杜國(guó)平

(中國(guó)社會(huì)科學(xué)院 哲學(xué)研究所， 北京 100732)

張清宇先生從1995年開始發(fā)表文章，闡述其在形式語(yǔ)言中只用括號(hào)、不用聯(lián)結(jié)詞的基本思想，并構(gòu)建了一系列邏輯系統(tǒng)。本文擬對(duì)先生的這一開創(chuàng)性工作做一些闡發(fā)，并對(duì)相關(guān)研究工作做進(jìn)一步推進(jìn)。張清宇先生已經(jīng)離開8年了，但授課之狀仍歷歷在目，謹(jǐn)以此文緬懷先師。

一、括號(hào)表示法

一個(gè)邏輯系統(tǒng)的形式語(yǔ)言基本上包括三類符號(hào)：變?cè)?hào)、常元符號(hào)和結(jié)構(gòu)符號(hào)。變?cè)?hào)一般指的是在給定論域中表示不確定對(duì)象的符號(hào)，如命題變?cè)猵、q、r等等，個(gè)體變?cè)獂、y、z等；常元符號(hào)指的是在給定論域中表示確定對(duì)象的符號(hào)，如命題常元符號(hào)T，真值聯(lián)結(jié)詞符號(hào)﹁ 、∧等；結(jié)構(gòu)性符號(hào)指的是確定符號(hào)之間的間隔、結(jié)合和順序關(guān)系的符號(hào)，它發(fā)揮確定符號(hào)的結(jié)合順序、運(yùn)算層次和排除歧義的功能，如逗號(hào)、左右括號(hào)等。在一般的邏輯系統(tǒng)中，三類符號(hào)各司其職，協(xié)同發(fā)揮著描述所研究對(duì)象的功能。

張清宇先生則創(chuàng)造性地建立了一套新的符號(hào)系統(tǒng)，這套符號(hào)系統(tǒng)只使用括號(hào)而不使用命題聯(lián)結(jié)詞和量詞，使括號(hào)既表達(dá)特定聯(lián)結(jié)詞的邏輯功能又發(fā)揮括號(hào)本身的結(jié)構(gòu)性功能。在文獻(xiàn)[2]中，其技術(shù)處理的核心要旨是使用命題常項(xiàng)“t”和括號(hào)“( )”發(fā)揮命題聯(lián)結(jié)詞的作用?！?AB)”相當(dāng)于“A∧(﹁B)”，即對(duì)于一個(gè)真值賦值v，v(t)=1；v((AB))=1當(dāng)且僅當(dāng)，v(A)=1且v(B)=0。在文獻(xiàn)[3]和[4]中，使用命題常項(xiàng)“T”和括號(hào)“( )”發(fā)揮命題聯(lián)結(jié)詞的作用，并擴(kuò)展為使用括號(hào)“( )”進(jìn)一步發(fā)揮量詞的作用?！?AxB)”相對(duì)于“?x(A∧﹁B)”，即，給定一個(gè)模型U=(D,I)和U的一個(gè)指派α，TI,α=1；(AB)I,α=1當(dāng)且僅當(dāng)，AI,α=1且1I,α=0；(AxB)I,α=1當(dāng)且僅當(dāng)，對(duì)α的某個(gè)x-變異1，(AB)I,β=1。其他聯(lián)結(jié)詞均可以通過(guò)定義而引入，如：

A∧B=def(A(TB))

A∨B=def(T((TA)B))

A→B=def(T(AB))

?xA=def(Tx(TA))

?xA=def(T(TxA))[4]25-68

這樣，括號(hào)一方面發(fā)揮了結(jié)構(gòu)性功能，另一方面也可同時(shí)表達(dá)命題聯(lián)結(jié)詞和量詞的功能。準(zhǔn)確、簡(jiǎn)潔，完全可以媲美波蘭表示法！

在此，需要澄清一個(gè)問(wèn)題，“不用聯(lián)結(jié)詞”指的是在形式語(yǔ)言中沒(méi)有直接使用常用的命題聯(lián)結(jié)詞符號(hào)，并非指的是在形式語(yǔ)言中語(yǔ)義上完全沒(méi)有表達(dá)聯(lián)結(jié)詞功能的符號(hào)。今后，我們將把在形式語(yǔ)言中不用聯(lián)結(jié)詞而只使用括號(hào)的邏輯符號(hào)表示法統(tǒng)稱為括號(hào)表示法，以區(qū)別并比照于波蘭表示法。

一個(gè)符號(hào)往往承載著不同的功能，如符號(hào)C通常作為一個(gè)英文大寫字母，但是在波蘭表示法中，它具體的語(yǔ)義功能是表示命題聯(lián)結(jié)詞的“蘊(yùn)涵”。因此，形式語(yǔ)言中的符號(hào)至少存在著兩個(gè)功能：一是在語(yǔ)法層面上的語(yǔ)形功能，一個(gè)是在解釋層面上的語(yǔ)義功能。在波蘭表示法中，符號(hào)N、A、K、C等一方面在語(yǔ)形上是命題之間的連接符號(hào)，另一方面在語(yǔ)義功能上承載著真值函數(shù)運(yùn)算功能和結(jié)合的次序功能。同樣，在括號(hào)表示法中，括號(hào)作為一個(gè)技術(shù)性符號(hào)，它語(yǔ)形上呈現(xiàn)的是結(jié)構(gòu)性功能，但是在語(yǔ)義上，它也同時(shí)承載著真值函數(shù)的運(yùn)算功能和結(jié)合的次序功能。所以，無(wú)論是不用括號(hào)的盧卡西維茨的波蘭表示法還是只用括號(hào)的括號(hào)表示法，都僅僅指的是在語(yǔ)形上的呈現(xiàn)，而不是指它們?cè)谡Z(yǔ)義層面上沒(méi)有排除歧義等的結(jié)構(gòu)功能或表達(dá)邏輯運(yùn)算的真值函數(shù)功能。所以，“不用聯(lián)結(jié)詞”僅僅指的是語(yǔ)形層面上的，而不是語(yǔ)義層面上的。在語(yǔ)義功能上，不論是波蘭表示法還是括號(hào)表示法，無(wú)疑都有承載真值函數(shù)功能的“聯(lián)結(jié)詞”。

機(jī)器識(shí)別的首先是語(yǔ)形層面上的形式語(yǔ)言，無(wú)論是波蘭表示法還是括號(hào)表示法均如此，因?yàn)槠浞?hào)簡(jiǎn)單、無(wú)歧義，便于機(jī)器的實(shí)現(xiàn)和識(shí)別，這是其獨(dú)特的應(yīng)用價(jià)值。另外，探究符號(hào)的不同表達(dá)功能，可以進(jìn)一步加深對(duì)符號(hào)形式處理技術(shù)的理解?？梢哉J(rèn)為，波蘭表示法和括號(hào)表示法是邏輯符號(hào)表示法的兩個(gè)相互映襯的典范！

二、0元聯(lián)結(jié)詞

邏輯聯(lián)結(jié)詞在語(yǔ)形上的作用是作用于已有公式之上形成新的公式，如一元聯(lián)結(jié)詞“﹁ ”作用于單個(gè)公式“p”之上可形成新公式“(﹁p)”，二元聯(lián)結(jié)詞“C”作用于兩個(gè)公式“p”“q”之上可形成新公式“Cpq”?！癟”作用于0個(gè)公式之上形成公式“T”，在此意義上，可將“T”視為0元聯(lián)結(jié)詞。從語(yǔ)義上看，在通常的語(yǔ)義解釋中，對(duì)于一個(gè)真值賦值v，v(﹁α)=1-v(α)，“﹁ ”是一個(gè)1元函數(shù)運(yùn)算；v(α∧β)=min(v(α),v(β))，v(α∨β)=max(v(α),v(β))，v(α→β)=max((βαv(α)),v(β))，“∧”“∨”“→”均是一個(gè)2元函數(shù)運(yùn)算。而v(T)=1，恰是一個(gè)0元函數(shù)運(yùn)算。因此，“T”可看作一個(gè)0元聯(lián)結(jié)詞，這正如在一階語(yǔ)言中，將個(gè)體常項(xiàng)看成0元函數(shù)符號(hào)一樣[4]26。

但如果純粹從語(yǔ)形層面來(lái)看，“T”無(wú)疑是作為一個(gè)命題常項(xiàng)出現(xiàn)的。因此，在文獻(xiàn)[2][3]和[4]等的括號(hào)表示法中，說(shuō)“不用聯(lián)結(jié)詞”是完全可以的。

三、獨(dú)立性

張清宇先生在文獻(xiàn)[2]建立的公理系統(tǒng)H中，可能是出于對(duì)括號(hào)的引入和消去的考慮，有形如t(A(t((tB)(AB))))、t((AB)A)和t((AB)(tB))等公理，這增強(qiáng)了公理系統(tǒng)的直觀性，也便于簡(jiǎn)化系統(tǒng)內(nèi)定理的證明。但是，如果從公理系統(tǒng)的簡(jiǎn)潔性方面去考慮，這些公理并非都是必須的。

下面，我們將證明公理系統(tǒng)H中的公理模式(也簡(jiǎn)稱為公理)并非都是必須的，即公理系統(tǒng)H不具有獨(dú)立性。我們可以將公理系統(tǒng)H進(jìn)行簡(jiǎn)化，刪除其中的公理1、公理4和公理5，只保留其中的公理2、公理3、公理6等3條公理和推理規(guī)則t(E)，簡(jiǎn)化后的公理系統(tǒng)簡(jiǎn)記為QY。即公理系統(tǒng)QY包括如下公理(模式)和推理規(guī)則：

1. t(At(BA))

公理系統(tǒng)H之公理2

2. t((t(A(t(BC))))(t((t(AB))(t(BC)))))

公理系統(tǒng)H之公理3

3. t((t((tA)B))(t((t((tA)(tB)))A)))

公理系統(tǒng)H之公理6

推理規(guī)則即公理系統(tǒng)H之推理規(guī)則t(E)：由A和t(AB)可得出B。

可以證明公理系統(tǒng)H中的公理1、公理4和公理5都是系統(tǒng)QY的定理。

1. t((t(A(t((t(AA))A))))(t((t(A(t(AA))))(t(AA)))))

公理系統(tǒng)QY之公理2

2. t(A(t((t(AA))A)))

公理系統(tǒng)QY之公理1

3. t((t(A(t(AA))))(t(AA)))

1、2，公理系統(tǒng)QY之推理規(guī)則t(E)

4. t(A(t(AA)))

公理系統(tǒng)QY之公理1

5. t(AA)

3、4，公理系統(tǒng)QY之推理規(guī)則t(E)

定理1即為公理系統(tǒng)H之公理1。在定理1的證明中，只用到了公理系統(tǒng)H的公理2、公理3以及推理規(guī)則t(E)。

在公理系統(tǒng)H中證明演繹定理時(shí)，只使用了公理系統(tǒng)H的公理1、公理2、公理3以及推理規(guī)則t(E)[2]。因?yàn)楣硐到y(tǒng)H的公理1可以由公理系統(tǒng)H的公理2、公理3以及推理規(guī)則t(E)被證明而作為系統(tǒng)QY的一個(gè)定理。因此，在系統(tǒng)QY中演繹定理顯然是成立的。所以，在下面的證明中，如果需要，我們將直接使用演繹定理。

1.A

hyp

2. (tB)

hyp

3. t(AB)

hyp

4.B

1、3，公理系統(tǒng)QY之推理規(guī)則t(E)

5. t((t(AB))B)

3～4，公理系統(tǒng)QY之演繹定理

6. t((tB)(t((t(AB))(tB))))

公理系統(tǒng)QY之公理1

7. t((t(AB))(tB))

2、6，公理系統(tǒng)QY之推理規(guī)則t(E)

8. t((t((t(AB))B))(t((t((t(AB))(tB)))(AB))))

公理系統(tǒng)QY之公理3

9. t((t((t(AB))(tB)))(AB))

5、8，公理系統(tǒng)QY之推理規(guī)則t(E)

10. (AB)

7、9，公理系統(tǒng)QY之推理規(guī)則t(E)

11. t((tB)(AB))

2～10，公理系統(tǒng)QY之演繹定理

12. t(A(t((tB)(AB))))

1～11，公理系統(tǒng)QY之演繹定理

定理2即為公理系統(tǒng)H之公理4。

1. t((t((tA)(tA)))(t((t((tA)(t(tA))))A)))

公理系統(tǒng)QY之公理3

2. t((tA)(tA))

公理系統(tǒng)QY之定理1

3. t((t((tA)(t(tA))))A)

1、2，公理系統(tǒng)QY之推理規(guī)則t(E)

4. t((t((t((tA)(t(tA))))A))(t((t(tA))(t((t((tA)(t(tA))))A)))))

公理1

5. t((t(tA))(t((t((tA)(t(tA))))A)))

3、4，公理系統(tǒng)QY之推理規(guī)則t(E)

6. t((t((t(tA))(t((t((tA)(t(tA))))A))))(t((t((t(tA))(t((tA)(t(tA))))))(t((t(tA))A)))))

公理2

7. t((t((t(tA))(t((tA)(t(tA))))))(t((t(tA))A)))

5、6，公理系統(tǒng)QY之推理規(guī)則t(E)

8. t(((t(tA))(t((t()(t(tA)))))

公理系統(tǒng)QY之公理1

9. t((t(tA))A)

7、8，公理系統(tǒng)QY之推理規(guī)則t(E)

此定理即為雙否消去律。

1. (AB)

hyp

2. (tA)

hyp

3.A

hyp

4. t((tA)(t((tB)(tA)))

公理系統(tǒng)QY之公理1

5. t((tB)(tA)

2、4，公理系統(tǒng)QY之推理規(guī)則t(E)

6. t((A)(t((tB)A))

公理系統(tǒng)QY之公理1

7. t((tB)A)

3、6，公理系統(tǒng)QY之推理規(guī)則t(E)

8. t((t((tB)A))(t((t((tB)(tA))B))

公理系統(tǒng)QY之公理3

9. t((t((tB)(tA))B)

7、8，公理系統(tǒng)QY之推理規(guī)則t(E)

10.B

5、9，公理系統(tǒng)QY之推理規(guī)則t(E)

11. t(AB)

3～10，公理系統(tǒng)QY之演繹定理

12. t((tA)(t(AB)))

2～11，公理系統(tǒng)QY之演繹定理

13. t((AB)(t((tA)(AB))))

公理系統(tǒng)QY之公理1

14. t((tA)(AB))

1、13，公理系統(tǒng)QY之推理規(guī)則t(E)

15. t((t((tA)(AB)))(t((t((tA)(t(AB))))A)))

公理系統(tǒng)QY之公理3

16. t((t((tA)(t(AB))))A)

14、15，公理系統(tǒng)QY之推理規(guī)則t(E)

17.A

12、16，公理系統(tǒng)QY之推理規(guī)則t(E)

18. t((AB)A)

1～17，公理系統(tǒng)QY之演繹定理

1. (AB)

hyp

2. t((AB)(t((t(tB))(AB))))

公理系統(tǒng)QY之公理1

3. t((t(tB))(AB))

1、2，公理系統(tǒng)QY之推理規(guī)則t(E)

4. t(tB)

hyp

5.A

hyp

6. t((t(tB))B)

公理系統(tǒng)QY之定理3

7.B

4、6，公理系統(tǒng)QY之推理規(guī)則t(E)

8. t(AB)

5～7，公理系統(tǒng)QY之演繹定理

9. t((t(tB))(t(AB)))

4～8，公理系統(tǒng)QY之演繹定理

10. t((t((t(tB))(AB)))(t((t((t(tB))(t(AB))))(tB))))

公理系統(tǒng)QY之公理3

11. t((t((t(tB))(t(AB))))(tB))

3、10，公理系統(tǒng)QY之推理規(guī)則t(E)

12. (tB)

9、11，公理系統(tǒng)QY之推理規(guī)則t(E)

13. t((AB)(tB))

1～12，公理系統(tǒng)QY之演繹定理

定理4、定理5即為公理系統(tǒng)H之公理5。

對(duì)公理系統(tǒng)H的公理簡(jiǎn)化之后得到的公理系統(tǒng)QY和通常的命題邏輯希爾伯特系統(tǒng)只存在一個(gè)差異。即推理規(guī)則的差異，一個(gè)是分離規(guī)則，一個(gè)是t(E)，而根據(jù)QY中“A→B”的定義，這兩者顯然是定價(jià)的。

這樣簡(jiǎn)化后的公理系統(tǒng)QY就是一個(gè)和通常的命題邏輯希爾伯特型系統(tǒng)相等價(jià)的系統(tǒng)[5]16-29。因此，該系統(tǒng)具有可靠性和完全性。

四、純粹括號(hào)表示法

在文獻(xiàn)[3]和[4]中，張清宇先生構(gòu)建了不用聯(lián)結(jié)詞和量詞的一階邏輯公理系統(tǒng)QH。在通過(guò)定義引入聯(lián)結(jié)詞“﹁ ”“?”和全稱量詞“?”之后，在QH中實(shí)際上包含了語(yǔ)形聯(lián)結(jié)詞“﹁ ”“?”和全稱量詞“?”，并且其中除了括號(hào)“( )”之外，還包括方括號(hào)“[ ]”。我們可以將該系統(tǒng)使用括號(hào)表示法并使之純粹化，可以在公理系統(tǒng)QY(原有 3條公理)的基礎(chǔ)上增加如下公理(模式)和推理規(guī)則從而得到一階邏輯公理系統(tǒng)QQY：

4. T((T(Tx(T(AB(x)))))(T(A(T(TxB(x))))))，x不在A中出現(xiàn)

5. T((T(TxA(x)))A(m))，A(m)是由將A(x)中的x全部替換為m而得(m是個(gè)體常元)

可以證明，一階邏輯公理系統(tǒng)QQY和通常的一階謂詞邏輯系統(tǒng)等價(jià)[5]70-98，可參閱文獻(xiàn)[5]。因此，該系統(tǒng)同樣具有可靠性和完全性。

值得注意的是，在一階邏輯公理系統(tǒng)QQY中，括號(hào)既有結(jié)構(gòu)性功能，如“A(u)”中的括號(hào)；也有聯(lián)結(jié)詞功能，如“(AB)”中的括號(hào)；還有量詞功能，如“(AxB)”中的括號(hào)。