王小特

（陜西能源職業(yè)技術(shù)學(xué)院，咸陽 712000）

單調(diào)類定理的一個(gè)集合論證明

王小特

（陜西能源職業(yè)技術(shù)學(xué)院，咸陽 712000）

本文利用集合論中的序數(shù)理論和超限歸納法，給出概率測(cè)度論中一個(gè)集族生成的最小σ代數(shù)，最小λ類和最小單調(diào)類的具體形式，并給出單調(diào)類定理一個(gè)直接的證明.

單調(diào)類定理；集合論；最小σ代數(shù)；最小λ類；最小單調(diào)類

1 引言與預(yù)備

我們首先介紹概率測(cè)度論中的一些概念.

定義1.1［1］設(shè)Ω為一個(gè)集合，C為Ω的一個(gè)子集族.

①Ω∈C； ②A，B∈C，B?A得A－B?C； ③An∈C，n≥1，An↑A得A∈C.

由C生成的σ代數(shù)，λ類和單調(diào)類分別用σ（C），λ（C），m（C）表示.顯然σ（C）?λ（C）?m（C）.概率測(cè)度論中單調(diào)類定理是一個(gè)重要的證明工具，集合形式的單調(diào)類定理主要研究在什么情況σ（C）＝m（C）或σ（C）＝λ（C）.

定理1.1［1］設(shè)C為一個(gè)集合.

（i）若C為代數(shù)，則m（C）＝σ（C）；

（ii）若C為π類，則λ（C）＝σ（C）.

單調(diào)類定理的證明一般采用的是構(gòu)造性的證明［1］，而不采用直接的證明，直接證明的困難在于不知道集族C是如何生成最小單調(diào)類m（C），最小λ類λ（C）和最小σ代數(shù)σ（C），利用集合論中的序數(shù)理論和超限歸納法，我們可以給出σ（C），λ（C），m（C）的具體構(gòu)造，從而給出單調(diào)類定理一個(gè)直接的證明.有關(guān)集合論的知識(shí)可參見［2］.

2 主要結(jié)果

設(shè)Ω為一個(gè)集合，C為Ω的一個(gè)子集族，下面我們利用超限歸納定義的方法構(gòu)造C生成的最小單調(diào)類m（C），最小λ類λ（C）和最小σ代數(shù)σ（C）.

設(shè)第一個(gè)不可數(shù)序數(shù)為ω0.對(duì)任意的序數(shù)α＜ω0，假設(shè)對(duì)任意的序數(shù)β＜α，Mβ，Λβ，Σβ已經(jīng)定義好了，下面我們定義Mα，Λα，Σα.

若α為后繼序數(shù)，設(shè)α＝β＋1，令

若α為極限序數(shù)，則令

這樣對(duì)任意的序數(shù)α＜ω0，Mα，Λα，Σα都已經(jīng)定義好了.

命題2.1m（C）＝M，λ（C）＝Λ，σ（C）＝∑.

然后我們證明M是C生成的最小的單調(diào)類.設(shè)N為一個(gè)單調(diào)類且N?C，我們證明M?N.利用超限歸納法.

對(duì)任意的序數(shù)α＜ω0，我們證明Mα?N.顯然，M0?N.假設(shè)對(duì)任意的β＜α，Mβ?N.若α為后繼序數(shù)，設(shè)α＝β＋1，由Mα的構(gòu)造以及N是單調(diào)類有，Mα?N.若α為極限序數(shù)，則Mα＝∪β＜αMβ?N.這樣對(duì)任意的序數(shù)α＜ω0，我們證明了Mα?N，從而M?N，即M是C生成的最小的單調(diào)類.

下面給出單調(diào)類定理一個(gè)直接的證明，我們只證明其中一個(gè)結(jié)論.

定理2.1設(shè)C為代數(shù)，則m（C）＝σ（C）.

上述證明不需要多么“高明”的技巧，想法是自然的，證明也很直觀，這種方法也可以應(yīng)用到其他形式的單調(diào)類定理的證明中.

［1］嚴(yán)加安.測(cè)度論講義［M］.北京：科學(xué)出版社，2004.

［2］張錦文.公理集合論導(dǎo)引［M］.北京：科學(xué)出版社，1991

A Direct roof for the Theory of Monetone Class by the Set heory

WangXiao－te
（Shaanxi Energy Institute，Xianyang 712000，China）

In terms of order number and transfinite induction in set theory，the smallestσalgebra，monetone class andλclass which are genereted by one family of subsets are discussed.Further，a direct proof of the theory of monetone class is given.

theory of monetone class；set theory；smallsetσalgebra；smallestλclass；smallest monetone class

O189.1；O153.1

A

1672－1454（2012）04－0095－03

2010－03－12