劉國祥

（赤峰學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，內(nèi)蒙古 赤峰 024000）

指數(shù)分布與其它分布的關(guān)系

劉國祥

（赤峰學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，內(nèi)蒙古 赤峰 024000）

從指數(shù)分布的特征出發(fā)，通過了討論討論指數(shù)分布與其它分布的關(guān)系，從而體現(xiàn)了指數(shù)分布在概率統(tǒng)計中的作用.

概率統(tǒng)計；指數(shù)分布；正態(tài)分布；均勻分布；幾何分布

正態(tài)分布、均勻分布、指數(shù)分布是最常用的三個連續(xù)型分布.由于正態(tài)分布和均勻分布具有明顯的集合直觀，常見并且易于理解的現(xiàn)實模型，因此在教材[1，2]和文獻中對于它們的討論都比較詳細.而關(guān)于指數(shù)分布的討論相對就比較少[3，4]，沒有引起人們的足夠認識.

下面從指數(shù)分布的特征出發(fā)，分幾個方面通過了討論討論指數(shù)分布與其它分布的關(guān)系，從而體現(xiàn)了指數(shù)分布在概率統(tǒng)計中的作用.

1 指數(shù)分布及其特征

連續(xù)型隨機變量X的分布密度函數(shù)

其中λ>0，稱隨機變量X服從參數(shù)為λ的指數(shù)分布.

指數(shù)分布的分布函數(shù)為

指數(shù)分布的數(shù)學(xué)期望和方差分別是

指數(shù)分布的最大特征就是無記憶性：

文獻[1]指出，指數(shù)分布是唯一具有無記憶性的連續(xù)型分布.

2 指數(shù)分布與幾何分布的關(guān)系

如果隨機變量X服從參數(shù)為P的幾何分布，則它的概率分布律是：

由于對于任意的正自然數(shù) 有

因此幾何分布具有無記憶性的離散型分布.并且，幾何分布是唯一具有無記憶性的離散型分布[1].

幾何分布的數(shù)學(xué)期望：

它的數(shù)學(xué)期望與指數(shù)分布具有相同的參數(shù)的倒數(shù)形式.

為什么幾何分布與指數(shù)分布有如此多的相同形式呢？服從指數(shù)分布的隨機變量表示的是某些“易碎品”的“壽命”，如電子元件、玻璃制品等.雖然它們的“壽命”與多種因素有關(guān)，但是有一種因素是決定性的，也就是“致命”的.它正好與“服從正態(tài)分布是與多種相互獨立的因素有關(guān)，但是沒有一種因素是起決定作用”相反.

而幾何分布是一種“直到……為止”型的概率分布，也是一種“壽命”.

電子元件的“壽命”服從指數(shù)分布，如果電子元件是否損壞的決定因素是電壓，在連續(xù)使用過程中，雖然有多種因素，但是“直到”電壓達到元件不可承受范圍內(nèi)，它的“壽命”就“為止”.

相互獨立的射擊，直到擊中為止，射擊次數(shù)服從幾何分布.被槍手離散地射擊，直到擊中，它的“壽命”就“為止”了.

從而我們看到，幾何分布與指數(shù)分布具有相同的原理，只是其一為離散型，另一個為連續(xù)型.所以具有許多相同（或相似）的性質(zhì).

3 指數(shù)分布與泊松分布的關(guān)系

泊松分布是重要的離散型分布，他與社會生活密切相關(guān)，如電話交換臺中來到的呼叫次數(shù)、公共汽車站來到的乘客數(shù)、放射性分裂落到某區(qū)域的質(zhì)點數(shù)，甚至母雞下蛋的個數(shù)、雞蛋孵化成小雞的個數(shù).

指數(shù)分布與泊松分布有如下的關(guān)系：

定理1 設(shè)隨機變量X服從參數(shù)為λt的泊松分布，則時間兩次發(fā)生之間的“等待時間”Y服從參數(shù)為λ的指數(shù)分布.

證明 由于隨機變量X服從參數(shù)為λt的泊松分布，則它的分布律為：

設(shè)事件前一次發(fā)生的時刻為0.

因為Y不可能為負數(shù)，所以當(dāng)

t≤0時顯然有P（Y≤t）=0，

而t>0時，因為在“等待時間”內(nèi)事件不發(fā)生，

則由概率的連續(xù)性，Y分布函數(shù)

Y服從參數(shù)為λ的指數(shù)分布.

單位時間內(nèi)母雞下蛋的個數(shù)服從泊松分布，而兩次下蛋的時間間隔服從指數(shù)分布.

4 指數(shù)分布與均勻分布的關(guān)系

指數(shù)分布和均勻分布同為連續(xù)型分布，它們之間有如下關(guān)系：

定理2 隨機變量X服從參數(shù)為λ的指數(shù)分布的充分必要條件是隨機變量

Y1-e-λX服從（0,1）上的均勻分布.

證明 由于隨機變量X服從參數(shù)為λ的指數(shù)分布，

則X概率密度函數(shù)

則Y概率密度函數(shù)

從而Y=1-e-λX服從（0,1）上的均勻分布.

另一方面，如果Y=1-e-λX服從（0,1）上的均勻分布.

則Y概率密度函數(shù)

從而，則X概率密度函數(shù)

則隨機變量X服從參數(shù)為λ的指數(shù)分布.

5 指數(shù)分布與正態(tài)分布的關(guān)系

指數(shù)分布和正態(tài)分布同為連續(xù)型分布，正態(tài)分布可以說是最重要的一種概率分布.它和指數(shù)分布之間有如下關(guān)系.

定理3隨機變量X,Y相互獨立，都服從正態(tài)分布N（0,λ2）,則Z=X2+Y2服從指數(shù)分布.

證明 顯然Z=X2+Y2≥0，

由于隨機變量X,Y相互獨立，則（X,Y）的聯(lián)合分布密度函數(shù)為

隨機變量Z的分布函數(shù)

則Z的分布密度函數(shù)為

所以，則Z=X2+Y2服從參數(shù)為的指數(shù)分布.

6 指數(shù)分布的推廣形式

經(jīng)典教材[1,2]都只介紹了二元均勻分布和二元正態(tài)分布而沒有涉及二元指數(shù)分布.文獻[3]給出了指數(shù)分布的一種推廣形式，并在文獻[4]把它應(yīng)用到藥物在機體內(nèi)分布中.文獻[5]介紹了多元Marshll-Olkin型指數(shù)分布.

埃爾蘭分布的密度函數(shù)為

其中r是正整數(shù)，λ>0.

當(dāng)r=1時，就是指數(shù)分布.則埃爾蘭分布就是指數(shù)分布的一種推廣形式.

Γ分布的密度函數(shù)為

其中r>0，λ>0.

它是埃爾蘭分布的推廣，當(dāng)然也是指數(shù)分布的一種推廣形式.

此外，關(guān)于分布的可加性：同泊松分布且相互獨立的n個隨機變量之和仍服從泊松分布，同正態(tài)分布且相互獨立的n個隨機變量之和仍服從正態(tài)分布，同兩點分布且相互獨立的n個隨機變量之和仍服從二項分布，同正態(tài)分布且相互獨立的n個隨機變量的線性組合仍服從正態(tài)分布.

Γ分布的的可加性是：如果X1,……Xn相互獨立，Xi,i=1,2,3,…,服從參數(shù)為αi,λ的Γ分布，則服從參數(shù)為αi,λΓ分布.

但是，它的特殊形式指數(shù)分布：同指數(shù)分布且相互獨立的n個隨機變量之和服從Γ（n,λ）分布或者χ2（2n）分布.已經(jīng)不是指數(shù)分布.

例如：n=2，α1=α2=1,Z=X1+X2的概率密度為

他不是指數(shù)分布.當(dāng)然χ2分布也具有可加性.

〔1〕李賢平.概率論基礎(chǔ)（第二版）[M].高等教育出版社，1979.4，116，128.

〔2〕魏宗舒，等.概率論與數(shù)理統(tǒng)計教程[M].高等教育出版社，1983.10.

〔3〕劉國祥.廣義指數(shù)分布[J].赤峰學(xué)院學(xué)報，2007，（3）：1-8.

〔4〕劉國祥.藥物在機體內(nèi)分布的數(shù)學(xué)模型[J].赤峰學(xué)院學(xué)報，2008，（3）：15-16.

〔5〕李國安.多元Marshll-O lkin型指數(shù)分布的特征及其參數(shù)估計[J].工程數(shù)學(xué)學(xué)報，2005,22（6）：1055-1062.

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1673-260X（2011）12-0012-03