李國(guó)安

(寧波大學(xué)理學(xué)院，浙江寧波315211)

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指數(shù)分布抽樣基本定理及在指數(shù)分布參數(shù)統(tǒng)計(jì)推斷中的應(yīng)用

李國(guó)安

(寧波大學(xué)理學(xué)院，浙江寧波315211)

發(fā)現(xiàn)指數(shù)分布抽樣基本定理，應(yīng)用到指數(shù)分布參數(shù)的統(tǒng)計(jì)推斷中，得到了指數(shù)分布參數(shù)的一致最小方差無(wú)偏估計(jì)；并且得到了單總體指數(shù)分布參數(shù)的置信區(qū)間及聯(lián)合置信區(qū)間，以及雙總體指數(shù)分布參數(shù)比值及差的置信區(qū)間.

指數(shù)分布抽樣基本定理； 統(tǒng)計(jì)推斷； 一致最小方差無(wú)偏估計(jì)； 置信區(qū)間； 聯(lián)合置信區(qū)間

1 引 言

正態(tài)分布抽樣基本定理在一般的數(shù)理統(tǒng)計(jì)教材[1，2]中都會(huì)提到，但在這二本教材中，并沒(méi)有出現(xiàn)指數(shù)分布抽樣基本定理，那么只有二種情況，一種是指數(shù)分布抽樣基本定理的相關(guān)結(jié)果已有，參見文獻(xiàn)[3]中相關(guān)內(nèi)容，但是沒(méi)有以指數(shù)分布抽樣基本定理的形式寫出來(lái)；另一種，是用到了指數(shù)分布抽樣基本定理的相關(guān)結(jié)果，但沒(méi)有足夠重視到這是指數(shù)分布抽樣基本定理[3]，作者認(rèn)為：首先指數(shù)分布抽樣基本定理一直未出，其可能的原因在于，通常講的指數(shù)分布，指稱單參數(shù)指數(shù)分布，本文作者在研究二元帕累托分布參數(shù)的一致最小方差無(wú)偏估計(jì)問(wèn)題中，發(fā)現(xiàn)了所謂的指數(shù)分布抽樣基本定理，它是針對(duì)二參數(shù)的指數(shù)分布；其次，平行于正態(tài)分布是概率統(tǒng)計(jì)分布中最重要的分布，指數(shù)分布是精算生存分布中最重要的分布；最后，若是數(shù)理統(tǒng)計(jì)教材[1，2]中關(guān)于順序統(tǒng)計(jì)量的分布，一直未把指數(shù)分布抽樣基本定理當(dāng)作例子，會(huì)讓讀者認(rèn)為不存在指數(shù)分布抽樣基本定理，為此，作者特作此文，期望能把指數(shù)分布抽樣基本定理的相關(guān)內(nèi)容寫進(jìn)教材.

2 指數(shù)分布抽樣基本定理

指數(shù)分布總體的順序統(tǒng)計(jì)量(X(1),…,X(n))的聯(lián)合分布如下

定義1 設(shè)X～E(λ)，X1,…,Xn是來(lái)自X～E(λ)的容量為n的樣本，(X(1),…,X(n))有如下的密度函數(shù)

則稱(X(1),…,X(n))服從多元順序統(tǒng)計(jì)量型指數(shù)分布，記作(X(1),…,X(n))～NVED(λ).

(i)2nλX(1)～χ2(2);

證 由

P(X(1)>x(1))=P(X1>x(1),…,Xn>x(1))=exp[-nλx(1)],

所以g(x(1))=nλe-nλx(1),x(1)>0，即2nλX(1)～χ2(2)；

記U(i-1)=X(i)-X(1),i=2,…,n.V=X(1)，u(i-1)=x(i)-x(1),v=x(1)，得x(i)=u(i-1)+v,i=2,…,n.x(1)=v，則(U(1),…,U(n-1),V)的聯(lián)合分布密度為

所以(U(1),U(2),…,U(n-1))是來(lái)自總體U～E(λ)的容量為n-1的樣本(U1,U2,…,Un-1)的順序統(tǒng)計(jì)量，(U1,U2…,Un-1)與X(1)相互獨(dú)立.所以

3 指數(shù)分布參數(shù)的一致最小方差無(wú)偏估計(jì)

定義2 設(shè)X～E(λ,μ)，是指X有如下的密度函數(shù)

定理2 Xj,j=1,…,n是來(lái)自總體X～E(λ,μ)的容量為n的一個(gè)樣本，則參數(shù)λ，μ的最大似然估計(jì)分別為

證 由

μ的最大似然估計(jì)為

令

得λ的最大似然估計(jì)為

定理3 Xj,j=1,…,n，是來(lái)自總體X～E(λ,μ)的容量為n的一個(gè)樣本，則參數(shù)λ，μ的一致最小方差無(wú)偏估計(jì)分別為

證 由指數(shù)分布抽樣基本定理得

所以

4 指數(shù)分布參數(shù)的置信區(qū)間

定理4 Xj,j=1,…,n是來(lái)自總體X～E(λ,μ)的容量為n的一個(gè)樣本，則參數(shù)λ，μ的置信度為(1-α)%的置信區(qū)間分別為

λ,μ的置信度為(1-α)%的聯(lián)合置信區(qū)間為

證 由指數(shù)分布抽樣基本定理

得

λ的置信度為(1-α)%的置信區(qū)間為

由

=1-α.

μ的置信度為(1-α)%的置信區(qū)間為

由

λ,μ的置信度為(1-α)%的聯(lián)合置信區(qū)間為

當(dāng)λ1=λ2=λ，n=m時(shí)，μ1-μ2的置信度為(1-α)%的置信區(qū)間為

證 由指數(shù)分布抽樣基本定理

得

=1-α,

當(dāng)λ1=λ2=λ，n=m時(shí)，由

都相互獨(dú)立，則

μ1-μ2的置信度為(1-α)%的置信區(qū)間為

與λ,μ無(wú)關(guān)，得充分性；

對(duì)μ求導(dǎo)得

附錄2 模擬分析：取λ=2，μ=3，α=0.05，得表1；取λ1=3，λ2=2，μ1=2，

μ2=5，α=0.05，得表2；取λ1=1，λ2=1，μ1=5，μ2=2，α=0.05，得表3.

表1 定理2、定理3、定理4的模擬結(jié)果

表2 定理5的模擬結(jié)果(n≠m)

表3 定理5的模擬結(jié)果(n=m)

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Sampling Fundamental Theorem for Exponential Distribution with Application to Parametric Inference of Exponential Distribution

LIGuo-an

(Department of Mathematics, Ningbo University, Ningbo, Zhejiang 315211, China)

This article discovers the sampling fundamental theorem for exponential distribution, and applies it into parametric inference of the two-parameter exponential distribution, uniformly minimum-variance unbiased estimator (UMVUE) of parameters of the exponential distribution are derived;and confidence intervals and joint confidence region of parameters for one population are obtained; also confidence intervals of ratio and minus of parameters for two population are obtained.

sampling fundamental theorem for exponential distribution； parametric inference； uniformly minimum variance unbiased estimator； confidence intervals； joint confidence region

2016-04-08； [修改日期]2016-05-31

寧波大學(xué)學(xué)科項(xiàng)目(XKL14D2037)

李國(guó)安(1964-)，男，碩士，副教授，從事概率統(tǒng)計(jì)與土地估價(jià)研究.Email：liguoan@nbu.edu.cn

O212.1

A

1672-1454(2016)05-0030-07