進入高中后,我們學(xué)習(xí)的第一個數(shù)學(xué)概念就是“集合”。研究集合的理論在現(xiàn)代數(shù)學(xué)中被稱為集合論,其基本概念幾乎滲透到數(shù)學(xué)的所有領(lǐng)域,它的創(chuàng)始人康托爾也因此被譽為20世紀(jì)最偉大的數(shù)學(xué)家之一。

既然同學(xué)們都學(xué)過集合知識,那有個問題要考考大家。假設(shè)有一個集合S,它由一切不是自身元素的集合所組成。那么請問,S是否屬于S?

我們知道,一個元素或者屬于某個集合,或者不屬于某個集合。因此,如果S屬于S,那么根據(jù)S的定義,S就不屬于S;反之,如果S不屬于S,同樣根據(jù)定義,S就應(yīng)該屬于S。

這就是著名的“羅素悖論”,它非常淺顯易懂,而且涉及的都是集合論中最基本的東西,所以一經(jīng)提出就在當(dāng)時的數(shù)學(xué)界引起了極大震動,第三次數(shù)學(xué)危機由此爆發(fā)。

悖論的源頭在于康托爾構(gòu)造集合時使用的概括原則。這一原則說,“所有滿足某種性質(zhì)”的元素可以構(gòu)成一個集合,這樣的集合概念很寬泛。因此要消除悖論就必須建立新的原則來對集合作出某種限制。

1905年,法國一位中學(xué)教師理查德提出:一個集合不能包含那種只能借助于這一集合本身才能定義的對象。比如“羅素悖論”中,集合S“由一切不是S的元素的集合所組成”,定義時用到了S自身,顯然這種定義具有循環(huán)或者說“反身自指”的特征,因此不允許有這種定義便可以解決問題。

在這一想法基礎(chǔ)上,1908年,德國數(shù)學(xué)家策梅羅發(fā)表了著名論文《關(guān)于集合論基礎(chǔ)的研究》,他給出了7條公理,建立了第一個公理化集合論體系。這一體系對集合的產(chǎn)生方式作了限制,避免了“所有”元素等說法,消除了悖論產(chǎn)生的條件。

公理化集合論體系把原本直觀的集合概念建立在嚴(yán)格的公理基礎(chǔ)之上,集合論從此發(fā)展到公理化階段(1908年以前由康托爾創(chuàng)立的集合論后被稱為樸素集合論),第三次數(shù)學(xué)危機得到了圓滿解決。

冰雹數(shù)

任意寫出一個正整數(shù)N,將其按照以下規(guī)律變換:

如果N是奇數(shù),則下一步變成3N+1;

如果N是偶數(shù),則下一步變成N/2……

得到的結(jié)果重復(fù)上述步驟,如此循環(huán)演算下去。發(fā)現(xiàn)了嗎?無論N是什么數(shù),經(jīng)過有限次的運算后,最終都會變成1。準(zhǔn)確地說,是必將落入4—2—1的“漩渦”,任何一個數(shù)都逃不出這樣的宿命。

這就是著名的“冰雹猜想”。大家知道,小水滴和冰晶凍結(jié)成的冰雹核心,在云層中忽上忽下,不斷結(jié)合冰晶、雪花和水滴,越長越大直至上升氣流支撐不了它的重量,最后突然落下來,這就是“下冰雹”。類似的,一個數(shù)算來算去,忽大忽小,最后都會演變成4—2—1,因此把4—2—1稱為“冰雹數(shù)”十分形象。

魯賓遜的桌子

這個趣題摘自魯賓遜的日記,在《魯賓遜漂流記》的現(xiàn)今版本中你是找不到的,因為它被刪去了。

“第三天早晨,我在沉船漂浮物中找到一塊木板,上面有許多洞。我的仆人星期五一直在念叨,說我們迫切需要一張方桌,用來喝下午茶。于是我就把這塊木板給了他,要他用這塊板做成一張沒有洞的正方形桌面。我希望桌面盡可能大,而且最后成形的桌面最多只能由兩塊板拼成。”

星期五聽了主人的要求以后一籌莫展。除了把洞填掉之外,你能幫他找到更好的辦法嗎?