趙雁 樂(lè)山職業(yè)技術(shù)學(xué)院

對(duì)集合論的辯證思考

趙雁 樂(lè)山職業(yè)技術(shù)學(xué)院

集合論被認(rèn)為是20世紀(jì)偉大的數(shù)學(xué)創(chuàng)造，它在近代數(shù)學(xué)中有重要的地位。從集合的一些基本常識(shí)，認(rèn)識(shí)一下初等數(shù)學(xué)“樸素集合論”的理論基礎(chǔ)是不夠嚴(yán)密的。從哲學(xué)高度來(lái)看，對(duì)集合論作歷史觀(guān)察，可以幫助我們有更多的思考。

無(wú)限集 集合論 公理化

1 無(wú)限集之謎

什么是無(wú)限集：就是含有無(wú)限個(gè)元素的集合。無(wú)限與無(wú)限集不只是數(shù)學(xué)的課題，同時(shí)也是哲學(xué)的問(wèn)題。并長(zhǎng)期困擾著哲學(xué)家與數(shù)學(xué)家。它的定義十分簡(jiǎn)單、明確。但對(duì)“無(wú)限”的認(rèn)識(shí)哲學(xué)家走在數(shù)學(xué)家的前面。古希臘哲學(xué)家亞里斯多德對(duì)“無(wú)限”早有許多論述。他說(shuō)：“一個(gè)量具有無(wú)限可分性”，“時(shí)間也是無(wú)限的”…。而無(wú)限集是否能作為一個(gè)固定的、實(shí)在的整體而存在，還無(wú)法肯定。

任意兩條不相等線(xiàn)段的點(diǎn)都可以構(gòu)成一一對(duì)應(yīng)，只要把一條線(xiàn)段簡(jiǎn)單地投射到另一條線(xiàn)段上即能實(shí)現(xiàn)。這兩條線(xiàn)段應(yīng)含有同樣多的點(diǎn)，然而一條線(xiàn)段確實(shí)比另一條線(xiàn)段長(zhǎng)，從而看起來(lái)比另一線(xiàn)段要有更多的點(diǎn)。它是十七世紀(jì)的科學(xué)家伽里略在他的《兩門(mén)新學(xué)科》書(shū)中指出的。同時(shí)他還指出，正整數(shù)的集合可以同其平方數(shù)的集合成一一對(duì)應(yīng)兩者的元素應(yīng)該一樣多。但是后者明顯是前者的一部分，“部分應(yīng)該小于整體”。要避免這種怪事產(chǎn)生，就不應(yīng)該把無(wú)限集作為真實(shí)的存在。

時(shí)間一直到十九世紀(jì)，多位大數(shù)學(xué)家站出來(lái)反對(duì)，數(shù)學(xué)家高斯認(rèn)為：“反對(duì)把無(wú)限量作為實(shí)體，因?yàn)樵跀?shù)學(xué)中是從來(lái)不允許的。無(wú)限只不過(guò)是用來(lái)講極限的一種說(shuō)話(huà)方式”。與高斯同時(shí)代的數(shù)學(xué)家柯西，也不承認(rèn)無(wú)限集的存在。他認(rèn)為部分同整體構(gòu)成一一對(duì)應(yīng)是自相矛盾的事。

哲學(xué)家波爾查諾在他的《無(wú)窮的悖論》一書(shū)中強(qiáng)調(diào)：“一個(gè)無(wú)限集可以同自身的真子集構(gòu)成一一對(duì)應(yīng)”。但同時(shí)他也無(wú)法解釋這樣的事實(shí)，就是“整體大于部分”這一公理間的矛盾。他是第一個(gè)站出來(lái)維護(hù)無(wú)限集是真實(shí)存在的人。自然沒(méi)有堅(jiān)持到底，也未能揭開(kāi)無(wú)限之謎。

2 集合論創(chuàng)立

集合論是關(guān)于無(wú)限與無(wú)限集的數(shù)學(xué)理論。首先打開(kāi)“無(wú)限王國(guó)”大門(mén)的人是哲人科學(xué)家——喬治．康托爾。1846年3月3日，喬治．康托爾生于俄國(guó)的一個(gè)丹麥—猶太血統(tǒng)的家庭。他于1895年和1897年先后發(fā)表了《集合論》、《集合論基礎(chǔ)》等兩篇著名的論文。他用集合作為基本概念，并引進(jìn)了它們的符號(hào)；規(guī)定了它們的加法、乘法和乘方等。從而開(kāi)創(chuàng)了嶄新的數(shù)學(xué)領(lǐng)域——集合論。

康托爾揭示了無(wú)限集與有限集的本質(zhì)區(qū)別：無(wú)限集可以與自身的真子集成一一對(duì)應(yīng)，而有限集則不行。進(jìn)而給出了無(wú)限集的定義：“如果一集合能與自身的真子集成一一對(duì)應(yīng)，這集合就叫做無(wú)限集，否則就叫有限集。他認(rèn)為歐幾里德所提出的公理“整體大于部分”并非絕對(duì)真理，它只適用于有限集；對(duì)于無(wú)限集而言“部分可以等于整體”。

康托爾用一一對(duì)應(yīng)的方法將無(wú)限集進(jìn)行分類(lèi)，并且考察無(wú)限集中元素的“個(gè)數(shù)”。在康托爾的研究工作之前，人們對(duì)各種無(wú)限集是不加區(qū)分的，把各種無(wú)限集都說(shuō)成：“含有無(wú)限多個(gè)元素”。

康托爾的集合論最終被人們譽(yù)為是人類(lèi)思想史上一個(gè)重要里程碑。在1900年，著名哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家彭加勒在國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)上宣布：“由于有了集合論，數(shù)學(xué)的嚴(yán)格性已經(jīng)達(dá)到了”。不過(guò)，康托爾的集合論并未達(dá)到無(wú)懈可擊，康托爾自己及與他同時(shí)代的一些哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家們已發(fā)現(xiàn)在康托爾的集合論中有互相矛盾的命題——集合論悖論，當(dāng)時(shí)影響最大的是英國(guó)哲學(xué)家羅素發(fā)現(xiàn)的悖論。

羅素注意到，按照康托爾的集合論，集合可分為兩類(lèi)：一類(lèi)是“不屬于自身的集”，另一類(lèi)是“屬于自身的集”。他注意那些“不屬于自身的集”，把它們集中起來(lái)構(gòu)成一個(gè)新集合S。即S={A|A∈A}。

S是所有那些“不屬于自身的集”的全體組成之集。并進(jìn)一步考察：集合S是否屬于自身？

如果S∈S．則由S的定義，得知S不屬于自身，亦即S∈S，矛盾；但是，如果S∈S。則由于S不屬于自身，由S的定義可知S屬于S，亦即S∈S。又矛盾。

因此，矛盾不可避免，集合論中含有悖論，表明康托爾的理論還未達(dá)到完美的程度。

3 集合論的發(fā)展

追究矛盾的起因，人們發(fā)現(xiàn)各種集合論悖論都涉及到一些共同的概念：“所有”或“全體”；矛盾的焦點(diǎn)都集中在一些大而全的集合上。羅素說(shuō)，“要定義的對(duì)象是用包含著這對(duì)象自身在內(nèi)的一類(lèi)對(duì)象來(lái)定義的”。犯有惡性循環(huán)的錯(cuò)誤。為此，康托爾自己也提出，要想排除集合論中的悖論，就要排除大而全的集合，但他自己未能找到令人滿(mǎn)意的方案。那么，那些大而全的集合算不算集合呢？必須依據(jù)康托爾的集合定義判斷?？低袪栒f(shuō)：“我們的直覺(jué)或者我們思考的確定的不同的對(duì)象的全體叫做集合”。他用描述元素性質(zhì)的辦法定義集合?？低袪柕募细拍罴捌浠具\(yùn)算原則都是建立在人們直覺(jué)的基礎(chǔ)上，其基本思想是極為樸素的，因此人們把康托爾的集合論稱(chēng)為樸素的集合論。

只憑直覺(jué)的認(rèn)識(shí)往往是有局限性的，這決定了樸素集合論中會(huì)藏有隱患，根據(jù)康托爾的概括原則必須承認(rèn)那些大而全的集合是集合?？梢?jiàn)，問(wèn)題的癥結(jié)在于概括原則。人們發(fā)現(xiàn)，利用康托爾的概括原則造集，條件太寬松，所得到的集合太廣泛。為了消除集合論的悖論，就必須對(duì)康托爾造集的辦法加以改造。一方面要保留樸素集合論中一切有價(jià)值的東西，同時(shí)又要對(duì)集合加以限制，以便排除某些不適當(dāng)?shù)摹凹稀薄?/p>

為此，德國(guó)數(shù)學(xué)家蔡梅羅首先提出了集合論的公理化方案：他把集合論改造為一個(gè)完全抽象的公理化理論。不把集合簡(jiǎn)單看成一些“集團(tuán)”、“全體”、“總體”，而是滿(mǎn)足諸公理?xiàng)l件的對(duì)象。在滿(mǎn)足這些公理之后，一些不適當(dāng)?shù)摹凹稀?，特別是那些大而全的集合就不能作為集合?，F(xiàn)在數(shù)學(xué)里排除“A∈A”這種寫(xiě)法，就是滲透了公理化集合論的思想。

眾所周知，對(duì)于任何公理系統(tǒng)都應(yīng)證明無(wú)矛盾性。“只要世界上還存在著數(shù)學(xué)家，創(chuàng)新就不會(huì)停止”。正所謂：“為了防備狼，羊群已用籬笆墻圈起來(lái)了，可是，卻不知道墻內(nèi)是不是早已藏有狼？”，因此，集合論悖論至今還是哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家們關(guān)心的問(wèn)題。

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