張景中
從前,公理被認(rèn)為是自明之理,自明之理是從哪里來(lái)的呢?唯心論者認(rèn)為來(lái)自人的先天洞察、上帝給人的啟示、人對(duì)理念的認(rèn)識(shí)等,唯物論者認(rèn)為來(lái)自人對(duì)客觀世界規(guī)律性的認(rèn)識(shí),二元論者認(rèn)為來(lái)自人通過(guò)先天感知能力對(duì)經(jīng)驗(yàn)的總結(jié),雖眾說(shuō)紛紜,但有一點(diǎn)是共同的:公理是真理,數(shù)學(xué)家總是受各種各樣哲學(xué)觀點(diǎn)支配的,故數(shù)學(xué)家也傾向于認(rèn)為公理應(yīng)當(dāng)是自明之理,是真理。
現(xiàn)在,數(shù)學(xué)家的看法變了,他們認(rèn)為沒(méi)有什么自明之理,即使有,也不必要求數(shù)學(xué)公理是真理,數(shù)學(xué)公理是對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象的性質(zhì)的約定,什么是直線?直線就是滿足某公理的某種東西,滿足歐幾里得公理,叫歐氏直線;滿足羅巴切夫斯基公理,叫羅氏直線:等等。
討論公理對(duì)不對(duì),這對(duì)數(shù)學(xué)家來(lái)說(shuō)是沒(méi)有意義的,數(shù)學(xué)家只這樣說(shuō):如果某一些對(duì)象適合于這些公理,它們一定也適合于從這些公理推出的定理,從這個(gè)意義上說(shuō),數(shù)學(xué)公理總是對(duì)的,就如同中國(guó)象棋中“單車難破士象全”總是對(duì)的一樣,它依賴于下中國(guó)象棋的規(guī)則,
但也不是隨便幾條湊起來(lái)便可以作為公理,首先,公理不能自相矛盾,也不能推出自相矛盾的東西,這叫作公理的相容性或協(xié)調(diào)性,其次,講究節(jié)約,任一種公理不應(yīng)當(dāng)能從別的公理推出來(lái),能推出來(lái),就作為定理算了,何必算作公理呢?這叫作公理的獨(dú)立性,還有一條叫完全性,就是在這個(gè)系統(tǒng)中,一切命題的真假都是可以確定的,不過(guò),一般說(shuō)來(lái),有了前兩條,也就可以了,甚至,有人認(rèn)為獨(dú)立性也不重要,最重要的是相容性,
對(duì)公理看法的進(jìn)步,大大解放了數(shù)學(xué)家的思維,現(xiàn)代數(shù)學(xué)中各種公理層出不窮,誰(shuí)也不說(shuō)準(zhǔn)的公理不對(duì),不過(guò),有些公理很有用,很受歡迎,有些公理沒(méi)什么用,“束之高閣,并不實(shí)行”,建立之后漸漸被人們忘了,甚至沒(méi)有人注意它們,
數(shù)學(xué)家也是人,也要吃飯、穿衣,他們自然希望自己的研究于人類有用,盡管他們?cè)谶壿嬌嫌薪⑷魏文茏詧A其說(shuō)的公理的權(quán)力,但他們總還會(huì)想到“有什么用”的問(wèn)題,這樣,實(shí)際上被數(shù)學(xué)家重視的公理,總是在一定程度上反映了人們?cè)谏鐣?huì)實(shí)踐中的經(jīng)驗(yàn),或代表了人類向某一未知領(lǐng)域探索的愿望,從這個(gè)意義上說(shuō),公理也就不完全是人們?nèi)我獾募s定了。
中學(xué)生數(shù)理化·七年級(jí)數(shù)學(xué)人教版2016年5期