李國安

(寧波大學理學院，浙江寧波315211)

?

指數(shù)分布抽樣基本定理及在指數(shù)分布參數(shù)統(tǒng)計推斷中的應用

李國安

(寧波大學理學院，浙江寧波315211)

發(fā)現(xiàn)指數(shù)分布抽樣基本定理，應用到指數(shù)分布參數(shù)的統(tǒng)計推斷中，得到了指數(shù)分布參數(shù)的一致最小方差無偏估計；并且得到了單總體指數(shù)分布參數(shù)的置信區(qū)間及聯(lián)合置信區(qū)間，以及雙總體指數(shù)分布參數(shù)比值及差的置信區(qū)間.

指數(shù)分布抽樣基本定理； 統(tǒng)計推斷； 一致最小方差無偏估計； 置信區(qū)間； 聯(lián)合置信區(qū)間

1 引 言

正態(tài)分布抽樣基本定理在一般的數(shù)理統(tǒng)計教材[1，2]中都會提到，但在這二本教材中，并沒有出現(xiàn)指數(shù)分布抽樣基本定理，那么只有二種情況，一種是指數(shù)分布抽樣基本定理的相關結(jié)果已有，參見文獻[3]中相關內(nèi)容，但是沒有以指數(shù)分布抽樣基本定理的形式寫出來；另一種，是用到了指數(shù)分布抽樣基本定理的相關結(jié)果，但沒有足夠重視到這是指數(shù)分布抽樣基本定理[3]，作者認為：首先指數(shù)分布抽樣基本定理一直未出，其可能的原因在于，通常講的指數(shù)分布，指稱單參數(shù)指數(shù)分布，本文作者在研究二元帕累托分布參數(shù)的一致最小方差無偏估計問題中，發(fā)現(xiàn)了所謂的指數(shù)分布抽樣基本定理，它是針對二參數(shù)的指數(shù)分布；其次，平行于正態(tài)分布是概率統(tǒng)計分布中最重要的分布，指數(shù)分布是精算生存分布中最重要的分布；最后，若是數(shù)理統(tǒng)計教材[1，2]中關于順序統(tǒng)計量的分布，一直未把指數(shù)分布抽樣基本定理當作例子，會讓讀者認為不存在指數(shù)分布抽樣基本定理，為此，作者特作此文，期望能把指數(shù)分布抽樣基本定理的相關內(nèi)容寫進教材.

2 指數(shù)分布抽樣基本定理

指數(shù)分布總體的順序統(tǒng)計量(X(1),…,X(n))的聯(lián)合分布如下

定義1 設X～E(λ)，X1,…,Xn是來自X～E(λ)的容量為n的樣本，(X(1),…,X(n))有如下的密度函數(shù)

則稱(X(1),…,X(n))服從多元順序統(tǒng)計量型指數(shù)分布，記作(X(1),…,X(n))～NVED(λ).

(i)2nλX(1)～χ2(2);

證 由

P(X(1)>x(1))=P(X1>x(1),…,Xn>x(1))=exp[-nλx(1)],

所以g(x(1))=nλe-nλx(1),x(1)>0，即2nλX(1)～χ2(2)；

記U(i-1)=X(i)-X(1),i=2,…,n.V=X(1)，u(i-1)=x(i)-x(1),v=x(1)，得x(i)=u(i-1)+v,i=2,…,n.x(1)=v，則(U(1),…,U(n-1),V)的聯(lián)合分布密度為

所以(U(1),U(2),…,U(n-1))是來自總體U～E(λ)的容量為n-1的樣本(U1,U2,…,Un-1)的順序統(tǒng)計量，(U1,U2…,Un-1)與X(1)相互獨立.所以

3 指數(shù)分布參數(shù)的一致最小方差無偏估計

定義2 設X～E(λ,μ)，是指X有如下的密度函數(shù)

定理2 Xj,j=1,…,n是來自總體X～E(λ,μ)的容量為n的一個樣本，則參數(shù)λ，μ的最大似然估計分別為

證 由

μ的最大似然估計為

令

得λ的最大似然估計為

定理3 Xj,j=1,…,n，是來自總體X～E(λ,μ)的容量為n的一個樣本，則參數(shù)λ，μ的一致最小方差無偏估計分別為

證 由指數(shù)分布抽樣基本定理得

所以

4 指數(shù)分布參數(shù)的置信區(qū)間

定理4 Xj,j=1,…,n是來自總體X～E(λ,μ)的容量為n的一個樣本，則參數(shù)λ，μ的置信度為(1-α)%的置信區(qū)間分別為

λ,μ的置信度為(1-α)%的聯(lián)合置信區(qū)間為

證 由指數(shù)分布抽樣基本定理

得

λ的置信度為(1-α)%的置信區(qū)間為

由

=1-α.

μ的置信度為(1-α)%的置信區(qū)間為

由

λ,μ的置信度為(1-α)%的聯(lián)合置信區(qū)間為

當λ1=λ2=λ，n=m時，μ1-μ2的置信度為(1-α)%的置信區(qū)間為

證 由指數(shù)分布抽樣基本定理

得

=1-α,

當λ1=λ2=λ，n=m時，由

都相互獨立，則

μ1-μ2的置信度為(1-α)%的置信區(qū)間為

與λ,μ無關，得充分性；

對μ求導得

附錄2 模擬分析：取λ=2，μ=3，α=0.05，得表1；取λ1=3，λ2=2，μ1=2，

μ2=5，α=0.05，得表2；取λ1=1，λ2=1，μ1=5，μ2=2，α=0.05，得表3.

表1 定理2、定理3、定理4的模擬結(jié)果

表2 定理5的模擬結(jié)果(n≠m)

表3 定理5的模擬結(jié)果(n=m)

[1] 鄭明，陳子毅，汪嘉岡.數(shù)理統(tǒng)計講義[M].上海：復旦大學出版社，2012.

[2] 陳家鼎，孫山澤，李東風，劉力平.數(shù)理統(tǒng)計學講義[M].北京：高等教育出版社，2015.

[3] Li Juan，Song Weixing，Shi Jianhong.Parametric bootstrap simultaneous confidence intervals for differences of means from several two-parameter exponential distributions[J].Statistics and Probability Letters ，2015，106：39-45.

[4] Sun Xiaoqian，Zhou Xian，Wang Jinglong.Confidence intervals for the scale parameter of exponential distribution based on Type II doubly censored samples[J].Journal of Statistical Planning and Inference，2008，138：2045-2058.

[5] Hajebi M，Rezaei S，Nadarajah S.Confidence intervals for P(Y < X) for the generalized exponential distribution [J].Statistical Methodology，2012，9：445-455.

[6] Wang Liang，Shi Yimin.Reliability analysis of a class of exponential distribution under record values[J].Journal of Computational and Applied Mathematics，2013，239：367-379.

[7] Balakrishnan N，Xie Q H.Exact inference for a simple step-stress model with Type-II hybrid censored data from the exponential distribution[J].Journal of Statistical Planning and Inference，2007，137：2543-2563.

[8] Balakrishnan N，Xie Q H.Exact inference for a simple step-stress model with Type-I hybrid censored data from the exponential distribution[J].Journal of Statistical Planning and Inference，2007，137：3268-3290.

[9] Ganguly A ，Mitra S，Samanta D，Kundu D.Exact inference for the two-parameter exponential distribution under Type-II hybrid censoring[J].Journal of Statistical Planning and Inference，2012, 142：613-625.

[10] Cramer E，Balakrishnan N.On some exact distributional results based on Type-I progressively hybrid censored data from exponential distributions [J].Statistical Methodology，2013，10：128-150.

[11] 李國安.二元Freund型指數(shù)分布的特征及參數(shù)估計[J].大學數(shù)學，2012，27(5):48-51.

[12] 李衛(wèi)華，李國安，王偉，李茂華.二元一般指數(shù)分布的識別性及其參數(shù)估計[J].大學數(shù)學，2016，32(2):81-85.

[13] Gorny J，Cramer E.Exact likelihood inference for exponential distributions under generalized progressive hybrid censoring schemes [J].Statistical Methodology，2016，29：70-94.

Sampling Fundamental Theorem for Exponential Distribution with Application to Parametric Inference of Exponential Distribution

LIGuo-an

(Department of Mathematics, Ningbo University, Ningbo, Zhejiang 315211, China)

This article discovers the sampling fundamental theorem for exponential distribution, and applies it into parametric inference of the two-parameter exponential distribution, uniformly minimum-variance unbiased estimator (UMVUE) of parameters of the exponential distribution are derived;and confidence intervals and joint confidence region of parameters for one population are obtained; also confidence intervals of ratio and minus of parameters for two population are obtained.

sampling fundamental theorem for exponential distribution； parametric inference； uniformly minimum variance unbiased estimator； confidence intervals； joint confidence region

2016-04-08； [修改日期]2016-05-31

寧波大學學科項目(XKL14D2037)

李國安(1964-)，男，碩士，副教授，從事概率統(tǒng)計與土地估價研究.Email：liguoan@nbu.edu.cn

O212.1

A

1672-1454(2016)05-0030-07