【摘 要】隨著ChatGPT、Sora等人工智能技術(shù)的廣泛運(yùn)用，教育界也已進(jìn)入人工智能時(shí)代，學(xué)生思維的培養(yǎng)被提到新的高度。文章在界定數(shù)學(xué)思維和計(jì)算思維定義的基礎(chǔ)上，從二者的關(guān)系出發(fā)，分析在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中如何用計(jì)算思維發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，并探討未來(lái)趨勢(shì)。

【關(guān)鍵詞】人工智能時(shí)代；數(shù)學(xué)思維；計(jì)算思維；數(shù)學(xué)教學(xué)

2022年，新一代人工智能技術(shù)ChatGPT一經(jīng)問(wèn)世便震驚世界，以其為代表的人工智能在各行各業(yè)發(fā)揮著越來(lái)越大的作用。2024年OpenAI公司又以世界模擬器的名義推出了Sora，作為文本生成視頻模型，對(duì)教育的影響也是巨大的，如豐富教學(xué)方式、手段，為學(xué)生創(chuàng)造力的培養(yǎng)提供更大空間等。人工智能新時(shí)代對(duì)教育界也提出了更高的要求：了解人工智能，運(yùn)用人工智能，最終超越人工智能，做到人工智能所不能完成的事情。人工智能可以在一些機(jī)械化的操作，如課程設(shè)計(jì)、知識(shí)檢索、作業(yè)批改等方面取代教師的角色［1］，因此教師應(yīng)將教育、教學(xué)的重心放在學(xué)生思維的培養(yǎng)和問(wèn)題解決能力的提高上。數(shù)學(xué)是思維的體操，數(shù)學(xué)學(xué)科是培養(yǎng)學(xué)生思維的主力陣營(yíng)，計(jì)算思維則是新時(shí)代的新興思維。數(shù)學(xué)思維與計(jì)算思維都面向問(wèn)題解決，并且有著緊密的聯(lián)系。因此，本文從兩者的關(guān)系出發(fā)，探討人工智能時(shí)代中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)如何落實(shí)數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)。

一、數(shù)學(xué)家的思維方式和數(shù)學(xué)思維

（一）數(shù)學(xué)家是如何思考的？

匈牙利數(shù)學(xué)家彼得·路莎曾提出這樣一個(gè)問(wèn)題：“假設(shè)在你面前有煤氣灶、水龍頭、水壺和火柴，現(xiàn)在的任務(wù)是要去燒水，該怎么做？”正確答案是“在水壺里放上水，點(diǎn)燃煤氣，再把水壺放到煤氣灶上”。路莎接著問(wèn)：“那如果其他條件不變，只是水壺中已有水，此時(shí)該怎么做呢？”一般人都會(huì)回答：“點(diǎn)燃煤氣，再把水壺放到煤氣灶上?！钡飞J(rèn)為：“這是物理學(xué)家的做法，不是數(shù)學(xué)家的做法，因?yàn)閿?shù)學(xué)家會(huì)倒掉壺里的水并聲稱(chēng)已經(jīng)把后一問(wèn)題轉(zhuǎn)化為先前的問(wèn)題了?！?/p>

這是一則比較有意思的數(shù)學(xué)笑話，同時(shí)也反映了數(shù)學(xué)家的一個(gè)重要思維方式——化歸。鄭毓信在《數(shù)學(xué)方法論入門(mén)》中提到，善于使用化歸是數(shù)學(xué)家思維方式的重要特點(diǎn)［2］，并在《“數(shù)學(xué)與思維”之深思》中把數(shù)學(xué)家的思維方式稱(chēng)為數(shù)學(xué)思維［3］。那么數(shù)學(xué)思維究竟是什么？又有什么特點(diǎn)和類(lèi)型呢？

（二）什么是數(shù)學(xué)思維？

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡(jiǎn)稱(chēng)《標(biāo)準(zhǔn)》）要求學(xué)生會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界，并提出數(shù)學(xué)思維主要表現(xiàn)為運(yùn)算能力、推理意識(shí)或推理能力。［4］史寧中將“三會(huì)”具體化，并賦予其新的內(nèi)涵：數(shù)學(xué)思維就是邏輯推理［5］。一些國(guó)外學(xué)者認(rèn)為數(shù)學(xué)思維的核心是問(wèn)題的概念［6］。孟鴻偉認(rèn)為數(shù)學(xué)思維是通過(guò)抽象、歸納、類(lèi)比、推理、演繹和邏輯分析將概念和定義等與現(xiàn)實(shí)事物建立聯(lián)系，用數(shù)學(xué)思想解決問(wèn)題的過(guò)程，其特點(diǎn)是概念化、抽象化和模式化［7］。

可見(jiàn)，數(shù)學(xué)思維與邏輯推理、抽象、問(wèn)題解決有著密不可分的關(guān)系。上文提到的化歸思想，其本質(zhì)便是通過(guò)抽象和邏輯推理將命題分解為已知或更易處理的部分，從而達(dá)到解決問(wèn)題的目的?？梢哉f(shuō)，化歸思想是數(shù)學(xué)思維的一個(gè)綜合體現(xiàn)。

二、計(jì)算機(jī)的思考方式和計(jì)算思維

在一些實(shí)際問(wèn)題中，受限于計(jì)算能力，人的數(shù)學(xué)思維并不能很好地解決問(wèn)題。此時(shí)，計(jì)算機(jī)有了用武之地。雖然計(jì)算機(jī)程序是人編寫(xiě)的，但是研究計(jì)算機(jī)面對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)如何“思考”，對(duì)于發(fā)展人的數(shù)學(xué)思維是大有啟示和幫助的。

（一）計(jì)算機(jī)是如何“思考”的？

我們先通過(guò)一個(gè)具體的例子來(lái)看看計(jì)算機(jī)是如何“思考”的，與人的思維有什么區(qū)別。

案例1：中位數(shù)的計(jì)算

例 求某工程咨詢(xún)公司技術(shù)部門(mén)員工去年工資的中位數(shù)（單位：萬(wàn)元）：34，30，26，45，15。（注：本題改編自浙教版數(shù)學(xué)教科書(shū)八年級(jí)下冊(cè)“中位數(shù)和眾數(shù)”一節(jié)中的例1。）

面對(duì)這個(gè)問(wèn)題，相信數(shù)學(xué)教師都會(huì)告訴學(xué)生按照中位數(shù)的定義進(jìn)行求解：先將這組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列，接著找到位于最中間的一個(gè)數(shù)據(jù)或計(jì)算最中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)，這個(gè)數(shù)據(jù)或平均數(shù)便是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)。

那計(jì)算機(jī)是怎么處理這個(gè)問(wèn)題的呢？首先，將總體排序分解為兩兩排序，從左到右依次比較相鄰的兩個(gè)數(shù)。其次，判斷相鄰兩數(shù)的大小，將大的放在右邊。再次，得出每趟排序后最右邊的數(shù)為最大，使五個(gè)數(shù)有序需要比較四趟。最后，設(shè)計(jì)循環(huán)算法，共四趟，每趟少比較一次。由此算法比較過(guò)后，五個(gè)數(shù)即為有序。具體過(guò)程如圖1所示，黑色即為此次比較的兩數(shù)，呈現(xiàn)的是比較后的順序。找到五個(gè)數(shù)中最中間的也就是第三個(gè)數(shù)，即為這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)。

這種排序算法便是計(jì)算機(jī)中常見(jiàn)的冒泡排序算法?？赡芎芏嘧x者會(huì)覺(jué)得計(jì)算機(jī)的方法有點(diǎn)小題大做，明明一眼就能看出的事情，何必用那么多流程？對(duì)于此題而言確實(shí)如此，但如果將題目改為求整個(gè)公司員工的工資中位數(shù)呢？相信多數(shù)學(xué)生無(wú)法直接將這么多個(gè)數(shù)據(jù)進(jìn)行排序，甚至在思考時(shí)也是一頭霧水?；蛟S有些思維敏捷的學(xué)生會(huì)提出依次找到最大的、第二大的數(shù)，但若問(wèn)如何找時(shí)，學(xué)生可能無(wú)法給出具體的方法和步驟，只是簡(jiǎn)單地解釋為看出來(lái)的。顯然，這樣做費(fèi)時(shí)費(fèi)力并且極易出錯(cuò)。若是繼續(xù)增加數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)，學(xué)生更無(wú)法看出來(lái)。此時(shí)，計(jì)算機(jī)的優(yōu)勢(shì)就體現(xiàn)出來(lái)了：對(duì)大量數(shù)據(jù)進(jìn)行排序時(shí)，計(jì)算機(jī)可以對(duì)問(wèn)題進(jìn)行分解、識(shí)別、抽象，最后調(diào)用合適的排序算法來(lái)解決。此時(shí)，冒泡排序算法依然可行且高效。

（二）人機(jī)思維方式的異同點(diǎn)

不難發(fā)現(xiàn)，人機(jī)思維的相同點(diǎn)在于在解決問(wèn)題時(shí)都是依照一定的邏輯基礎(chǔ)——中位數(shù)的定義，且在面對(duì)大量數(shù)據(jù)時(shí)都有將整體拆分為部分的意識(shí)——將整體排序轉(zhuǎn)化為依次找到最大的數(shù)。人機(jī)思維的不同點(diǎn)在于在面對(duì)少量數(shù)據(jù)時(shí)，人可以通過(guò)觀察直接看出來(lái)；面對(duì)大量數(shù)據(jù)時(shí)，人雖然可能具有化歸的思想但很難找到化歸的方法，而計(jì)算機(jī)的思維方式依然適用。

顯然，計(jì)算機(jī)的思維方式具有如下優(yōu)勢(shì)：具有普適性，不管是處理少量還是大量數(shù)據(jù)都適用；在人運(yùn)用數(shù)學(xué)思維無(wú)法進(jìn)行化歸時(shí)可以給予幫助并給出方法。研究計(jì)算機(jī)處理問(wèn)題時(shí)的思維能為人類(lèi)的數(shù)學(xué)思維提升提供幫助。計(jì)算機(jī)當(dāng)然不是真的具有思維，這種思維是計(jì)算機(jī)科學(xué)家在編寫(xiě)程序時(shí)所賦予它的，那么我們可以把像計(jì)算機(jī)科學(xué)家一樣思考的方式稱(chēng)為計(jì)算思維。

（三）什么是計(jì)算思維？

美國(guó)計(jì)算機(jī)科學(xué)家周以真2006年第一次提出并且界定了計(jì)算機(jī)思維的概念，將計(jì)算思維闡述為運(yùn)用計(jì)算機(jī)科學(xué)思維方式和基礎(chǔ)概念來(lái)解答問(wèn)題、進(jìn)行系統(tǒng)設(shè)計(jì)以及理解人類(lèi)行為的觀念。在人機(jī)協(xié)作的時(shí)代背景下，計(jì)算思維被定義為像計(jì)算機(jī)科學(xué)家一樣思考問(wèn)題、理解問(wèn)題、解決問(wèn)題等一系列涵蓋計(jì)算機(jī)科學(xué)的思維活動(dòng)［8］。Asbell-Clarke等將計(jì)算思維分為分解、抽象、算法、調(diào)試、迭代、泛化等六個(gè)方面［9］。

谷歌研究小組則認(rèn)為計(jì)算思維幾乎適用于任何領(lǐng)域，并將其定義為認(rèn)知過(guò)程的四個(gè)循環(huán)步驟：分解，模式或規(guī)律的識(shí)別，模式的概括和抽象，算法設(shè)計(jì)。

計(jì)算思維作為人工智能的基礎(chǔ)，對(duì)于我們認(rèn)識(shí)和掌握人工智能大有幫助。因此，應(yīng)該重視計(jì)算思維的培養(yǎng)?！稑?biāo)準(zhǔn)》也提到了對(duì)計(jì)算思維的要求：“能夠通過(guò)計(jì)算思維將各種信息約簡(jiǎn)和形式化，進(jìn)行問(wèn)題求解與系統(tǒng)設(shè)計(jì)?！保?］可見(jiàn)，計(jì)算思維在數(shù)學(xué)教育中的重要性與日俱增。筆者認(rèn)為，培養(yǎng)計(jì)算思維有兩條途徑，其一是在信息技術(shù)學(xué)科，其二是在數(shù)學(xué)學(xué)科。那么，如何將計(jì)算思維與數(shù)學(xué)教育有機(jī)融合，以計(jì)算思維發(fā)展數(shù)學(xué)思維，值得我們深入研究和實(shí)踐。

三、計(jì)算思維與數(shù)學(xué)思維的關(guān)系及以計(jì)算思維發(fā)展數(shù)學(xué)思維的方式

計(jì)算思維與數(shù)學(xué)思維究竟有什么關(guān)系，我們又能獲得哪些啟示，繼而運(yùn)用計(jì)算思維發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維呢？

（一）計(jì)算機(jī)如何實(shí)現(xiàn)人的數(shù)學(xué)思維？

正如前文所述，計(jì)算思維其實(shí)是計(jì)算機(jī)科學(xué)家的思維，計(jì)算機(jī)運(yùn)行程序進(jìn)行問(wèn)題解決的過(guò)程其實(shí)就是實(shí)現(xiàn)人的數(shù)學(xué)思維的過(guò)程。

在案例1中，面對(duì)大量數(shù)據(jù)時(shí)，人也會(huì)運(yùn)用化歸的思想將整體的排序化歸為依次找到數(shù)據(jù)中最大的數(shù)。人的數(shù)學(xué)思維雖然具有化歸的思想?yún)s無(wú)法落實(shí)化歸的方法，而計(jì)算機(jī)則是通過(guò)循環(huán)比較的算法將整體有序轉(zhuǎn)化為依次有序?？梢哉f(shuō)，計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)了數(shù)學(xué)思維中的化歸思想。

可以看出，計(jì)算機(jī)在案例1的問(wèn)題解決過(guò)程中以數(shù)學(xué)思維中的邏輯推理為基礎(chǔ)，運(yùn)用數(shù)學(xué)思維中的化歸思想，并以編程語(yǔ)言為化歸提供方法與載體。我們可以得出結(jié)論：計(jì)算思維以數(shù)學(xué)思維為基礎(chǔ)，以計(jì)算機(jī)特有的運(yùn)算能力為實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)思維提供方法與載體，并最終達(dá)到數(shù)學(xué)思維與計(jì)算思維的共同目標(biāo)——問(wèn)題解決。

（二）人進(jìn)行數(shù)學(xué)思維時(shí)可以向計(jì)算機(jī)學(xué)習(xí)什么？

既然計(jì)算機(jī)在問(wèn)題解決中具有如此多的優(yōu)點(diǎn)，那么人在進(jìn)行數(shù)學(xué)思維的時(shí)候能向計(jì)算機(jī)學(xué)習(xí)什么？本文認(rèn)為，化歸、循環(huán)、遍歷是最能代表計(jì)算機(jī)思考方式的三大重要思想，值得學(xué)習(xí)。

1.化歸思想

在計(jì)算思維定義的四個(gè)循環(huán)步驟（分解，模式或規(guī)律的識(shí)別，模式的概括和抽象，算法設(shè)計(jì)）中，前三步與數(shù)學(xué)思維中將復(fù)雜問(wèn)題分解為簡(jiǎn)單問(wèn)題的化歸思想有異曲同工之妙，最后一步則是計(jì)算思維的優(yōu)勢(shì)所在，即利用強(qiáng)大的算力系統(tǒng)為化歸思想提供實(shí)現(xiàn)的方法。這也再次提醒我們，在人工智能時(shí)代的今天，化歸思想必然是一種時(shí)代化的思想，在思考問(wèn)題、解決問(wèn)題時(shí)要善于運(yùn)用化歸思想。

2.循環(huán)思想

計(jì)算機(jī)在處理大量數(shù)據(jù)時(shí)通常會(huì)將一個(gè)相似的比較和換位過(guò)程重復(fù)多次，直到數(shù)據(jù)符合要求。我們把這種操作叫作循環(huán)，循環(huán)是計(jì)算機(jī)在解決問(wèn)題時(shí)運(yùn)用最多的方法之一，是計(jì)算思維的基礎(chǔ)。

在數(shù)學(xué)中我們是否也可以用到計(jì)算機(jī)的這種思維方式？答案是肯定的，如運(yùn)用循環(huán)逼近去求解無(wú)理數(shù)的近似值，以循環(huán)的觀點(diǎn)理解函數(shù)的周期性，輾轉(zhuǎn)相除法的運(yùn)用等。同時(shí)，循環(huán)思想也給問(wèn)題解決提供了一種新思路：當(dāng)公式或方法的一次運(yùn)用沒(méi)有效果時(shí)，不妨重復(fù)多試幾次，或許能從中找到一些規(guī)律和方向。

3.遍歷思想

在實(shí)際問(wèn)題中，循環(huán)思想常和遍歷思想綜合運(yùn)用。什么是遍歷思想？案例1冒泡排序的第一趟比較中，計(jì)算機(jī)將所有的數(shù)據(jù)比較了一遍，這就是計(jì)算機(jī)學(xué)科中的遍歷思想。簡(jiǎn)言之，就是將所有的數(shù)據(jù)全部“過(guò)”一遍，類(lèi)似于數(shù)學(xué)中的枚舉。傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)觀念中，枚舉通常被認(rèn)為是低級(jí)的思維方式，但恰恰是這樣的“低級(jí)”思維，使得計(jì)算思維與人的思維區(qū)別開(kāi)來(lái)，并在面對(duì)更多復(fù)雜情形時(shí)具有普適性。筆者認(rèn)為，教師應(yīng)轉(zhuǎn)變觀念，在數(shù)學(xué)教學(xué)中鼓勵(lì)學(xué)生以枚舉的方式進(jìn)行思考。當(dāng)然，此處所述枚舉并非機(jī)械單一的枚舉，而是要求學(xué)生用到數(shù)學(xué)思維中的其他方法，如經(jīng)過(guò)現(xiàn)實(shí)分類(lèi)、層級(jí)區(qū)分等流程后再進(jìn)行枚舉，以保證枚舉不重、不漏且盡可能快速高效。

（三）計(jì)算思維如何融入數(shù)學(xué)教學(xué)？

數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的學(xué)與教［10］。計(jì)算思維在數(shù)學(xué)學(xué)科中的重要性與日俱增，融入計(jì)算思維的數(shù)學(xué)教學(xué)能夠更好地發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。本文立足于計(jì)算思維的三個(gè)重要思想（化歸、循環(huán)、遍歷），從常規(guī)教學(xué)、跨學(xué)科綜合實(shí)踐活動(dòng)、項(xiàng)目式學(xué)習(xí)三個(gè)角度出發(fā)，以初中內(nèi)容為例探討計(jì)算思維如何融入數(shù)學(xué)教學(xué)。

1.基于教科書(shū)的常規(guī)教學(xué)

在初中數(shù)學(xué)的常規(guī)教學(xué)中，有許多可以融入計(jì)算思維的內(nèi)容，最多的是與化歸思想相關(guān)。計(jì)算思維為數(shù)學(xué)化歸思想提供了方法，幫助我們解決問(wèn)題。如在計(jì)算弓形面積時(shí)可利用計(jì)算思維求解［11］，學(xué)生能夠感悟計(jì)算思維四個(gè)步驟的邏輯，并以此引出化歸的思想方法：在求解未知圖形面積時(shí)，可將其分解為已知圖形面積的和或差，進(jìn)而求解。常規(guī)教學(xué)要讓學(xué)生理解計(jì)算思維與數(shù)學(xué)思維的一個(gè)重要共同點(diǎn)是化歸思想，進(jìn)一步強(qiáng)調(diào)化歸在未來(lái)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重要性。

2.跨學(xué)科綜合實(shí)踐活動(dòng)

《標(biāo)準(zhǔn)》中提到數(shù)學(xué)課程要通過(guò)跨學(xué)科主題學(xué)習(xí)，建立不同學(xué)科之間的聯(lián)系，運(yùn)用不同學(xué)科的知識(shí)方法解決實(shí)際問(wèn)題。重視學(xué)科的交叉與融合，不僅是教育發(fā)展的必然趨勢(shì)，也是數(shù)學(xué)現(xiàn)代發(fā)展的時(shí)代特點(diǎn)。［12］因此，在數(shù)學(xué)與信息技術(shù)兩門(mén)學(xué)科的跨學(xué)科綜合實(shí)踐活動(dòng)中融入計(jì)算思維有助于發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。下文以“探究[2]的大小”為例，分析計(jì)算思維中的循環(huán)思想在數(shù)學(xué)跨學(xué)科實(shí)踐活動(dòng)中的應(yīng)用。

案例2：探究[2]的大小

浙教版數(shù)學(xué)教科書(shū)七年級(jí)上冊(cè)“實(shí)數(shù)”一節(jié)中用無(wú)限逼近的方法近似估計(jì)[2]的大小。學(xué)生在學(xué)習(xí)時(shí)可能會(huì)產(chǎn)生一系列問(wèn)題：為什么如此去逼近？[2]的準(zhǔn)確大小究竟是多少？計(jì)算機(jī)在計(jì)算[2]的大小時(shí)運(yùn)用的是二分法，教師以此為例向?qū)W生介紹計(jì)算思維的四個(gè)步驟（如圖2）。

（1）分解。將求[2]大小的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為找到一個(gè)數(shù)使它的平方等于2。

（2）模式識(shí)別。識(shí)別出這個(gè)數(shù)在1和2之間。

（3）模式的概括和抽象。將1和2識(shí)別為端點(diǎn)，令1為p（左端點(diǎn)），令2為q（右端點(diǎn)）。計(jì)算并比較[p+q2]的平方與2的大小，并通過(guò)比較結(jié)果產(chǎn)生新的端點(diǎn)：若是[p+q2]的平方小于2，則把[p+q2]令為新的p（新的左端點(diǎn)）；反之，則把[p+q2]令為新的q（新的右端點(diǎn)）。

（4）算法設(shè)計(jì)。設(shè)計(jì)循環(huán)算法，重復(fù)進(jìn)行（3）的過(guò)程，不斷比較和更新端點(diǎn)，直至這個(gè)數(shù)的平方等于2。因?yàn)槊看伪容^都是將可能的區(qū)域分為兩個(gè)相等的部分，故命名為“二分法”。圖3為具體的Python程序語(yǔ)句，為方便理解筆者加了注釋。

教師可簡(jiǎn)單介紹該程序的巧妙之處：通過(guò)比較的不同結(jié)果不斷更新所求數(shù)所在區(qū)間，進(jìn)行新的比較，通過(guò)循環(huán)不斷提高精度。這一程序不僅運(yùn)用循環(huán)思想為解決問(wèn)題提供了便利，同時(shí)也與數(shù)學(xué)中嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)、精益求精的價(jià)值觀契合。在這一跨學(xué)科綜合實(shí)踐活動(dòng)中，學(xué)生不僅掌握了使用計(jì)算機(jī)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的新手段，還感受到了計(jì)算機(jī)編程語(yǔ)言的獨(dú)有魅力，提高了學(xué)習(xí)興趣，鍛煉了數(shù)學(xué)思維，收獲了解決問(wèn)題的新思路。

3.項(xiàng)目式學(xué)習(xí)

項(xiàng)目式學(xué)習(xí)為跨學(xué)科綜合實(shí)踐活動(dòng)提供載體，是初中階段數(shù)學(xué)跨學(xué)科主題學(xué)習(xí)的主要方式?！稑?biāo)準(zhǔn)》提到，初中階段綜合與實(shí)踐活動(dòng)可采用項(xiàng)目式學(xué)習(xí)的方式，以問(wèn)題解決為導(dǎo)向，整合數(shù)學(xué)與其他學(xué)科的知識(shí)和思想方法，讓學(xué)生從數(shù)學(xué)的角度觀察與分析現(xiàn)實(shí)問(wèn)題。信息技術(shù)與數(shù)學(xué)聯(lián)系密切，計(jì)算思維與數(shù)學(xué)思維也都面向問(wèn)題解決，故在數(shù)學(xué)項(xiàng)目式學(xué)習(xí)中融入計(jì)算思維的內(nèi)容來(lái)發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維是可行的。

案例3：探索迷宮

解迷宮是現(xiàn)實(shí)世界中的難題，十分考驗(yàn)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。它既與數(shù)學(xué)中概率部分的枚舉法內(nèi)容相關(guān)，也與信息技術(shù)中的深度優(yōu)先遍歷內(nèi)容相關(guān)，故可以作為項(xiàng)目式學(xué)習(xí)的主題。如在浙教版數(shù)學(xué)教科書(shū)九年級(jí)上冊(cè)“事件的可能性”一課中，可引入迷宮的內(nèi)容，引導(dǎo)學(xué)生開(kāi)展項(xiàng)目式學(xué)習(xí)［13］。

（1）創(chuàng)設(shè)情境，呈現(xiàn)項(xiàng)目

通常可用枚舉法解決復(fù)雜的概率問(wèn)題（如圖4所示的書(shū)本例題3）。那么類(lèi)似的方法可不可以用在別處呢？例3像不像一個(gè)簡(jiǎn)單的迷宮？枚舉的方法可以解開(kāi)迷宮嗎？

教師以書(shū)本上的例題為切入點(diǎn)將其抽象為簡(jiǎn)單的迷宮，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用枚舉的方法列出所有可能的線路并走出迷宮。

（2）融入計(jì)算思維，拋磚引玉

既然簡(jiǎn)單的迷宮可以用枚舉的思想解決，那對(duì)于圖5這個(gè)現(xiàn)實(shí)中的復(fù)雜迷宮，枚舉法還適用嗎？如果不適用的話，還有什么更好的方法可以解決？在學(xué)生無(wú)法解決時(shí)，教師適時(shí)點(diǎn)撥：“一直沿著你右手邊的墻，就能走出去，你信不信？試試看?！?/p>

教師通過(guò)復(fù)雜迷宮的現(xiàn)實(shí)情境激起學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，以“一直沿著右手邊走”的點(diǎn)撥性話語(yǔ)引發(fā)學(xué)生思考，激發(fā)探究熱情，推進(jìn)項(xiàng)目式學(xué)習(xí)的進(jìn)程。

（3）分組探究，深入學(xué)習(xí)

其實(shí)這個(gè)方法就是深度優(yōu)先遍歷思想的運(yùn)用。教師可要求學(xué)生以小組為單位，通過(guò)網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)深度優(yōu)先遍歷的相關(guān)知識(shí)，繪制出該迷宮的二叉樹(shù)圖并解決該迷宮，思考在此學(xué)習(xí)過(guò)程中枚舉法的應(yīng)用。這是跨學(xué)科綜合實(shí)踐活動(dòng)的一次精彩嘗試。最后教師引導(dǎo)學(xué)生思考深度優(yōu)先遍歷與枚舉法的關(guān)聯(lián)，將跨學(xué)科內(nèi)容更好地運(yùn)用于解決數(shù)學(xué)問(wèn)題之中。

（4）成果展示，評(píng)價(jià)交流

教師請(qǐng)每組派一名代表匯報(bào)展示繪制的二叉樹(shù)和迷宮的最終解法，交流枚舉法應(yīng)用的心得。所謂深度優(yōu)先遍歷，其實(shí)就是一條路走到底，不撞南墻不回頭的思想：①分解。如圖6所示，將迷宮抽象為二叉樹(shù)，入口為第一個(gè)節(jié)點(diǎn)，每一條岔路為子節(jié)點(diǎn)。②模式識(shí)別。識(shí)別出迷宮中的每一條線路。③模式概括和抽象。將迷宮抽象成完整的二叉樹(shù)。④算法設(shè)計(jì)。使用深度優(yōu)先遍歷進(jìn)行求解。沿著一條路走到底，走不通就返回上一個(gè)節(jié)點(diǎn)，再?gòu)牧硪粭l路開(kāi)始走到底，以此類(lèi)推，直至走到出口，也就是第10個(gè)節(jié)點(diǎn)為止。

對(duì)于現(xiàn)實(shí)的迷宮而言，“一直沿著右手邊的墻走”就和一直沿著二叉樹(shù)的一條線路走是一樣的。當(dāng)碰到死路時(shí)就沿著右手邊的墻返回上一個(gè)岔路口，接著走下一條沒(méi)走過(guò)的路。其實(shí)這就是一種循環(huán)的過(guò)程，可以看出循環(huán)思想在遍歷的過(guò)程中也有運(yùn)用，我們把它叫作循環(huán)遍歷。

從這個(gè)例子可以看出，在數(shù)學(xué)問(wèn)題解決中可以多運(yùn)用循環(huán)遍歷的思想，如枚舉法。當(dāng)然這種枚舉還用到了其他的數(shù)學(xué)思維，如此題在將迷宮抽象成二叉樹(shù)的過(guò)程中，厘清節(jié)點(diǎn)和線路之間的關(guān)系便是從整體的角度考慮問(wèn)題，即劃分層級(jí)的思維。

在此項(xiàng)目式學(xué)習(xí)的過(guò)程中，學(xué)生在了解深度優(yōu)先遍歷思想的過(guò)程中對(duì)于枚舉法有了新的感悟，是利用計(jì)算思維解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的大膽嘗試。

（四）數(shù)學(xué)思維與計(jì)算思維何處是歸途？

計(jì)算思維雖源自計(jì)算機(jī)學(xué)科，卻可以用于其他任何學(xué)科。與計(jì)算機(jī)聯(lián)系最為密切的數(shù)學(xué)自然也不例外。數(shù)學(xué)思維與計(jì)算思維密不可分，計(jì)算思維以數(shù)學(xué)思維為基礎(chǔ)，并以計(jì)算機(jī)獨(dú)有的算力系統(tǒng)為數(shù)學(xué)思維中的思想的實(shí)現(xiàn)提供方法與支撐。兩者相互依存、相互促進(jìn)，故在數(shù)學(xué)教學(xué)中融入計(jì)算思維對(duì)數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)大有裨益。雖然思維方式的多樣性使得計(jì)算思維與數(shù)學(xué)思維的具體步驟不同，但計(jì)算思維與數(shù)學(xué)思維都是面向問(wèn)題解決的思維。在問(wèn)題解決能力被高度重視的今天，計(jì)算思維和數(shù)學(xué)思維應(yīng)攜手并進(jìn)，期待兩者的結(jié)合能給人工智能時(shí)代下的教育帶來(lái)新的火花。

參考文獻(xiàn)：

［1］朱哲，王敏霞. 人工智能時(shí)代的數(shù)學(xué)教育［J］. 中小學(xué)課堂教學(xué)研究，2023（6）：1-6.

［2］鄭毓信. 數(shù)學(xué)方法論入門(mén)［M］. 杭州：浙江教育出版社，2006：1.

［3］鄭毓信.“數(shù)學(xué)與思維”之深思［J］. 數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2015（1）：1-5.

［4］中華人民共和國(guó)教育部. 義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）［M］. 北京：北京師范大學(xué)出版社，2022：6．

［5］史寧中，林玉慈，陶劍，等. 關(guān)于高中數(shù)學(xué)教育中的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)：史寧中教授訪談之七［J］. 課程·教材·教法，2017（4）：8-14.

［6］KALLIA M，VAN BORKULO S P，DRIJVERS P，et al. Characterising computational thinking in mathematics education：a literature-informed Delphi study［J］. Research in mathematics education，2021（2）：159-187.

［7］孟鴻偉. 面向數(shù)字化未來(lái)的“計(jì)算思維”［J］. 中國(guó)教育信息化，2024（2）：3-12.

［8］WING J M. Research notebook：computational thinking：what and why？［J］. The link magazine，2011，6：20-23.

［9］SHUTE V J，SUN C，ASBELL-CLARKE J. Demystifying computational thinking［J］. Educational research review，2017，22：142-158.

［10］朱哲，陸吉健. 數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的學(xué)與教［J］. 中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2014（4）：9-11.

［11］朱雨軒，朱哲. 人工智能時(shí)代計(jì)算思維發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的價(jià)值：兼談對(duì)我國(guó)初中數(shù)學(xué)課程改革的啟示［J］. 中學(xué)數(shù)學(xué)雜志，2024（4）：1-6.

［12］張維忠，趙千惠. 澳大利亞初中數(shù)學(xué)教科書(shū)中的跨學(xué)科內(nèi)容［J］. 浙江師范大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2022（2）：233-240.

［13］唐恒鈞，陶慧嬋. 基于問(wèn)題鏈的數(shù)學(xué)文化項(xiàng)目式學(xué)習(xí)活動(dòng)設(shè)計(jì)：以“桿秤中的數(shù)學(xué)”為例［J］.中小學(xué)課堂教學(xué)研究，2022（9）：7-10.

（責(zé)任編輯：潘安）