潘全如

（江蘇科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院，鎮(zhèn)江 212003）

輸入率可變且有差錯服務(wù)的M／M／1排隊系統(tǒng)的研究與應(yīng)用

潘全如

（江蘇科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院，鎮(zhèn)江 212003）

在到達(dá)系統(tǒng)的顧客數(shù)不變的情況下，顧客到達(dá)系統(tǒng)但是否進(jìn)入系統(tǒng)接受服務(wù)對銷售行業(yè)影響是巨大的.從排隊長度對顧客輸入率的影響著手，研究了顧客以泊松流到達(dá)系統(tǒng)，而到達(dá)系統(tǒng)的顧客進(jìn)入系統(tǒng)接受服務(wù)的概率與隊長有關(guān)的M／M／1排隊模型，且系統(tǒng)服務(wù)會出差錯.得出了進(jìn)入系統(tǒng)的顧客流是泊松過程，且系統(tǒng)中的顧客數(shù)是生滅過程，并獲得了該模型的平穩(wěn)分布、顧客的平均輸入率、系統(tǒng)的平均服務(wù)強(qiáng)度等多項指標(biāo)，為銷售行業(yè)調(diào)整自己的服務(wù)速度以影響排隊長度及顧客輸入率，進(jìn)而提高自己的銷售業(yè)績提供了很有價值的參考.

可變輸入率；M／M／1；生滅過程；平穩(wěn)分布

1 引 言

在顧客到達(dá)系統(tǒng)尋求服務(wù)時，常因商品質(zhì)量、服務(wù)態(tài)度、排隊等候服務(wù)的隊列長短等因素的影響而決定是否要進(jìn)入系統(tǒng).就隊列長度而言，若隊列較短，則顧客加入隊列進(jìn)入系統(tǒng)的可能性就大，反之則小.而進(jìn)入系統(tǒng)接受服務(wù)的顧客數(shù)量對銷售行業(yè)的銷售業(yè)績影響是巨大的，從而會進(jìn)一步影響到利潤.因此，輸入率的研究對于銷售業(yè)就顯得尤為重要［1-7］.

2 模型假設(shè)

（i）顧客到達(dá)系統(tǒng)的時間間隔服從參數(shù)為λ的指數(shù)分布；

（iii）系統(tǒng)中只有一個服務(wù)窗口，但容量為＋∞；

（iv）系統(tǒng)對每個顧客的服務(wù)時間T服從參數(shù)為μ的指數(shù)分布；

（v）系統(tǒng)每次服務(wù)的平均正確率為p；

（vi）顧客到達(dá)時間與服務(wù)過程相互獨立.

3 數(shù)學(xué)模型

定理2 系統(tǒng)中的顧客數(shù)｛N（t），t≥0｝是齊次馬氏鏈.

這是因為到達(dá)時間間隔與服務(wù)時間均服從指數(shù)分布，有指數(shù)分布的無記憶性知：過程經(jīng)過一段時間后，剩余到達(dá)時間及剩余服務(wù)時間的分布與原有分布相同.因此在任何時間內(nèi)狀態(tài)的轉(zhuǎn)移概率與時間起點無關(guān)，僅與時間長度有關(guān)，所以該過程為齊次馬氏鏈.

定理3 時刻t（t≥0）系統(tǒng)中顧客數(shù)（包括正在被服務(wù)的）｛N（t），t≥0｝是狀態(tài)空間E＝｛0，1，2…｝上的生滅過程，其參數(shù)為

4 平穩(wěn)分布

證｛N（t），t≥0｝的狀態(tài)轉(zhuǎn)移如圖1所示.

圖1 狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖

由狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖可得出K氏方程［8］：

對0狀態(tài)，有λp0＝μpp1，得

5 系統(tǒng)的幾個重要指標(biāo)

6 應(yīng) 用

對于銷售性企業(yè)或零售商店，可以統(tǒng)計出顧客平均到達(dá)率λ，進(jìn)入系統(tǒng)的概率αk，服務(wù)正確率p，服務(wù)速率μ，把他們代入到上述模型中去，不難算出平均隊長、系統(tǒng)的損失概率等指標(biāo)，這里不再贅述.需要說明的是，企業(yè)或零售商店是否有重視進(jìn)入系統(tǒng)的概率αk、是否意識到αk與商品質(zhì)量、數(shù)量、服務(wù)態(tài)度等因素有關(guān)且這些因素是可以人為調(diào)整的，尤其是直接影響排隊長度（除非是緊缺商品，否則排隊長度對αk影響很大）的服務(wù)速度.對于不同的服務(wù)速度對應(yīng)著不同的隊長及不同的αk，從而有著不同的利潤收益.在本文中，僅以隊長對αk的影響作了探討.本文可以進(jìn)一步探討的問題有如何調(diào)整服務(wù)速度以保證獲得較高的αk；如果增加服務(wù)人員，那么因新增加的服務(wù)人員帶來的收益與支出誰大誰小，如果需要增加服務(wù)員，增加多少個服務(wù)員才是最佳的等等.

［1］ 劉宇民李曉芬，等.具有可變輸入率的M／M／n模型的常微分方程形式［J］.Journal of Tai Yuan University of Science and Technology，2006，27（6）：438-440.

［2］ 臺文志.具有可變輸入率的M／M／1排隊模型的一個注解［J］.西南民族大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版），2009，35（3）：485-488.

［3］ 譚暢.具有可變輸入率的M／M／1排隊系統(tǒng)的研究［J］.貴州大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版），2008，25（5）：445-448.

［4］ 劉宇民.可變輸入率的M／M／1模型主算子的譜性質(zhì)［J］.太原師范大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版），2008，7（3）：23-25.

［5］ 臺文志.一類具有可變輸入率的M／M／1排隊模型［J］.重慶師范大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版），2009，26（1）：69-72.

［6］ 陸傳赍.排隊論［M］.北京：北京郵電大學(xué)出版社，1994..

［7］ 孟玉珂.排隊論基礎(chǔ)及應(yīng)用［M］.上海：同濟(jì)大學(xué)出版社，1989..

［8］ 唐應(yīng)輝，唐小我.排隊論［M］.北京：科學(xué)出版社2006..

The Rsearch and Aplication of M／M／1 Queuing Model with Variable Input Rates

PAN Quan-ru
（School of Mathematics and Physics，Jiangsu University of Science and Technology，Zhenjiang 212003，China）

The customers do not necessarily get into the system though arriving at the system in the case of the number of customers is fixed，which influences sales enormous.This paper researches the influence of queue length to input rate，and sets up a kind of M／M／1 queuing model as such：the customers reach system at Poisson flow.But they do not necessarily get into the system though arriving at the system.While the probability they getting into the system is connected with the queue length，and the system works wrongly some time.This paper draws aconclusion that the number of customers who getting into the system is a Poisson flow，and the number of customers in the system is abirthand-death process，also draws that the stationary distribution of this model、the average customer arrival rate、the average intensity of the system and so on，which provides a valuable reference for the retail industry to adjust their service speeds in order to influence the rate of queue length and customer input，and thus improve their sales performance.

variable input rate；M／M／1；birth-and-death process；stationary distribution

O226

A

1672-1454（2012）04-0102-05

2010-03-18；

2010-06-24

江蘇省高校自然科學(xué)基金資助項目（10KJB110003）；江蘇科技大學(xué)青年基金項目（2009SL154J）