劉建慧

（北京農(nóng)學(xué)院基礎(chǔ)部數(shù)學(xué)教研室，北京 102206）

概率計(jì)算中易混淆問(wèn)題的教法研究

劉建慧

（北京農(nóng)學(xué)院基礎(chǔ)部數(shù)學(xué)教研室，北京 102206）

首先從具體實(shí)例提出了物品檢驗(yàn)概率計(jì)算中一類(lèi)易混淆問(wèn)題.然后從理論上證明了無(wú)放回逐次抽取中兩種概率計(jì)算方法的合理性，其定理證明過(guò)程充分揭示了這類(lèi)檢驗(yàn)方法與其它相關(guān)抽取方式之間的關(guān)系并強(qiáng)調(diào)了最根本的分析問(wèn)題思路.最后，研究了文中所得到的一般性結(jié)論的適用范圍，從而使得這類(lèi)易混淆問(wèn)題的講解變得清晰條理.

隨機(jī)事件；概率；樣本點(diǎn)

1 引 言

從一組物品中隨機(jī)抽取一部分，計(jì)算滿足各種檢驗(yàn)條件的隨機(jī)事件的概率是非常具有實(shí)用背景的問(wèn)題，廣泛應(yīng)用于產(chǎn)品抽樣檢驗(yàn)、彩票中獎(jiǎng)率估計(jì)等實(shí)際問(wèn)題中.但是，在具體計(jì)算概率時(shí)，由于涉及對(duì)各種事件所包含的樣本點(diǎn)的計(jì)數(shù)，而這些計(jì)數(shù)問(wèn)題往往沒(méi)有一個(gè)固定的解題模式可遵循，需要敏銳的洞察力、豐富的想象力和必要的技巧，所以如何引導(dǎo)學(xué)生對(duì)解決問(wèn)題的思想方法進(jìn)行探索、對(duì)易混淆的事件進(jìn)行對(duì)比分析是每位任課教師所面臨的難點(diǎn)之一.本文就是針對(duì)這個(gè)問(wèn)題展開(kāi)的.

在此類(lèi)問(wèn)題中，一般都假設(shè)每件物品都是互不相同的或者都是有標(biāo)識(shí)的，這是符合絕大多數(shù)產(chǎn)品的生產(chǎn)實(shí)際的，原因是：其一，在檢驗(yàn)之前，不可能有某件產(chǎn)品與其它產(chǎn)品是否相同的結(jié)論產(chǎn)生；其二，對(duì)于大件產(chǎn)品，肯定有相應(yīng)的產(chǎn)品標(biāo)識(shí)，例如工業(yè)制造業(yè)中的較大部件；而對(duì)于沒(méi)有標(biāo)識(shí)的產(chǎn)品，個(gè)體之間在特征形狀方面仍然是有差異的，如水果產(chǎn)品中的水果個(gè)體就因其在形狀、色澤等方面的不同而構(gòu)成區(qū)別于其它個(gè)體的自身的特異性.至于彩票，顯然都有唯一的標(biāo)識(shí).因此，在如下的分析中，我們總是默認(rèn)這種假定.

2 問(wèn)題的提出

在這類(lèi)隨機(jī)實(shí)驗(yàn)中，按照抽取物品的方式的不同，實(shí)驗(yàn)可以被分為三種類(lèi)型：1.一次性隨機(jī)抽取多件.2.每次隨機(jī)抽取一件，檢驗(yàn)之后將這件物品放回原物品群體；下次再隨機(jī)抽取一件，再放回；依此類(lèi)推.3.每次隨機(jī)抽取一件物品，檢驗(yàn)之后不將這件放回；下次再隨機(jī)抽取一件，不放回；依此類(lèi)推.

對(duì)于一次性抽取多件物品的問(wèn)題，由于不涉及與特定次數(shù)相關(guān)的事件，所以主要是抽出的物品中滿足條件的物品個(gè)數(shù)的概率問(wèn)題，適合用組合數(shù)的方法求解，理解上不會(huì)帶來(lái)任何問(wèn)題.但對(duì)于后面兩種多次抽取問(wèn)題，由于隨機(jī)事件可以和具體次數(shù)相關(guān)，也可以和總的多次抽取的信息相關(guān)，所以事件種類(lèi)比較多，學(xué)生極易混淆.對(duì)此，不同的教材在處理方面有不同的側(cè)重點(diǎn)，如教材［1］就僅僅對(duì)一次性抽取多件物品的問(wèn)題進(jìn)行了介紹，而忽略了后兩種易混淆問(wèn)題，這固然縮短了這部分的篇幅，但也使學(xué)生課后接觸到后兩種問(wèn)題時(shí)常感到困惑；為彌補(bǔ)教材［1］的缺憾，教材［2］對(duì)三種問(wèn)題都引入了具體實(shí)例，并且為了幫助同學(xué)拓展思路，在問(wèn)題求解時(shí)，給出了不止一種方法，如下面的例子.

例1［2］一批產(chǎn)品共80件，其中有10件次品.現(xiàn)不放回地抽取兩件，求“取得一件正品一件次品”的概率.

解法二 由于是不放回抽取，所以也可看作不分先后次序一次抽兩件.從80件中抽取2件共有C種取法，抽到一件正品一件次品有C·C種，所以

解法一和解法二的總樣本點(diǎn)數(shù)和事件所包含的樣本點(diǎn)數(shù)都不同，但計(jì)算結(jié)果一致.這樣的結(jié)論是否具有一般性？解法二是否在任何無(wú)放回的情形下都適用？請(qǐng)看下面兩個(gè)分別與一維和二維隨機(jī)變量分布相關(guān)的概率計(jì)算問(wèn)題（以下兩個(gè)例子均為［2］中作業(yè)）.

例2［2］一批零件共有12個(gè).其中有9個(gè)正品，3個(gè)次品.安裝機(jī)器時(shí)，從這批零件中任取一件，且取出的次品不放回，然后再取一個(gè)零件，直到取得正品為止.求在取得正品之前已經(jīng)取出的次品數(shù)的概率分布.

為求解例2，用隨機(jī)變量ξ代表“在取得正品之前已經(jīng)取出的次品數(shù)”，則ξ的可能取值為0，1，2，3.取這四個(gè)值中的任何一個(gè)時(shí)，都涉及一個(gè)無(wú)放回多次抽樣問(wèn)題.有的學(xué)生利用了例1中解法二的啟發(fā)，也看作不分先后次序一次抽多件，如“ξ＝1”表示取得正品之前已經(jīng)取出的次品數(shù)為1，則理解為一件次品一件正品，由此直接計(jì)算如下：

而按照分次的題目原意，總樣本點(diǎn)數(shù)計(jì)算為：第一次抽取的可能數(shù)乘以第二次抽取的可能數(shù)，也即CC；“ξ＝1”表示第一次為次品第二次為正品：即第一次抽取次品的可能數(shù)乘以第二次抽取正品的可能數(shù)C，也即，由此得

在這個(gè)例子中，按照次序與不分先后次序計(jì)算的結(jié)果是不同的.

例3［2］一個(gè)盒子里有12個(gè)小球，其中兩個(gè)是紅球，今從其中隨機(jī)抽取兩次，每次取一球，不放回.若定義兩個(gè)變量ξ和η如下：

有的學(xué)生仍按照例1解法2的思路，得到

這表明，在解決分次無(wú)放回抽樣概率計(jì)算中，需要對(duì)不同解法的適用范圍進(jìn)行詳盡討論，還要引導(dǎo)學(xué)生掌握最根本的分析方法.因?yàn)檫@種問(wèn)題不僅僅是局部現(xiàn)象，而是與一維以及多維隨機(jī)變量分布密切相關(guān).由于教材中都沒(méi)有涉及這方面的專(zhuān)題分析，所以本文下一節(jié)就對(duì)一般問(wèn)題進(jìn)行討論，并根據(jù)學(xué)生在學(xué)習(xí)中的問(wèn)題提出便于理解的證明方法，這種證明方法實(shí)際上就是這類(lèi)問(wèn)題最根本的分析方法.

3 一般性理論及適應(yīng)范圍

定理1 從N件產(chǎn)品（其中D件次品，N-D件正品）中每次取1件產(chǎn)品進(jìn)行檢驗(yàn)，則有

1.在有放回條件下，檢驗(yàn)n件產(chǎn)品，恰有k件次品的概率為

2.在無(wú)放回條件下，檢驗(yàn)n件產(chǎn)品，恰有k件次品的概率為

分析 學(xué)生在初次接觸這兩個(gè)式子時(shí)感到非常困惑，因?yàn)橥瑯佣际侵鸫纬槿?wèn)題，（1）和（2）式形式上具有很大差異.而（2）式恰好就是一次性抽取的概率公式，似乎與逐次抽取的事實(shí)不符.其實(shí)，兩者都可以從分次的出發(fā)點(diǎn)來(lái)考慮，下面就給出從分次角度出發(fā)的證明.

證有放回和無(wú)放回情形都統(tǒng)一用逐次法分析，并用A表示事件“檢驗(yàn)n件產(chǎn)品，恰有k件次品”.

1.對(duì)于有放回情形，由于每次抽取時(shí)產(chǎn)品總數(shù)都是N，所以每次選擇的可能性均為N，從而抽取n次的樣本點(diǎn)總數(shù)為Nn.

事件A所包含的樣本點(diǎn)數(shù)的求解可以按照如下思路進(jìn)行：

（ii）考慮k件次品在n次中的次序位置固定（同時(shí)n-k件正品在n次中的次序位置也就隨之固定）時(shí)所有可能的抽取數(shù)：1）每次抽取到次品的可能性都是D，抽到正品的可能性都是N-D；2）按照乘法原理，n次抽取的可能性數(shù)目是各次抽取數(shù)的乘積，即k個(gè)D和n-k個(gè)N-D的乘積，由于乘積是可交換的，所以這個(gè)乘積與次品和正品的先后順序無(wú)關(guān).

（iii）綜合（1）與（2），就得到在有放回的條件下，事件A所包含的樣本點(diǎn)數(shù)為C·Dk·（N-D）k.由于樣本點(diǎn)總數(shù)為Nn，從而得到事件A的概率如（1）式所示.

2.對(duì)于無(wú)放回情形，由于每次抽取時(shí)產(chǎn)品總數(shù)都是上一次抽取總數(shù)減1：第1次N，第2次N-1，第3次N-2，…，第n次N-（n-1），所以抽取n次的樣本點(diǎn)總數(shù)為

事件A所包含的樣本點(diǎn)數(shù)按照如下思路進(jìn)行：

ii）考慮k件次品在n次中的次序位置固定（同時(shí)n-k件正品在n次中的次序位置也就隨之固定）時(shí)所有可能的抽取數(shù)：1）每次抽取到次品的可能性都是上一次抽取次品的可能數(shù)減1：第1次D，第2次D-1，第3次D-2，…，第k次D-（k-1）；每次抽取到正品的可能性都是上一次抽取正品的可能數(shù)減1：第1次N-D，第2次N-D-1，第3次N-D-2，…，第k次N-D-（k-1）；2）按照乘法原理，n次抽取的可能性數(shù)目是各次抽取數(shù)的乘積，由于乘積是可交換的，所以這個(gè)乘積與次品和正品的先后順序無(wú)關(guān).

iii）綜合（1）與（2），就得到在有放回的條件下，事件所包含的樣本點(diǎn)數(shù)為

所以由（6）式可得

也即（2）式得證.由此證明了定理1.

定理1表明，例1解法二的方法是具有一般性的；定理的證明過(guò)程表明，（1）和（2）式實(shí)際上都來(lái)自于類(lèi)似的逐次分析方法，只是在無(wú)放回的情形下可以用數(shù)學(xué)演算推導(dǎo)出（2）式.所以在給學(xué)生講解（2）式時(shí)，可以將上面的證明思路引出，學(xué)生的困惑就能夠消除.定理的證明過(guò)程還解釋了例2不可以用（2）式計(jì)算的原因，因?yàn)槔?中的第二次一定是正品，而并非兩次中的任何一次，所以這時(shí)候就需要回到根本的逐次分析方法，而不可以套用公式（2）.同樣的解釋適用于例3中P（ξ＝1，η＝0）的情況，而P（ξ＝1，η＝1）的情形是因?yàn)閮纱味际羌t球恰好符合（2）.綜上所述，對(duì)于無(wú)放回逐次抽取產(chǎn)品問(wèn)題，只有定理1中所述事件的具體化形式才能用（2）式，也即事件只和正（次）品總數(shù)相關(guān)，與具體次數(shù)的抽取情況無(wú)關(guān).否則，就只能用這類(lèi)問(wèn)題最基本的逐次分析法進(jìn)行分析，而不能用一次性抽取多件的方法.

［1］ 張德培，羅蘊(yùn)玲，等.應(yīng)用概率統(tǒng)計(jì)［M］.北京：高等教育出版社，2000.

［2］ 杜曉林，王玉民，等.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)［M］.北京：氣象出版社，2005.

Research on Teaching of the Probability Calculation of Confusable Random Events

LIU Jian-hui
（Department of Basic Sciences，Beijing University of Agriculture，Beijing 102206，China）

The problems in probability calculation of confusable random events are first presented，by the concrete examples.Then a theorem is proposed to generalize two caculation results of one by one no return test.From the proof procedure of the theorem，the relations with other relative tests are demonstrated and the most fundamental analytical method is emphasized.At last，the limitations of the generalized conclusion in the theorem are discussed，which makes the teaching problems clear.

random events；probability；sample points

O211

C

1672-1454（2012）04-0147-04

2008-11-11

北京市屬市管高校人才強(qiáng)教計(jì)劃資助項(xiàng)目（PXM2007-014207-044539）