002, 此文中Shelah 并不認為所有的集合論模型都是完全平等的，但他沒有給出“合法”集合宇宙的具體標準。持有多宇宙觀這種觀點的邏輯學家還包括J.D.Hamkins。。

構造不同的集合宇宙，并且獲得諸多獨立性命題的唯一方法是力迫法。通過力迫法，我們可以從一個給定的力迫偏序之中獲得一些信息，利用與可數(shù)稠子集族的每一個稠子集都相交的脫殊濾（generic filter）G，我們可以構造一個外模型M[G]，這個模型之中的每一個元素都有由基底模型（ground model）M得到的“名字”。通過控制力迫偏序，我們可以獲得有著不同事實的M[G]。

從力迫法之中獲得信息的關鍵在于，存在一個濾G與可數(shù)稠子集族的每一個稠子集都相交[7]：

定義1

MA：?κ＜2ω(MA(κ))。

由于能和更多的稠子集相交，因此馬丁公理可以給我們更多信息。馬丁公理可以幫助我們確定ω1和2ω上的很多信息，因此可以構造一個能幫助我們更好地理解實數(shù)理論②即可以確定很多實數(shù)子集相關的獨立性命題。的集合論模型。例如，馬丁公理蘊涵一般化的貝爾綱定理等[5]276-279。但這些都建立在連續(xù)統(tǒng)假設不成立的前提下，否則馬丁公理并不能給我們帶來更多信息。如果連續(xù)統(tǒng)假設的否定與馬丁公理一致，那么我們就有理由將其作為一條公理。

使用迭代力迫，我們可以構造一個模型，其中MA成立而CH不成立，因此MA+?CH一致：

定理6（索羅韋與特納鮑姆[5]273）

設GCH在V中成立，令κ是大于?1的正則基數(shù)。那么存在一個c.c.c力迫使得脫殊擴張V[G]滿足馬丁公理和2?0=κ。

因此，我們的確有理由將馬丁公理作為一條公理。這里將它作為公理的意思是，我們能從馬丁公理得到一些有秩序的數(shù)學結論，同時我們能夠構造出一些馬丁公理成立的、有意思的集合論模型。因此，將馬丁公理作為公理，并不蘊涵著一個獨特的集合論宇宙。

注意到，馬丁公理有兩個要求，一是c.c.c 的力迫類，二是對||＜2?0的稠子集族都有脫殊濾。在力迫法證明獨立性的步驟中，c.c.c的要求主要用于保持基數(shù)不變[7]213，特別是保持ω1不變。因此，要加強馬丁公理，我們可以直接考慮將c.c.c換成保持ω1。

我們使用記號FA（κΓ）表示一般的力迫公理，其中Γ 表示具有某種性質的力迫類，κ表示任意稠子集族||＜κ，則存在脫殊濾?？芍狹A 即FA2?（0c.c.c）?，F(xiàn)在我們同時加強κ和Γ。若將Γ加強為保持ω1的力迫，且κ=ω2，那么這個力迫公理毫無意義，因為它恒成立。

另一種保持ω1的方式是要求ω1封閉（ω1-closed）。若將Γ 替換為ω1封閉的力迫，且κ=ω2，則會不一致。因為可以使用迭代力迫構造一個破壞ω1封閉的力迫。

因此，我們希望能夠選擇合適的力迫作為Γ。這就是謝拉赫提出的真力迫[7]602：

定義3

根據(jù)T.Jech經(jīng)典集合論教材的敘述[7]601，“真”是對c.c.c和ω1封閉的同時加強：

引理1

a）力迫是c.c.c的蘊涵力迫是合適的；

b）力迫是ω1封閉的蘊涵力迫是合適的；

c）力迫是合適的蘊涵力迫是ω1保持的。

定理7

若存在超緊基數(shù)，那么存在一個脫殊模型滿足PFA。即Con（ZFC+超緊基數(shù)）蘊涵Con（ZFC+PFA）。

如果繼續(xù)加強PFA，則可得到馬丁極大（MM）。這里引入的是“半真”（semiproper）概念①可見Jech T.,Set Theory,Berlin:Springer Science&Business Media,2013,p.649.定義34.3，這里使用等價定義。：

定義4

同樣，超緊基數(shù)蘊涵MM的一致性[5]684：

定理8

若存在超緊基數(shù)，那么存在一個脫殊模型滿足MM。

以上的力迫公理也是新公理的一種候選項。

三、大基數(shù)公理與力迫公理的矛盾

大基數(shù)公理與力迫公理看起來都是ZFC 較為自然的擴張。大基數(shù)公理可以擴展我們對無窮的認識，而利用合適力迫可以得到大量無窮組合上的結果②可見Kunen K.,Vaughan J.Handbook of Set Theoretic Topology, Holland:Elsevier,2014.第21章合適力迫部分。，利用PFA可以獲得一些整齊的結論[8]。不同力迫公理的一致性強度，還總是與大基數(shù)公理相關，二者似乎有著緊密的聯(lián)系。那么我們是否可以同時接納大基數(shù)公理和力迫公理呢？

正如前文介紹的那樣，大基數(shù)公理背后的哲學是存在唯一的集合宇宙，因此與可以構造諸多集合論模型的力迫，在哲學上是有矛盾的。盡管力迫公理并不直接斷言存在諸多地位平等的集合論模型，但它在整體上與大基數(shù)公理有著矛盾。

（一）大基數(shù)公理與內模型計劃

前面我們提到大基數(shù)公理是哥德爾綱領下的新公理備選項。由于0#之上的那些大基數(shù)與V=L不相容，因此集合論學家不傾向于認為L是真實的集合宇宙。因此，基于大基數(shù)公理，一些集合論學家提出了內模型計劃：尋找一個類似L的、與大基數(shù)相容的集合論模型。

假設存在可測基數(shù)，則我們可以構造一個模型L[U]，使得它是僅包含一個可測基數(shù)的集合論模型。按照類似的方法，我們可以繼續(xù)往模型中加入大基數(shù)。米切爾Steel擴張模型能夠在迭代假設（iteration hypothesis）下證明存在超強基數(shù)。這種方法下已知的最好結果來自尼曼，他證明存在一個內模型，其中存在一個Woodin 基數(shù)，它是一系列武丁基數(shù)的極限[9]。H.Woodin 在他的研究中[10]觀察到，假設N是ZFC的內模型，δ是其中的超緊基數(shù)，若“δ是N中的超緊基數(shù)”被限制到N的一些擴張在V中見證（即：對任意γ＞δ，存在一個Pδ（λ）上的正則精細超濾U使得Pδ（λ）∩N∈U且U∩N∈N），則這樣的模型（被稱為弱擴張模型）滿足一些很好的性質。

首先，N中的“基數(shù)”的確是V中的基數(shù)，V中的奇異基數(shù)也是N中的“奇異基數(shù)”；對這些“奇異基數(shù)”，N中算出來的“后繼”就是這些奇異基數(shù)的后繼。其次，與L[U]和向L[U]逐步添加基數(shù)不同，N中有許許多多可測基數(shù)。最重要的是，N中包含所有目前已知的大基數(shù)。

如何構造這樣的弱擴張子模型，目前還沒有讓人滿意的結論。但Woodin發(fā)現(xiàn)，HOD①遺傳序數(shù)可定義集的類。有類似L的二歧性，即它或者很接近V，或者離V很遠。若前者成立，則HOD 就是當κ是超緊基數(shù)時的弱擴張子模型?；诖?，Woodin提出了終極L猜想：假設κ是可擴張基數(shù)，則存在模型N滿足：

a）N是κ是超緊基數(shù)的模型；

b）N?HOD；

c）N?存在Woodin基數(shù)的真類。

內模型計劃中，GCH總是成立。例如，L[U]中GCH成立，終極L猜想也蘊涵GCH成立。

（二）力迫公理的推論

在大基數(shù)公理中，MA 最早并不是被嚴肅地作為公理提出的。根據(jù)D.Martin 和R.Solovay 最早論文[11]140的報道，MA 只是用于討論CH 替換項的產(chǎn)物：“我們迫切需要一個CH 的替換項。本文的目標即是考慮這樣的備選項。我們引入一個‘公理’……”[11]

對Shelah 而言，引入合適力迫并非是作為MA 的一般化。他通過引入合適力迫得到了與Martin 和Solovay對c.c.c力迫平行的結論[12]334-393，借助合適力迫得到一些關于無窮組合的一致性結論。

真正引入合適力迫公理的是鮑姆加特納[12]，他發(fā)現(xiàn)PFA 比MA 蘊涵一些強得多的結論。最典型的就是，MA 的一致性僅需ZFC 的一致性，但目前所知，PFA 的一致性需要超緊基數(shù)。盡管得到了諸多比MA 更強的結論，但正如MA 一樣，集合論學家那時（1984 年）并不真正把PFA 作為一條公理來看待，只是出于技術性便利而稱其為“公理”。

據(jù)J. Schatz 在其博士論文中的報道，這個情況在托爾多切維奇之后發(fā)生了重大轉變[13]33。Todorc?vi? 研究了開染色公理（OCA），發(fā)現(xiàn)在OCA 下，連續(xù)統(tǒng)假設不成立，且2?0=?2[5]609。而PFA 蘊涵OCA，因此PFA蘊涵連續(xù)統(tǒng)假設不成立。除連續(xù)統(tǒng)假設之外，PFA的很多結論都與內模型計劃中的結論相反。由此可見，力迫公理和大基數(shù)公理之間存在著矛盾。

四、如何選擇？

既然力迫公理與大基數(shù)公理之間有矛盾，那么要如何在兩者之間做出選擇呢？

有一些集合論學家，例如M.Magidor 和Todorc?vi? 認為，PFA 應該被視為ZFC 的補充公理；另一些集合論學家則認為，大基數(shù)公理是更理想的ZFC 的補充公理。當然，也有很多集合論學家，包括一些研究力迫公理的學者——Baumgartner、Shelah 和Foreman 等，只關注力迫公理帶來的獨立性結果，只將它作為一種集合論研究中的技術手段。

本文在此不打算討論他們各自的理由，也不打算對比哪一方的理由更有道理。仔細觀察大基數(shù)公理與力迫公理，我們能在它們的不同之處中尋找到它們的一些相同之處。

大基數(shù)公理與力迫公理的不同之處主要在于二者追求的目標不同。同為新公理候選，大基數(shù)公理基于內模型計劃，追求的是一個獨特的集合宇宙；與此相反，力迫公理更追求一些相對一致性的結果，我們不僅可以借助相對一致性將力迫公理作為獲得更多強數(shù)學結論的技術保障，還可以借助不同的力迫得到許多不同的集合宇宙。大基數(shù)公理和力迫公理常蘊涵一些相互矛盾的結果，甚至有時的一些結論從根本上排斥另一組公理。例如，如果存在Woodin 基數(shù)的真類，那么Th(L(?))對力迫免疫。即力迫無法改變L(?)中命題的真值。它們背后的哲學基礎是截然不同的，前者是數(shù)學實在論，而后者是形式主義。

盡管大基數(shù)公理與力迫公理有諸多不同，我們仍可以發(fā)現(xiàn)兩者的一些相同之處。限于篇幅，筆者在這里僅做一些簡單的總結。

第一個相同之處是對極大的追求。大基數(shù)公理追求的是集合宇宙“高度”上的極大，即任何類似ω那樣的無窮都可以被集合宇宙涵蓋。力迫公理追求的極大是通過稠子集獲得盡可能多的信息，在保證一致性的前提下，盡可能將力迫類和稠子集的條件放寬。正如哥德爾所言：“我心中的那些元數(shù)學結論都集中于一點，或者可以說僅僅只是一個基礎事實的不同方面，或許可以被稱為：數(shù)學的非完成性（incompletability）或無止境（inexhaustibility）”[14]

第二個相同之處是，二者都蘊含著某種帶有“絕對性”意味的結論。這些絕對性表明，集合宇宙可能是唯一的，也可能是有多個的，但絕不是可以被主觀隨意改變的。內模型計劃的終極L猜想毫無疑問蘊含著這樣的結論。在力迫公理中，阿斯佩羅與辛德勒近來發(fā)現(xiàn)了如下定理：

定理9

MM++蘊涵Woodin的公理（*）[15]。

后者蘊涵存在一個(Hω2,∈,NSω1)的力迫不變的Π2理論。已知力迫可以容易地處理Π2命題，而Π2以上的命題很難使用Π2處理。因此，力迫公理實際上也蘊含著存在某種獨特的實數(shù)子集的理論。困難之處僅在于，這樣的Π2不變理論蘊涵CH 的否定，而內模型計劃得出的結論CH 成立與此處矛盾。盡管如此，大基數(shù)公理與力迫公理都蘊涵某種具有獨特性的絕對理論。

第三個相同之處在于，在某些強度的大基數(shù)公理和力迫公理處，大基數(shù)與力迫公理沒有那么絕對對立。最典型的即是超緊基數(shù)的一致性蘊涵了PFA和MM的一致性。此外，我們還知道：

定理10（斯莫林）[5]611

若PFA成立，那么存在一個內模型，滿足存在一個Woodin基數(shù)。

因此，如果出于相對一致性接受力迫公理，那么就必然接受一些大基數(shù)；如果接受大基數(shù)，除非我們有足夠的理由接受一個獨特的集合宇宙，那我們也要接受力迫公理的合法性。

從以上幾個角度看，盡管大基數(shù)公理和力迫公理在最前沿的發(fā)展上有一些相互矛盾的結論，但它們之間哲學上的矛盾和分歧并非完全無法調和?？偨Y這些哲學上的共同點，促進對集合論基礎的討論，獲得更多的證據(jù)來探索集合宇宙，或許是未來做出集合論新公理選擇的可能途徑。