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        與過程相聯(lián)系的σ-代數(shù)流

        2012-11-22 01:42:50羅建華馮志明
        大學(xué)數(shù)學(xué) 2012年4期
        關(guān)鍵詞:定義

        羅建華, 馮志明

        (1.中南林業(yè)科技大學(xué)理學(xué)院,長沙 410004; 2.樂山師范學(xué)院數(shù)學(xué)系,樂山 614000)

        與過程相聯(lián)系的σ-代數(shù)流

        羅建華1, 馮志明2

        (1.中南林業(yè)科技大學(xué)理學(xué)院,長沙 410004; 2.樂山師范學(xué)院數(shù)學(xué)系,樂山 614000)

        討化了σ-代數(shù)流的結(jié)構(gòu),并給出其一般性的結(jié)果;歸納出各σ-代數(shù)流的相互關(guān)系;最后介紹其兩個簡單應(yīng)用.

        π系;σ-代數(shù)流;停時;兩參數(shù)隨機過程;鞅

        1 引 言

        σ-代數(shù)流的概念散見于各概率論、隨機過程的專著及論文中,但由于一般將其作為常識性知識,對其結(jié)構(gòu)關(guān)系未充分重視.受無窮乘積可測空間構(gòu)造的啟發(fā),本文對σ-代數(shù)流的結(jié)構(gòu)作了探討,并給出了一般性結(jié)果,藉此全面準確理解各σ-代數(shù)流的關(guān)系.

        2 預(yù)備知識

        設(shè)(Ω,F(xiàn),P)是完備的概率空間,X={Xt,t∈T}是其上的實值隨機過程(T=[0,∞)),可測空間(E,ε)=(R1,B1)為其狀態(tài)空間(相空間).

        引理1 設(shè)f:(Ω,F(xiàn))→(E,E)為可測映射,f-1(E)是Ω中的σ-代數(shù)(稱之為由f導(dǎo)出的σ-代數(shù)).由此,若記σ(f)=f-1(E),則σ(f)是σ-代數(shù),且σ(f)?F.

        特別地,若X={Xt,t∈T}是隨機過程,則對?t∈T,由Xt產(chǎn)生的σ-代數(shù)記為σ(Xt),顯然σ(Xt)?F.

        注 f-1(E)={f-1(B);B∈E}.

        定義1 (i)稱F的子σ-代數(shù)族{Ft,t≥0}為σ-代數(shù)流,如果Fs?Ft,0≤s≤t.特別稱σ-代數(shù)流{Nt,t≥0}為隨機過程{Xt,t≥0}的自然σ-代數(shù)流(隨機過程產(chǎn)生的σ-代數(shù)流),其中Nt=σ(Xs,s≤t).記N=σ(Xt,t≥0).

        (ii)稱隨機過程{Xt,t≥0}關(guān)于σ-代數(shù)流{Ft,t≥0}為適應(yīng)的(簡稱{Xt}為{Ft}適應(yīng)過程),如果對每一t≥0,Xt是Ft可測(記作Xt∈Ft).

        注 若{Fα,α∈Γ}為F的一族子σ-代數(shù),則其交Fα仍為σ-代數(shù),但其并Fα一般不再是σ-代數(shù),我們以Fα表示由它所產(chǎn)生的σ-代數(shù)σ(Fα).

        定義2 稱定義在可測空間(Ω,F(xiàn))上的非負可測函數(shù)τ(ω)(可?。逓橹担殛P(guān)于F的子σ-代數(shù)流{Ft,t≥0}的停時(可選時),如果對?t≥0,有

        引理2 設(shè)τ為{Ft}停時,令

        則Fτ為σ-代數(shù)(稱之為伴隨停時τ的σ-代數(shù),也稱τ前σ-代數(shù)).

        顯然有Fτ?F∞?F.Fτ可理解為過程到τ為止的全部信息.

        為使討論引向深入,下面介紹兩參數(shù)隨機過程的有關(guān)記號、概念:

        3 主要結(jié)果

        推論1 N=σ(Xt,t∈T)=σ(Π),其中Π={(Xti∈Γi,1≤i≤n);Γi∈ε,ti∈T,n≥1}.

        證將定理1證明過程中的“s≤t,s∈T”改為“t∈T”便得證.

        推論2 Nt=σ(Xs,s≥t)=σ(Π),其中Π={(Xti∈Γi,1≤i≤n);Γi∈ε,ti≥t,n≥1}.

        證將定理1證明過程中的“s≤t,s∈T”改為“s≥t,s∈T”便得證.

        推論3 N=σ(Xu,s≤u≤t)=σ(Π),其中Π={(Xti∈Γi,1≤i≤n);Γi∈ε,s≤ti≤t,n≥1}.

        證將定理1證明過程中的“s≤t,s∈T”改為“s≤u≤t,u∈T”便得證.

        定理2 (i)若{Xt}為{Ft}適應(yīng)過程,則Nt?Ft,N?Ft,0≤s≤t;

        (ii)對?0≤s≤t,有Ns?Nt?N,Nt?Ns?N;

        (iii)若ti≤t,i=1,2,…,n,則σ(Xt1,…,Xtn)?Nt=σ(Xs,s≤t);

        (iv)若{Xt}為{Ft}適應(yīng)過程,則N=σ(Xt,t∈T)?F.

        證(i)對任意0≤s≤t,有Xs∈Fs?Ft,所以Xs∈Ft,即σ(Xs)?Ft,又因為Nt=σ(Xs,s≤t),故Nt?Ft.類似可得?Ft.

        (ii)結(jié)論顯然成立.

        定理3 (i)設(shè)τ∈T,則τ為Fτ可測;

        (ii)若τ1,τ2∈T,且τ1≤τ2,則Fτ1?Fτ2.

        證(i)由引理2知Fτ為σ-代數(shù).對?s∈T,顯然(τ≤s)∈F∞,又(τ≤s)∩(τ≤t)=(τ≤s∧t)∈Fs∧t?Ft,t∈T,其中s∧t=min(s,t),故(τ≤s)∈Fτ,即τ關(guān)于Fτ可測.

        (ii)設(shè)A∈Fτ1,則A∈F∞,且A∩(τ1≤t)∈Ft,t∈T,從而A∩(τ2≤t)=A∩(τ2≤t)∩(τ1≤t)=[A∩(τ1≤t)]∩(τ2≤t)∈Ft,t∈T.故A∈Fτ2,因此Fτ1?Fτ2.

        注 由引理2和定理3(ii)及定義1,{Fτ,τ∈T}顯然是σ-代數(shù)流.

        定理4 設(shè)τ為{Nt}停時,{Xt}為{Ft}適應(yīng)過程,則Nτ?Fτ.

        證一方面(τ≤t)∈Nt?Ft,得τ為{Ft}停時;另一方面,設(shè)A∈Nτ,則A∈F∞,A∩(τ≤t)∈Nt?Ft,?t≥0,即得A∈Fτ,故Nτ?Fτ.

        下面是關(guān)于兩參數(shù)隨機過程的σ-代數(shù)流若干結(jié)果.

        證類似于定理1之證明.

        定理6 若{X(z),z∈}關(guān)于σ-代數(shù)流{Fz,z∈T}為適應(yīng)過程,即X(z)∈Fz,則?Fz.

        證因為σ(X(z))?σ(X(y),y≤z)=,所以X(z)∈,故?Fz.

        類似于定理2所列舉的關(guān)系,兩參數(shù)隨機過程也有相應(yīng)關(guān)系,此處不再詳述.

        注 本文中未加說明之處均為單參數(shù)隨機過程情形.

        4 結(jié)束語

        Ft(Fτ)—t(τ)前事件σ-代數(shù),表示到t(τ)為止的全部信息,也即[0,t]([0,τ])中的全部信息,那么{Ft,t∈T}({Fτ,τ∈T})σ-代數(shù)流也就成為信息流,凡涉及此類現(xiàn)象的問題,諸如Markov過程,Martingale過程等,均須運用σ-代數(shù)流加以討論.

        定義4 如果對于一切0≤s≤t及?!蔈,有

        其中P(·|Xs)=P(·|σ(Xs)),就稱關(guān)于σ-代數(shù)流{Ft,t≥0}適應(yīng)的過程{Xt,t≥0}為Markov過程.此時記{Xt,F(xiàn)t,t≥0}為Markov過程.

        以此定義為基礎(chǔ),借助于σ-代數(shù)流的關(guān)系,我們很容易得出以下結(jié)論:

        例1 若{Xt,F(xiàn)t,t≥0}是Markov過程,則{Xt,Nt,t≥0}也是Markov過程.

        事實上,在(1)兩邊取關(guān)于Ns的條件期望,由Ns?Fs?F,σ(Xs)?Ns?F,并利用重條件期望公式,得

        即{Xt,Nt,t≥0}是Markov過程.

        對任意有限多個0≤t1<t2<…<tn及Γ∈ε,令t=tn,s=tn-1,對(2)的兩邊取關(guān)于σ(Xt1,…,Xtn-1)的條件期望,由重條件期望公式得:{Xt,t≥0}是Markov過程的充分必要條件

        證明見文獻[2].

        定義5 適應(yīng)過程{Xt,F(xiàn)t,t∈T}稱為鞅(Martingale),如果對?t∈T,E|Xt|<∞,且對T中任意s<t,有

        如將上式“=”換成“≤”,“≥”,相應(yīng)得上(下)鞅.

        以此定義為基礎(chǔ),借助于σ-代數(shù)流的關(guān)系,我們很容易得出以下結(jié)論:

        例2 設(shè){Xt,t≥0}是Wiener過程且是標準馬氏過程,令Nt=σ(Xs,s≤t),則過程{-t,Nt,t≥0}關(guān)于概率測度Px,x∈R1是鞅.

        因此得證{Yt,Nt,t≥0}關(guān)于Px是鞅.

        可見,σ-代數(shù)流的結(jié)構(gòu)關(guān)系在Markov過程,Martingale過程的研究中起著重要的作用.σ-代數(shù)流已成為現(xiàn)代概率論和隨機過程論中最基本的概念[9,10].

        [1] 嚴士健,王雋驤,劉秀芳.概率論基礎(chǔ)[M].2版.北京:科學(xué)出版社,2009.

        [2] 李漳南,吳榮.隨機過程教程[M].北京:高等教育出版社,1987.

        [3] 黃志遠.隨機分析學(xué)基礎(chǔ)[M].北京:科學(xué)出版社,2001.

        [4] 楊向群,李應(yīng)求.兩參數(shù)馬爾可夫過程論[M].長沙:湖南科學(xué)技術(shù)出版社,1995.

        [5] 王梓坤.隨機過程通論(上,下)[M].北京:北京師范大學(xué)出版社,1996.

        [6] 王壽仁.概率論基礎(chǔ)和隨機過程[M].北京:科學(xué)出版社,1986.

        [7] 錢敏平,龔光魯.隨機過程論[M].北京:北京大學(xué)出版社,1997.

        [8] 胡迪鶴.隨機過程基礎(chǔ)·理論·應(yīng)用[M].武漢:武漢大學(xué)出版社,2000.

        [9] 汪嘉岡.現(xiàn)代概率論基礎(chǔ)[M].上海:復(fù)旦大學(xué)出版社,1988.

        [10] Olav Kallenberg.Foundations of Modern Probability[M].Springer-Verlag,2001.

        [11] Chung Kailai.Lectures from Markov Processes to Brownian Motion[M].New York:Springer-Verlag,1982.

        Filtrations Associated with Process

        LUO Jian-hua1, FENG Zhi-ming2
        (1.College of Sciences,Central South University of Forestry and Technology,Changsha 410004,China;2.Department of Mathematics,Leshan Teachers College,Leshan 614000,China)

        The structures of filtrations are discussed,and the general results are given.The interrelationships of a few filtrations are generalized.Finally two brief applications of filtrations are introduced.

        π-system;filtrations;stopping tiom;two-parameter stochastic process;Martingale

        O211.62

        A

        1672-1454(2012)04-0050-04

        2010-05-06;

        2011-05-23

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