王習勝

（安徽師范大學政治學院，安徽 蕪湖 241003）

對集合論公理化方法悖性的審思

王習勝

（安徽師范大學政治學院，安徽 蕪湖 241003）

公理化集合論理論的創(chuàng)立，解決了康托爾素樸集合論因其概括原則的前提預設而導致的一系列悖論。在公理化集合論中人們沒有發(fā)現(xiàn)新的悖論，學界因此而視其為成功的解悖方案。公理化的本質是重構集合論的演繹系統(tǒng)，演繹方法具有保真性，能夠導出可靠知識。公理化集合論的兩個準等價的系統(tǒng)卻是從相互矛盾的前提建構得來的。如果這兩個公理系統(tǒng)導出的結論是可靠的，就說明可靠知識可以由不可靠的公理化方法導出的。這就對公理化方法的可靠性構成了質疑。

悖論；羅素悖論；集合論；公理化；科學方法論

為了避免康托爾（G.Cantor）素樸集合論以性質定義集合而導致的悖論，集合論研究者采取了公理化方法，成功地建構了ZFC系統(tǒng)和NBG系統(tǒng)，這兩個系統(tǒng)都能夠消解以羅素悖論為代表的素樸集合論悖論。然而，這兩個準等價的系統(tǒng)卻是從導致素樸集合論悖論的相互對立的前提出發(fā)建構的，這就不由得我們不對知識與方法的可靠性問題產生疑問。

一、集合論中公理化方法的興起

集合論的公理化方法的興起是與以羅素悖論為代表的素樸集合論中出現(xiàn)的一系列悖論密切相關的。雖然“集合”這個概念的使用并非自康托爾開始，但康托爾卻在集合論領域作出了突出的貢獻：他對無限集合作了定量研究，引進了超限基數(shù)和超限序數(shù)，劃分了無限的層次。超限基數(shù)和超限序數(shù)理論乃至整個超限集合論的建立，使人類對于無限的認識進入到一個嶄新的階段。因與傳統(tǒng)觀念相沖突，康托爾的工作受到諸多批評和指責，但康托爾堅信自己的創(chuàng)造對整個數(shù)學的重要性，頑強地堅持并發(fā)展自己的學說，加之有威爾斯特拉斯（K.Weierstrass）、戴德金（R.Dedekind）和弗雷格（G.Frege）等人的支持，尤其是這個理論本身所顯示出的強大的生命力，到19世紀90年代，康托爾的成果已經得到多數(shù)數(shù)學家的認可。超限集合論不僅因其成為數(shù)學理論相對相容性證明的底端而大放異彩，而且因為它在一系列數(shù)學領域（如測度論和拓撲學等）成功的應用而備受人們的青睞。

正當人們?yōu)榧险摾碚摰某晒?也為整個數(shù)學大廈找到了堅實基礎而慶幸之時，1895年，康托爾在他的序數(shù)理論中發(fā)現(xiàn)了一個重大矛盾：根據概括原則，可用所有序數(shù)構成一個集合W，將其中的元素排列起來，則W是個良序集，其元素便是上面的良序系列中的分子。根據窮竭原則，這個集合也應有一序數(shù)Q，它大于W的任一元素。但由于Q本身也是一個序數(shù)，故而也是W的一個元素，這就導出了Q＞Q的荒謬結論。

康托爾沒有將這個問題立即在學界公開，而是寫信告知希爾伯特（D.Hibert），希望希爾伯特能夠幫助他找出推導中的問題所在。但后來，布拉里—弗爾蒂（Burali-Forti）獨立地發(fā)現(xiàn)了這個悖論，并將它公布于眾，所以這個悖論又被稱為“布拉里—弗爾蒂悖論”。

最大序數(shù)悖論尚未解決，康托爾又發(fā)現(xiàn)了基

數(shù)悖論。1899年，他在給戴德金的一封信中談到了他的發(fā)現(xiàn)：以“集合”作為一特征性質，根據概括原則，可以構成所有集合的集合S，即所謂的“大全集”?？低袪柖ɡ砀嬖V我們，任一集合的冪集的基數(shù)大于原集合的基數(shù)，那么S的冪集的基數(shù)大于其自身的基數(shù)。既然S是大全集，則PS也是S的子集，子集的元素的個數(shù)不可能超過其母集，故有小于或等于。于是，悖論出現(xiàn)了：＞，同時≦。這就是著名的“康托爾悖論”，它比布拉里－弗爾蒂悖論更簡單、更明顯。

康托爾感到，如果在上述推導中找不出問題，就說明可能并不存在大全集，或者說，沒有最大的超限基數(shù)。然而，這個結論如果成立，就意味著必須修改超限集合論的某些原則，而在這些原則中變更任何一個，對于康托爾集合論理論都是致命的。

由于這兩個悖論的推導牽涉到素樸集合論一系列基礎概念，所以，當時的很多數(shù)學家并沒有為此而多慮。他們相信這兩個悖論肯定是由于推導中某些環(huán)節(jié)出了錯誤所致，比如，暗含地引入了新概念，或推理中發(fā)生了不易察覺的失誤，就象過去關于歐氏幾何第五公設可以從其余四條公設推出的一系列“證明”一樣，那些“證明”后來經過仔細辨析都不成立。人們具有這種樂觀信念的另一個原因是，盡管歐氏幾何、實數(shù)論和自然數(shù)論的不矛盾性尚未得到直接證明，但是人們都相信它們不會導致悖論，事實上也從未在其中遇到過悖論。同時，又已經把這些理論的不矛盾性直接或間接地歸約到集合論的不矛盾性，而集合論在當時被許多數(shù)學家公認為邏輯理論，人們相信邏輯理論是沒有矛盾的，所以，人們更加相信集合論中決不會產生悖論。因而，當最大基數(shù)悖論和最大序數(shù)悖論出現(xiàn)后，并沒有影響到數(shù)學界對集合論理論安全、樂觀的信任氣氛，也沒有影響到集合論在許多領域中的自由應用。

如果說由于布拉里－弗爾蒂悖論和康托爾悖論涉及的概念較多，使得數(shù)學家們對于在集合論的既有形態(tài)中解決問題充滿希望，那么羅素悖論的發(fā)現(xiàn)，使得這種希望徹底破滅。1901年，羅素在試圖尋找康托爾悖論之推導的毛病時發(fā)現(xiàn)了新的悖論。

我們知道，素樸集合的構成有兩種方法，一是列舉法，二是概括法。但通過列舉法構建的集合也可以用概括的方法去統(tǒng)攝，所以，概括原則是康托爾集合論中統(tǒng)攝任一集合的一條普遍原則。正是這條原則可運用于構造無限集合，甚至不可數(shù)的無限集合，集合論作為整個數(shù)學的基礎理論才成為可能。然而，羅素悖論也正是由這條普遍的基本原則引申出來的。羅素當時的思路是：我們可以把所有集合分成兩類，一類是屬于自己的集合，即一個集合可以作為一個元素屬于自身。另一類是不屬于自己的集合，即一個集合不能作為一個元素屬于自身。那么，對于“不屬于自身的集合”這種性質而言，它將會構成怎樣的集合呢？根據概括原則，將出現(xiàn)“不屬于自身的集合”當且僅當“屬于自身的集合”的矛盾。稍后，意大利數(shù)學家策墨羅（E. Zermelo）也獨立地發(fā)現(xiàn)了這個悖論。于是，人們將這個悖論也稱為羅素－策墨羅悖論。

羅素悖論由概括原則直接導出，形式上簡潔而明確，這個悖論觸及到素樸集合論中最為根本的概念——集合，所以給人以數(shù)學大廈之將傾的壓力和恐懼。數(shù)學，素有最嚴格的科學之稱，是架構其他經驗科學理論的重要工具，現(xiàn)在竟然在其基礎理論中發(fā)現(xiàn)了邏輯矛盾，這使得當時許多數(shù)學家感到無所適從。1903年，德國數(shù)學家和邏輯學家弗雷格正在出版他的重要著作《論算術的基本法則》第二卷，當他得知羅素悖論之后，便在書的“后記”中沮喪地寫道：“對于一個科學工作者來說，最不幸的事情無過于當他完成他的工作時，發(fā)現(xiàn)他的知識大廈的一塊基石突然動搖了。正當本書的印刷接近完成之際，伯蘭特·羅素先生的一封信便使我陷入這種境地……”［1］（P807）另一位數(shù)學家戴德金在得知這個悖論之后，把原來打算付印的《連續(xù)性與無理數(shù)》一書的第三版的稿子抽了回來。羅素本人則如此形容他發(fā)現(xiàn)這個悖論時的心緒：“智力活動上的悲哀充分地降到了我的頭上”［2］（P64）。數(shù)學史家克萊因（M.Kline）描述到：“作為邏輯結構，數(shù)學已處于一種悲慘的境地，數(shù)學家們以向往的心情回顧這些矛盾被認識以前的美好時代。”［3］（P293）

素樸集合論在根基上出了矛盾，而集合論所具有的地位和作用又不容得人們徹底舍棄這一理論，既然以邏輯直覺方式建構的素樸集合論無法排斥其中的悖論，應該用怎樣的方法才能建構一種無矛盾的集合論呢？從科學方法論的角度論，構

造科學理論的方法雖然有很多種，比如，常用的方法有經驗直觀方法、邏輯直覺方法、公理化方法、邏輯與歷史相統(tǒng)一的方法、從抽象上升到具體的方法，等等，但以認知心理學關于問題解決策略方式的二分法，所有方法不外乎只有“算法”（Algorithm）和啟發(fā)法（Heuristics）之別。由于算法能夠精確地指明問題解決的步驟，更少地帶有個人偏好與信仰的成分，“使得有限的智力能夠處理無限性”［4］（P51）認識對象，這一獨特優(yōu)勢，使其成為打造具有嚴密邏輯形式的數(shù)學和邏輯學等演繹科學理論系統(tǒng)的常用方法，亞里士多德的三段論系統(tǒng)，從2個基本公理，4個基本規(guī)則，即可推得24個有效式；歐幾里得的幾何學體系，從5條公設、5條公理和23個定義出發(fā)，可以嚴密地推演出467個數(shù)學命題等，都是這一方法的典范產品。公理化方法本質上就是認知心理學意義上的算法。既然由算法構建的科學理論在邏輯相容性方面最能為人們所信服，因此，為了克服素樸集合論的悖論，在現(xiàn)代集合論的建構中公理化方法受到了前所未有的器重。

二、兩個前提矛盾的準等價公理化集合論系統(tǒng)

康托爾的素樸集合論將“集合”理解為“我們直覺或者思考的不同對象的總體”，這樣理解“集合”，在語義上未免過于含糊和疏漏，而羅素以分支類型論解決羅素悖論又帶有很強的特設性，當策墨羅把集合論變成了一個完全抽象的公理化理論時，從方法論的角度說，的確實現(xiàn)了對前人思想粗陋缺陷的克服。策墨羅不再以人們似乎公認的“直覺”作為標準去定義“集合”概念，而是以公理方式將集合的性質一一體現(xiàn)出來，這些公理是：

（1）確定性公理（通稱“外延公理”）：每一集合都由它的元素唯一決定。

（2）基本集合存在公理：空集存在，單元素集存在，對偶集存在。

（3）分出公理（又稱子集公理）：假如謂詞P（代表某一性質）對已知集合B中的所有元素都有意義，則可以從B中分出一個子集A，而A由B中所有滿足謂詞P的元素組成。

（4）冪集公理：每一集合都存在一冪集。

（5）并集公理：任一集合的所有元素的元素組成一集合。

（6）無限公理：至少存在一集合ω，它具有這樣的性質：（a）Φ∈ω；（b）如果x∈ω，則{x}∈ω。就是說，空集是它的元素，而且，如果x是它的元素，那么{x}也是它的元素。

（7）選擇公理：若A是由不相交的非空集合組成的集合，則存在一集合，它和A的每一個元素恰有一共同元素。［5］（P64-65）

學界稱這些公理為公理系統(tǒng)Z。Z系統(tǒng)回避了用“性質”造集可能造成的體系矛盾，比如說，用所有“對象”、所有“序數(shù)”等性質造集，就可能造成大全集悖論和最大序數(shù)悖論等，既然Z系統(tǒng)回避了“性質”造集，也就排除了某些不適當?shù)募?，這有利于消除羅素悖論產生的條件。正因如此，策墨羅被學界視為公理化集合論的奠基人。但是，如果僅這些公理去建構集合論也會產生另外的問題，那就是素樸集合論中很多有用的東西，比如，某些超限集合和超限歸納法等就被無情地拒斥在集合論的大門之外了。為了彌補Z系統(tǒng)的缺陷，挪威數(shù)學家斯科倫（T.Skolem）和以色列數(shù)學家弗蘭克爾（A.Fraenkel）給Z系統(tǒng)增加了一條“替換公理”，即“若f是一個函數(shù)，而且，對一個已知集合中的任一元素x而言，f(x)也是一個集合，那么，所有這些f(x)就構成一個新的集合?！保?］（P226-228）

學界認為，在Z系統(tǒng)上增加“替換公理”之后，足以彌補Z系統(tǒng)為解決素樸集合論悖論而造成的自身缺陷，但這種“完滿”的想法很快被法國數(shù)學家米里曼諾夫（D.Mirimannoff）打破，1917年，米里曼諾夫在上述系統(tǒng)中發(fā)現(xiàn)了“有根基性悖論”，其主要內容是：如果對一個集合x而言，不存在集合y1，y2等（不必不相同）的無限序列，使得…y3∈y2∈y1∈x，則稱x是“有根基的”，否則就是“無根基的”。如果令ω為所有有根基的集合的集合，那么ω是有根基的還是無根基的？假設ω是有根基的，則ω∈ω，因此，可有序列…ω∈ω∈ω∈ω∈ω，而該序列的存在，意味著ω是無根基的；再假設ω是無根基的，則依據定義存在一串集合的無限序列…y3∈y2∈y1∈ω，此時y1也是無根基集合，但它又屬于ω，與ω定義矛盾，故而ω又應該是有根基的。為了解決這種“有根基性悖論”，也為了使得Z系統(tǒng)繼續(xù)發(fā)揮應有的價值，1925年，美籍匈牙利數(shù)學家馮·諾意曼（J.von

Neumann）提出在Z系統(tǒng)上再增加一個“基礎公理”，即“對任一非空集合而言，一定有這樣的元素存在，它與原來的集合沒有公共元素”，既然與原來的集合沒有公共元素，也就不會存在上面的所說的無限序列。基礎公理與羅素的類型理論一樣，表明了集合與元素之間的層次關系。

學界確認，以一階邏輯和修補后的Z系統(tǒng)為基礎建構的公理化集合論，即人們常說的ZFC系統(tǒng)，既能夠發(fā)揮素樸集合論作為數(shù)學基礎的作用，又能夠有效消除在素樸集合論中發(fā)現(xiàn)的多個悖論，不僅如此，在這個新系統(tǒng)中再未發(fā)現(xiàn)新的悖論。為此，人們有理由相信，這個系統(tǒng)是安全可靠的。

馮·諾意曼在為Z系統(tǒng)增加基礎公理的同時，也考慮到集合論的哲學基礎問題。他認為，素樸集合論造集具有任意性，即一個屬性就可以定義一個集合，并不在于它使用了太大的集合，而在于這些集合被任意地用作其他集合或自身的元素。因而，解決問題的方法不應該是限制集合的存在，而應該是限制一個集合作為另一集合元素的資格。既然悖論的產生是由于過大的總體，即大全集引起的，只要不讓這類總體再成為集合的元素，就可以避免悖論。他覺得，如果說有的集合的元素，比如大全集，雖然存在但不能再作為另一個集合或它自身的元素，比宣布它不存在更符合人們的直覺。按照這種想法，馮·諾意曼建構了不同于ZFC系統(tǒng)的另一個系統(tǒng)，經貝爾納斯（P. Bernays）和哥德爾（K.G?del）等人的完善，形成了與ZFC并行的NBG系統(tǒng)。

雖然NBG系統(tǒng)與ZFC系統(tǒng)的構建與表述均不相同，但是后來證明，NBG是ZF的一個保守擴充，即NBG的定理不一定是ZF的定理，但ZF的定理都是NBG的定理，而且，人們還證明了如下相容性，即如果ZF是相容的，則NBG也是相容的。這個結果說明，這兩個系統(tǒng)是準等價性的。與ZF一樣，NBG同樣可以有效地避免已知的集合論悖論，同時在這個系統(tǒng)中也未出現(xiàn)新的悖論。

從形式技術角度看，NBG的成功建構為解除集合論悖論多提供了一種可行方法，但從哲學上卻給人們帶來了更大的困擾。這是因為，康托爾悖論直接來自素樸集合論中的兩個矛盾的論斷：（1）存在大全集，即存在以一切集合為自己的元素的集合。（2）任何集合都有冪集，即一切集合都可擴充到一個以它為元素的更大的集合。同時認同這兩個原則，必然會導致悖論，而要避免悖論，至少要放棄二者之一。ZF放棄了（1）而保留了（2），實質是以限制集合產生的方式以得到消除悖論的目的。NBG則放棄了（2）而保留了（1）。馮·諾意曼認為，策墨羅限定的條件很嚴格，但有些條件似乎并不必要，而且還容易造成“誤傷”，即將有些有用的而且并沒有出現(xiàn)惡性循環(huán)的論證拋棄了。所以，他采取的措施不是不讓大全集產生，而是不讓這類總體再成為元素，藉此避免悖論的生成。如果說ZF與NBG就是兩個相互矛盾的系統(tǒng)也有問題，因為分別從矛盾的論斷出發(fā)，導致兩個矛盾的系統(tǒng)，不僅都是“合邏輯”的，而且ZF與NBG還是準等價性的。［5］（P69-71）它們在對“前提”的放棄和保留上采取了相互矛盾的措施，卻得到了相同的結果。雖然歐氏幾何和非歐幾何也曾出現(xiàn)過類似的情況，但非歐幾何后來得到了物理的解釋，使得它和歐氏幾何各司其職，相得益彰。而ZF和NBG卻同屬基礎領域，面對的是同樣的對象，解決著同樣的問題，這種取舍的任意性誰更合理呢？

三、公理化方法能夠保障數(shù)學基礎的可靠性嗎？

數(shù)學是演繹科學之典范，數(shù)學基礎的協(xié)調性、嚴密性和確定性是其作為典范的基本品質，所以，早在19世紀末，德國數(shù)學家希爾伯特在對歐幾里得幾何公理體系作了深入考察之后就指出，一個嚴格而理想的公理化體系，需要滿足三個條件：第一，無矛盾性，即在公理化體系中其邏輯上要求首尾一致，不允許出現(xiàn)相互矛盾的命題。這是科學性的要求。第二，完備性，即所選擇的公理應該是足夠的。從它們能夠推出有關本領域的全部定理、定律；若減少其中任何一條公理，有些定理、定律就會無法推導出來。這是體系完整性的要求。第三，獨立性，是指所有公理都是彼此獨立的，其中任何一個公理都不可能從其他公理中推導出來，這樣就可使公理的數(shù)目減少到最低限度。這是公理化體系簡單性的要求。按照希爾伯特的標準，ZF與NBG作為各自獨立的公理系統(tǒng)都不存在問題，那么，這兩個對矛盾論斷的不同選擇卻有相同解題功能的系統(tǒng)，僅僅是方法上的多樣性所致嗎？問題恐怕不是這樣簡單。按照哥德爾的說法，在數(shù)學向

精密化目標發(fā)展的過程中，形式化是實現(xiàn)其精密化的必然步驟，由于數(shù)學的高度形式化，人們已經能夠使用少量機械規(guī)則即可證明任何定理。其中，最為人們稱道的形式化系統(tǒng)是兩個，其一是《數(shù)學原理》，其二就是ZF系統(tǒng)，“這兩個系統(tǒng)是如此全面，以至于今天在數(shù)學中使用的所有證明方法都已在其中形式化，也就是說，都可化歸為少數(shù)幾條公理和推導規(guī)則?！保?］（P596-597）就在人們?yōu)檫@些公理和推導規(guī)則所取得的巨大成就感到無比自豪，甚至以為，有了這樣的形式系統(tǒng)足以表達的任何數(shù)學問題時，他卻發(fā)現(xiàn)了出乎人們意料的新問題。

哥德爾所謂的《數(shù)學原理》和ZF系統(tǒng)等都包含了形式算術，若證明了形式算術不可完全，也就證明了這些系統(tǒng)的不可完全。哥德爾所研究的形式算術系統(tǒng)也就是人們平時所使用的算術或初等數(shù)論的形式化。它包括經典的帶等詞的一階邏輯系統(tǒng)，加上如下算術公理，即“皮亞諾（G.Peano）公理”的初始公式：

（1）0是自然數(shù)。

（2）每個自然數(shù)都有一個后繼數(shù)。

（3）不同的自然數(shù)的后繼數(shù)也不同。

（4）0不是任何自然數(shù)的后繼數(shù)。

（5）數(shù)學歸納法，即如果0具有某屬性，并且若一個自然數(shù)具有該屬性則其后繼數(shù)就具有該屬性，那么，所有自然數(shù)都具有該屬性。

這些公理都能夠以一階邏輯的形式語言表達為形式系統(tǒng)的初始公式。只有同時采用這五個公理才能充分表達人們所使用的加、減、乘、除的算術，缺一不可。哥德爾在PA（皮亞諾算術形式系統(tǒng)）中找到了這樣一個合式公式G，該公式和它的否定‘G在系統(tǒng)中都是不可證的，即二者均不可能作為PA的定理。而從語義學角度考慮，經過解釋，G和‘G必有一真。真而不可證明，意味著有的算術真理并沒有為PA所包容，從而得證PA是不完全的。［5］（P92-93）

哥德爾所發(fā)現(xiàn)的問題，用最簡單的語言來說就是：一個相容的形式系統(tǒng)不可能證明它自身的相容性。［8］（P29-34）人們將哥德爾的發(fā)現(xiàn)命名為哥德爾定理。后來，哥德爾定理的含義被作了更為廣泛的表述，即一個形式系統(tǒng)，只要復雜到算術系統(tǒng)的程度，它是完備的，就是不相容的；反之，它是相容的，就是不完備的，而且，這樣的形式系統(tǒng)其相容性不可能在其內部得到證明。

1985年，我國學者朱梧槚等人證明，任何一個數(shù)學系統(tǒng)，如果同時滿足下列五個條件，則此數(shù)學系統(tǒng)必包含邏輯悖論：［9］（P146-147）

（1）概括原則成立。

（2）分離規(guī)則成立，即有：p，p→q┝q。

（3）同一律成立，即有：p→p。

（4）對無窮多個集合可以構造它們的并集。

（5）包含一個自然數(shù)系統(tǒng)N＝{0，1，2，3…n…}。

朱梧槚指出，這五個條件不可能同時存在。若同時使用必導致悖論，但問題是，否定其中的哪一個定理都是困難的。它表明，無論人們是采用二值邏輯、有窮多值邏輯還是無窮多值邏輯，只要承認分離規(guī)則和同一律，再保留概括原則和（4）（5）兩項基本條件，而這是任何一個內涵豐富的數(shù)學系統(tǒng)都必須包含的，那么，悖論就必然能夠從中建構出來。既然哥德爾和朱梧槚等人研究的結論適合于任何一個數(shù)學系統(tǒng)，我們便可推斷，公理化方法并不能保障數(shù)學基礎的可靠性。

四、簡要的哲學反思

眾所周知，數(shù)學是經驗自然科學的工具，正是數(shù)學工具的發(fā)展才為近代科學深度揭示自然現(xiàn)象及其規(guī)律提供了可能，從一定程度上說，正是數(shù)學的發(fā)展才為經驗自然科學的發(fā)展提供了可能，因而數(shù)學根基的確定性也在一定程度上保障了經驗自然科學基礎的確定性。當羅素悖論出現(xiàn)時，希爾伯特就曾大為感慨：“數(shù)學中人人所學、所教、所應用的那些定義和演繹方法，從來都被認為是真理和確定性的典范，而現(xiàn)在卻導致了荒謬。如果連數(shù)學思維都是不可靠的話，我們將到何處去尋找真理和確定性呢？”［10］（P141）在一些人看來，公理化集合論已經能夠排除以羅素悖論為代表的素樸集合論的一系列悖論，而且在它們之中又沒有發(fā)現(xiàn)新的悖論，這就充分說明，公理化集合論完全可以承擔數(shù)學之基石的重任，數(shù)學的基礎是確定的和可靠的。然而，哥德爾定理的推廣意義已經說明：“我們使用任何數(shù)學方法都不可能借助于安全的邏輯原理證實相容性，已提出的各種方法概莫能外?！保?1］（P269）如果哥德爾定理是可信的，那么，我們就有理由懷疑，作為現(xiàn)代集合論理論基礎的NBG系統(tǒng)與ZFC

系統(tǒng)能否證明自身的相容性？長期研究哥德爾思想的華裔學者王浩也曾轉述過哥德爾類似的質疑：“我們沒有任何絕對確定的知識?！保?2］（P402）其實，很多學者都持有類似的看法，比如波蘭尼就曾經表達過這樣的觀點：我們無法避免為某個公理系統(tǒng)所肯定的，卻為另一個公理系統(tǒng)所否定的東西，不同系統(tǒng)之間的一致性無法得到保障，因為“較廣泛的體系的一致性將總是不可判定的?！保?3］（P369）

在數(shù)學發(fā)展史上，第一個引發(fā)數(shù)學基礎理論“危機”的希帕索斯悖論，其直接后果是數(shù)學家們承認了一種不同于可公度量的無理量，它的間接后果是導致古希臘歐幾里得《幾何原本》和亞里士多德《工具論》的問世，這兩大成果不僅對數(shù)學自身，而且對西方經驗自然科學的研究風格都產生了重大影響。在數(shù)學科學發(fā)展到現(xiàn)代階段的今天，我們是否應該回過頭來反思這樣的問題：以消除素樸集合論中的悖論為出發(fā)點而研制的公理系統(tǒng)，雖然力圖避免素樸集合論以“性質”造集的直覺合理性的弊端，但公理化集合論的初始公式采用的任意性，是否仍然具有直覺合理性的成分？換句話說，以數(shù)學家們“信以為真”的數(shù)學事實為依據而確定一組公理，以其為初始公式，憑借演繹邏輯規(guī)則而推導出所需的理論體系，這種公理化方法的可靠性真的是勿庸置疑的嗎？

［1］W.涅爾，M.涅爾.邏輯學的發(fā)展[M].張家龍，洪漢鼎譯.北京：商務印書館，1985.

［2］B.羅素.我的哲學的發(fā)展[M].溫錫增譯.北京：商務印書館，1982.

［3］M.克萊因.古今數(shù)學思想：第4冊[M].北京大學數(shù)學系數(shù)學史翻譯組譯.上海：上?？茖W技術出版社，1981.

［4］Hao Wang.Rrom Mathematics to Philosophy[M].New York Humanities Press,1974.

［5］張建軍.邏輯悖論研究引論[M].南京：南京大學出版社，2002.

［6］張家龍.數(shù)理邏輯發(fā)展史：從萊布尼茲到哥德爾[M].北京：社會科學文獻出版社，1993.

［7］K.G?del.On Formally Undecidable Propositions of Principia Mathematica and Related SystemsⅠ.Translated by J.van Heijenoot,in J.van Heijenoot,ed.,From Frege to G?del.Harvard University Press,1967.

［8］劉曉力.哥德爾對心——腦——計算機問題的解[J].自然辯證法研究，1999（11）.

［9］朱梧槚，肖奚安.數(shù)學基礎概論[M].南京：南京大學出版社，1996.

［10］D.Hilbert.“On the Infinite”.Philosophy of Mathematics,Selected Readings.by P.Benacerraf and H.Putnam ed,.New Jersey:Prentice-Hall,Inc.1964.

［11］M.克萊因.數(shù)學：確定性的喪失[M].李宏魁譯.長沙：湖南科學技術出版社，1997.

［12］王浩.哥德爾[M].上海：上海譯文出版社，1997.

［13］M.波蘭尼.個人知識：邁向后批判哲學[M].許澤民譯.貴陽：貴州人民出版社，2000.

Speculation on the Methodical Paradox of Axiomatic Set Theory

WANG Xi-sheng
（School of Politics and Law,Anhui Normal University,Wuhu 241003,China）

The axiomatic set theory solves the paradoxes of Cantor's naive set theory due to its generalization principle of presupposition.As no new paradox has been found within,the axiomatic set theory is regarded by the academic circle as a successful solution.However,though the nature of axiomatic is to reconstruct the set theory's deductive system which,due to its fidelity,yields to reliable knowledge,the two equivalent systems of axiomatic set theory is derived from contradictory premises.If conclusions of the both system were reliable,it would suggest that reliable knowledge may be deduced from unreliable axiomatic method,which is a questioning to the reliability of axiomatic method.

paradox;Russell's paradox;set theory;axiomatic;scientific methodology ?

O144

A

10．3969／j．issn．1674－8107．2014．01．009

1674－8107（2014）01－0052－06

（責任編輯：吳凡明）

2013－09-22

國家社科基金后期資助項目“泛悖論與科學理論創(chuàng)新機制研究”（項目編號：10FZX036）;安徽省學術和技術帶頭人后備人選科研資助項目。

王習勝（1965-），男,安徽舒城人，教授，博士生導師，博士后,主要從事悖論、辯證法、意識形態(tài)和思想分析研究。