四川省攀枝花市老年科技工作者協(xié)會(huì) 張喜安

康托集合論為什么是錯(cuò)誤的理論

四川省攀枝花市老年科技工作者協(xié)會(huì) 張喜安

康托集合論的基本觀點(diǎn)是，一個(gè)無窮集合可以和它的一個(gè)真子集一一對應(yīng)，或者說部分可以和全體相等，而這個(gè)觀點(diǎn)正是康托集合論的一個(gè)定理的結(jié)論。因此，只要我們能夠證明康托集合論的上述定理是錯(cuò)誤的，那么，我們也就證明了康托集合論是一個(gè)錯(cuò)誤的理論。本文首先根據(jù)客觀事實(shí)對康托的上述定理提出質(zhì)疑，然后詳細(xì)地證明上述康托集合論的定理的證明是錯(cuò)誤的，最后我們得出結(jié)論，康托集合論是錯(cuò)誤的理論。

還有一點(diǎn)值得特別注意，眾所周知，對于康托集合論的基本觀點(diǎn)，即部分可以和全體相等，法國大數(shù)學(xué)家柯西卻認(rèn)為，部分和全體相等是自相矛盾的。本文就是證明了柯西是正確的，而康托爾則是錯(cuò)誤的。

一、康托集合論關(guān)于“一個(gè)無窮集合可以和它的一個(gè)真子集一一對應(yīng)，部分可以和全體相等”的觀點(diǎn)存在的疑問

為了指出上述疑問，我們必須首先引述康托的上述定理及其證明以及為了這個(gè)定理的證明所必需的兩個(gè)定義?，F(xiàn)在將康托給出的這兩個(gè)定義引述如下：

定義1：[0，1]的基數(shù)為c。

定義2：如果存在函數(shù)y=f（x）為集合A→B的一個(gè)雙射函數(shù)，則集合A和B為一一對應(yīng)的關(guān)系。

現(xiàn)在我們再將康托的上述定理及其證明引述如下：

定理，令a，b為實(shí)數(shù)，且a＜b，則[a，b]的基數(shù)等于[0，1]的基數(shù)，即等于c。

證明：令y=f（x）=a+（b-a）x，顯然f為[0，1]→[a，b]的一個(gè)雙射函數(shù)，這就證明了[a，b]的基數(shù)也是c。

這個(gè)定理表明，一個(gè)無窮集合可以和它的真子集一一對應(yīng)，部分可以和全體相等。下面我們將指出上面關(guān)于部分和全體相等的觀點(diǎn)是存在疑問的。

根據(jù)上述康托集合論的觀點(diǎn)，由于存在函數(shù)y=2x為[0，1]→[0，2]的雙射函數(shù)，所以無窮集合[0，2]和它的真子集[0，1]是一一對應(yīng)的，并且[0，1]是[0，2]的一部分，由于它們是一一對應(yīng)的，所以部分[0，1]和全體[0，2]是相等的。（這里的相等指的是，在函數(shù)y=2x的條件下，這兩個(gè)集合是一一對應(yīng)的，則它們的元素或者點(diǎn)的數(shù)目是相等的）現(xiàn)在令A(yù)=[0，1]，B=[0，2]。對于集合[0，2]，我們?nèi)〕鰠^(qū)間[1，2]中的無理數(shù)點(diǎn)，而只剩下有理數(shù)點(diǎn)，這時(shí)在區(qū)間[0，2]的[1，2]部分只剩下有理數(shù)點(diǎn)，令這樣得到的在區(qū)間[0，2]上的點(diǎn)的集合為C。要注意，這時(shí)集合A=[0，1]依然是集合C的真子集，但是這時(shí)y=2x就不是集合A=[0，1]→C的雙射函數(shù)了，或者說，集合A=[0，1]→C就不存在雙射函數(shù)。這也就是說，有時(shí)候一個(gè)無窮集合和它的一個(gè)真子集之間就不存在雙射函數(shù)，或者說在這種情況下，康托的上述定理就不能成立。

再有，我們來比較集合B=[0，2]和集合C，看哪一個(gè)集合的點(diǎn)的數(shù)目多，由于集合C是去掉了[0，2]的[1，2]部分的無理數(shù)部分，所以集合B=[0，2]的點(diǎn)的數(shù)目比集合C的點(diǎn)的數(shù)目要多。但是根據(jù)康托集合論的理論，由于集合A=[0，1]和集合B=[0，2]是一一對應(yīng)的，因此它們的基數(shù)相等，即點(diǎn)的數(shù)目相等，于是，集合A=[0，1]的元素的數(shù)目或者點(diǎn)的數(shù)目就比集合C的元素或者點(diǎn)的數(shù)目要多。前面已經(jīng)指出，集合A=[0，1]是集合C的真子集，這樣就得出部分A=[0，1]大于全體C的結(jié)果。這個(gè)結(jié)果顯然和康托集合論的上述定理關(guān)于部分和全體相等的觀點(diǎn)是自相矛盾的。

根據(jù)以上的事實(shí)，我們完全可以懷疑康托集合論“關(guān)于一個(gè)無窮集合可以和它的一個(gè)真子集一一對應(yīng)，部分可以和全體相等”的觀點(diǎn)的正確性。下面我們就來證明康托集合論的上述定理的證明不能成立。

二、康托上述定理的證明存在的錯(cuò)誤

1.錯(cuò)誤之一

為了顯而易見地看出康托集合論的上述定理在證明中存在的錯(cuò)誤，我們再一次將康托集合論的上述定理及其證明引述如下：

定理：令a，b為實(shí)數(shù)，且a＜b，則[a，b]的基數(shù)等于[0，1]，即等于c。

證明：令y=f（x）=a+（b-a）x，顯然f為[0，1]→[a，b]的一個(gè)雙射函數(shù)，這就證明了[a，b]的基數(shù)也是c。

在上述定理的證明中，判斷“令y=f（x）=a+（b-a）x，顯然f為[0，1]→[a，b]的一個(gè)雙射函數(shù)”是一個(gè)錯(cuò)誤的判斷，根據(jù)這個(gè)錯(cuò)誤的判斷得出的結(jié)果“這就證明了[a，b]的基數(shù)也是c”就不能認(rèn)為是正確的結(jié)果，也就是說，上述定理的證明不能成立。下面我們就來證明這一點(diǎn)。

我們要考慮[a，b]的一個(gè)具體情況，即讓a=0，b=2，現(xiàn)在讓我們使用康托集合論的方法，即使用函數(shù)來判斷[0，1]和[0，2]之間的對應(yīng)關(guān)系。現(xiàn)在最重要的是要認(rèn)識清楚下面的一個(gè)事實(shí)：即在[0，1]和[0，2]都在x軸上的時(shí)候，函數(shù)y=2x并不是[0，1]→[0，2]的一個(gè)雙射函數(shù)，但是在[0，1]在x軸上，[0，2]在y軸上的時(shí)候，函數(shù)y=2x則為[0，1]→[0，2]的一個(gè)雙射函數(shù)，而這個(gè)事實(shí)是顯而易見的。根據(jù)上述的事實(shí)，我們可以進(jìn)一步作出判斷，即在[0，1]和[a，b]都在x軸上的時(shí)候，y=f（x）=a+（b-a）x并不是[0，1]→[a，b]的一個(gè)雙射函數(shù)，但是在[0，1]在x軸上，[a，b]在y軸上的時(shí)候，f才是[0，1]→[a，b]的一個(gè)雙射函數(shù)，也就是說，有時(shí)候，或者有的情況下，f并不是[0，1]→[a，b]的一個(gè)雙射函數(shù)，而有的時(shí)候，或者有的情況下，f又是[0，1]→[a，b]的一個(gè)雙射函數(shù)。顯而易見，在康托集合論的上述定理的證明中的判斷“令y=f（x）=a+（b-a）x，顯然f為[0，1]→[a，b]的一個(gè)雙射函數(shù)”是和上述客觀事實(shí)互相矛盾的，因此是一個(gè)錯(cuò)誤的判斷，根據(jù)這個(gè)錯(cuò)誤的判斷作出的結(jié)論“[a，b]的基數(shù)也是c”就不能成立，因此康托集合論的上述定理的證明就不能成立，而根據(jù)這個(gè)定理建立起來的康托集合論的基本觀點(diǎn)，即一個(gè)無窮集合可以和它的一個(gè)真子集一一對應(yīng)，部分可以和全體相等的觀點(diǎn)也就是錯(cuò)誤的觀點(diǎn)，因此康托集合論也就是錯(cuò)誤的理論。

2.錯(cuò)誤之二

對于上節(jié)論述的康托集合論的上述定理在證明中存在的錯(cuò)誤，由于康托本人的粗枝大葉并沒有發(fā)現(xiàn)。在康托看來，他根據(jù)他的兩個(gè)集合間一一對應(yīng)的定義對上述定理的證明是正確的，因?yàn)樵谒磥?，他的兩個(gè)集合間一一對應(yīng)的定義無疑是正確的，但是事實(shí)上，這個(gè)定義又出了錯(cuò)誤，那是為什么呢？下面我們就來討論這個(gè)問題。

在上節(jié)我們已經(jīng)指出，對于[0，1]和[0，2]兩個(gè)集合，在[0，1]和[0，2]都在x軸上的時(shí)候，y=2x并不是[0，1]→[0，2]的一個(gè)雙射函數(shù)，因此它們并不是一一對應(yīng)的關(guān)系，而是非一一對應(yīng)的關(guān)系。

但是，當(dāng)[0，1]在x軸上，[0，2]在y軸上的時(shí)候，y=2x是[0，1]→[0，2]的一個(gè)雙射函數(shù)，因此這時(shí)，[0，1]和[0，2]才是一一對應(yīng)的關(guān)系。這時(shí)，我們還要注意到這樣一個(gè)顯而易見的事實(shí)，即在y=x的條件下，[0，1]和[0，2]卻是非一一對應(yīng)的關(guān)系。而[0，1]和[0，2]是兩個(gè)實(shí)數(shù)點(diǎn)的集合，這是康托集合論的上述定理的前提；而兩個(gè)實(shí)數(shù)點(diǎn)的集合不可能在一種條件下是一一對應(yīng)的，而在另一種條件下就是非一一對應(yīng)的。我們要特別注意的是，[0，1]和[0，2]在y=2x的條件下是一一對應(yīng)的，但是在y=x的條件下卻是非一一對應(yīng)的，這是一個(gè)客觀事實(shí)，而客觀事實(shí)應(yīng)該是我們進(jìn)行推理和判斷的基礎(chǔ)。因此我們可以得出結(jié)論：使用函數(shù)（例如y=2x或者y=x）是不能正確判斷兩個(gè)實(shí)數(shù)點(diǎn)的集合是一一對應(yīng)的還是非一一對應(yīng)的。

現(xiàn)在，我們再引述一次康托的兩個(gè)集合間一一對應(yīng)的定義如下：令A(yù)，B為兩個(gè)集合，如果存在函數(shù)f為A→B的一個(gè)雙射函數(shù)，則A和B為一一對應(yīng)的關(guān)系。

前面我們已經(jīng)指出，使用函數(shù)是不能正確判斷兩個(gè)實(shí)數(shù)點(diǎn)的集合是一一對應(yīng)的關(guān)系還是非一一對應(yīng)的關(guān)系，而康托的兩個(gè)集合間一一對應(yīng)的定義就是使用函數(shù)來判斷的，因此這個(gè)定義就是錯(cuò)誤的。而康托就是根據(jù)這個(gè)定義來證明康托集合論的上述定理的，因此康托集合論的上述定理不能成立。

根據(jù)以上的論述，我們可以得出結(jié)論，康托的上述定理的證明不能成立，康托集合論的理論也就不能成立。

自然有人要問，為什么不能使用函數(shù)來判斷兩個(gè)集合間是否一一對應(yīng)呢？這個(gè)問題比較復(fù)雜，我打算在另外的文章中給予回答。另外，使用超實(shí)函數(shù)的理論也能解決前面的問題，有興趣的同志可以參閱我的論文“超實(shí)集合論”和“康托集合論存在的矛盾”。

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張喜安，1942年生，男，漢族，遼寧遼陽人，高級工程師，研究領(lǐng)域：集合論﹑微積分和數(shù)學(xué)哲學(xué)。從2000年發(fā)表8篇論文，代表作：“超實(shí)集合論”和“康托集合論存在的矛盾”。