摘要：APOS理論是一種具有數(shù)學(xué)學(xué)科特色的以建構(gòu)主義為基礎(chǔ)的學(xué)習(xí)理論，它將概念的教學(xué)分為活動（Actions）、過程（Process）、對象（Object）和圖式（Scheme）四個階段。基于APOS理論，開展大概念視角下小學(xué)數(shù)學(xué)單元整體教學(xué)設(shè)計，借助大任務(wù)、大問題驅(qū)動，將目標(biāo)具體化，構(gòu)建“課程→單元→單課”的下沉通道，通過分析學(xué)習(xí)主題，把握學(xué)習(xí)本質(zhì)；確定單元目標(biāo)，設(shè)計教學(xué)活動；制定評價方案，發(fā)揮導(dǎo)向作用，真正將核心素養(yǎng)目標(biāo)落實到每一節(jié)課中。

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué)；APOS理論；大概念視角；單元整體教學(xué)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022版）》強(qiáng)調(diào)重視單元整體教學(xué)設(shè)計，改變以往過于注重以課時為單位的教學(xué)，體現(xiàn)數(shù)學(xué)知識之間的內(nèi)在邏輯關(guān)系，以及學(xué)習(xí)內(nèi)容與核心素養(yǎng)的關(guān)聯(lián)。因此，大概念視角下的小學(xué)數(shù)學(xué)單元整體教學(xué)設(shè)計成為當(dāng)今一線數(shù)學(xué)教師研究的熱點。但這也對教師的專業(yè)能力提出更高的要求，他們迫切需要科學(xué)合理的專業(yè)理論指導(dǎo)。因此，將APOS理論引入單元整體教學(xué)，為廣大一線教師提供一定的參考與借鑒。

一、APOS%理論基本概述及其意義

APOS’理論是美國數(shù)學(xué)家杜賓斯基提出的一種具有數(shù)學(xué)學(xué)科特色的以建構(gòu)主義為基礎(chǔ)的學(xué)習(xí)理論，它將小學(xué)數(shù)學(xué)概念的教學(xué)分為活動（Actions）、過程（Process）、對象（Object）和圖式（Scheme）四個階段[1]?；顒与A段是學(xué)生經(jīng)歷學(xué)習(xí)活動的過程，目的是更好地感知概念、建立表象；過程階段是學(xué)生在經(jīng)歷活動階段后對經(jīng)歷的活動進(jìn)行思考和反思的過程，目的是抓住概念的本質(zhì)；對象階段是學(xué)生在經(jīng)歷操作和過程這兩個階段后，能夠?qū)⒆约簩σ獙W(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)概念賦予定義和符號化的過程，目的是達(dá)到精致化；圖式階段是學(xué)生在原認(rèn)知結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上，主動溝通聯(lián)系新學(xué)習(xí)概念的過程，目的是形成新的概念圖式。

APOS理論是針對數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)的建構(gòu)學(xué)習(xí)理論，能夠很好地幫助教師規(guī)劃“圖形的認(rèn)識與測量”主題概念課教學(xué)的順序和過程，對其教學(xué)具有指導(dǎo)意義。例如活動階段，強(qiáng)調(diào)通過學(xué)生外顯的觀察和動手操作或內(nèi)隱的思維活動，實現(xiàn)對概念的初步感知；過程階段，強(qiáng)調(diào)自主探究，反思總結(jié)實現(xiàn)對概念的理性思辨；對象階段，強(qiáng)調(diào)通過同化或順應(yīng)用自己的語言或者數(shù)學(xué)語言對概念進(jìn)行表征，達(dá)到概念的精致化；圖式階段強(qiáng)調(diào)建構(gòu)總體的知識網(wǎng)絡(luò)，建立概念與概念之間、概念內(nèi)部元素之間的聯(lián)系。通過這四個階段，學(xué)生經(jīng)歷動手操作、自主探究、問題解決、創(chuàng)造應(yīng)用等過程，有機(jī)結(jié)合概念的形成與同化，揭示概念的本質(zhì)屬性，建構(gòu)結(jié)構(gòu)化的概念圖式。

二、APOS理論指導(dǎo)小學(xué)數(shù)學(xué)單元整體教學(xué)的可行性分析

大概念視角下的單元整體教學(xué)設(shè)計，是以核心素養(yǎng)為導(dǎo)向，在主題的核心概念統(tǒng)領(lǐng)下，將碎片化的課時教學(xué)結(jié)構(gòu)化，實現(xiàn)學(xué)習(xí)內(nèi)容的整體性以及學(xué)習(xí)方法的系統(tǒng)性，以主題的核心概念為統(tǒng)領(lǐng)實現(xiàn)學(xué)科本質(zhì)的一致性，使學(xué)生形成知識與方法的遷移，最終實現(xiàn)核心素養(yǎng)的落地[2]。這與APOS理論的理念不謀而合，該理論重視數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中學(xué)生的主體性，強(qiáng)調(diào)教師以整體性視角設(shè)計學(xué)習(xí)活動。這四個階段是相互融合、交融并進(jìn)的一個整體，最終目標(biāo)是實現(xiàn)知識與技能的完整性、系統(tǒng)性。我們將研究APOS理論在單課時的經(jīng)驗，移植到單元教學(xué)的實踐，不斷更新迭代，探究APOS理論指導(dǎo)的大概念視角下小學(xué)數(shù)學(xué)單元整體教學(xué)設(shè)計與實施。它的實施路徑一般按照三步展開：分析學(xué)習(xí)主題，把握學(xué)習(xí)本質(zhì)；確定單元目標(biāo)，設(shè)計教學(xué)活動；制定評價方案，發(fā)揮導(dǎo)向作用。

三、大概念視角下小學(xué)數(shù)學(xué)單元整體教學(xué)設(shè)計說明

下面以蘇教版二年級上冊《厘米和米》單元為例，具體闡明：

（一）分析學(xué)習(xí)主題，把握學(xué)習(xí)本質(zhì)

根據(jù)單元內(nèi)容所屬的學(xué)習(xí)主題進(jìn)行分析，能更好地厘清學(xué)科本質(zhì)，有利于整體把握單元和系列單元?！独迕缀兔住肥翘K教版二年級上冊的內(nèi)容，屬于圖形的認(rèn)識與測量這一學(xué)習(xí)主題?！秷D形的認(rèn)識與測量》的課程內(nèi)容要求是：學(xué)生在經(jīng)歷統(tǒng)一度量單位的過程中，感受統(tǒng)一度量單位的意義；基于度量單位理解長度、角度、周長、面積、體積等；在推導(dǎo)一些常見的圖形周長、面積、體積計算方法的過程中，感受數(shù)學(xué)度量方法，逐步形成量感和推理意識。

因此，《厘米和米》屬于“度量”大概念的內(nèi)容。度量在小學(xué)數(shù)學(xué)中包括數(shù)量、長度、角度、面積、體積、人民幣、時間、質(zhì)量等的度量?！独迕缀兔住肥恰伴L度”這一內(nèi)容的種子單元。但是從“度量”大概念教學(xué)的角度來考慮，之前學(xué)生已經(jīng)接觸過“數(shù)量是計數(shù)單位的累加”，也有了一定的知識經(jīng)驗積累，對本單元繼續(xù)體會“長度是長度單位的累加”奠定了基礎(chǔ)，所以本單元實則是“度量”大概念教學(xué)中的生長單元。

在這部分內(nèi)容中可以體現(xiàn)如下的數(shù)學(xué)大概念：

1.度量是對現(xiàn)實生活中事物某方面屬性大小的刻畫；2.度量方法和度量單位的選取源于實際生活的需要；3.度量的本質(zhì)是統(tǒng)一單位的不斷累積。

本單元主要涉及量感、空間觀念、推理意識等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)和思想方法，教師需站在大概念教學(xué)的視角下，把握度量的核心內(nèi)容及研究的思想方法，架構(gòu)起連接知識和數(shù)學(xué)素養(yǎng)的橋梁。

（二）確定單元目標(biāo)，設(shè)計教學(xué)活動

在整體分析單元內(nèi)容的基礎(chǔ)上，制定指向核心素養(yǎng)的教學(xué)目標(biāo)，設(shè)計結(jié)構(gòu)化的教學(xué)活動。

確定單元目標(biāo)。單元目標(biāo)基于以上對“度量”主題的整體建構(gòu)，結(jié)合新課標(biāo)的要求，設(shè)計了如下單元教學(xué)目標(biāo)：

1.-在實踐活動中認(rèn)識長度單位“厘米”和“米”，初步建立1厘米和1米的長度觀念，知道“1米=100厘米”，初步認(rèn)識線段，培養(yǎng)學(xué)生直觀想象能力，養(yǎng)成尊重客觀事實，實事求是的科學(xué)態(tài)度。

2.經(jīng)歷用不同的方法測量物體長度的過程，感受度量單位產(chǎn)生和統(tǒng)一度量標(biāo)準(zhǔn)的必要性；融入數(shù)學(xué)史了解度量文化的多元性、發(fā)展性和統(tǒng)一性，培養(yǎng)空間觀念和推理意識；養(yǎng)成鍥而不舍的探索精神。

3.能用刻度尺正確測量物體的長度（限整厘米數(shù)），能畫指定長度的線段；理解度量本質(zhì)是度量單位的累加，能根據(jù)實際情況選擇合適的測量工具和長度單位，提升度量自覺、精準(zhǔn)度量的度量意識和能力；通過估測，形成初步的估測意識和能力。

4.-在具體的測量活動中，養(yǎng)成做事嚴(yán)謹(jǐn)、細(xì)致的數(shù)學(xué)品格，體驗合作學(xué)習(xí)的興趣，增強(qiáng)對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的信心。

設(shè)計教學(xué)活動。單元整體架構(gòu)教學(xué)實施過程中由課時教學(xué)走向大概念單元整體設(shè)計，注重單元整體構(gòu)架，課時設(shè)計圍繞單元育人目標(biāo)和整體構(gòu)建展開，在種子課、生長課、衍展課和盤點課中開展豐富多樣的活動發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)，架構(gòu)起連接知識和數(shù)學(xué)素養(yǎng)的橋梁。

1.-首先是種子課的設(shè)計?；顒?：“在古代沒有尺子，怎么表達(dá)桌子的長度呢？”學(xué)生有的說“有4支彩筆那么長”，有的說“有兩個數(shù)學(xué)課本那么長”，有的說“有4拃那么長”，學(xué)生都很有想法，這正是歷史初期借助具體事物進(jìn)行度量的階段。盡管學(xué)生想辦法表達(dá)出了桌子的長度，但是尋找的標(biāo)準(zhǔn)不同，每個人的表達(dá)方式不一樣，溝通、交流起來依然很困難。

這時適時給學(xué)生講“長度度量的歷史”，《史記》中的“禹身為度”，孔子家語中的“布指知寸”，首次在國內(nèi)統(tǒng)一了測量工具，到不同歷史時期、不同國度文化影響下的度量標(biāo)準(zhǔn)，感受文化的多元性，引導(dǎo)學(xué)生體會“統(tǒng)一度量標(biāo)準(zhǔn)”的必要性，引入對長度單位“厘米”的認(rèn)識。再“用1厘米測量”鉛筆或小棒的長度，然后“連接符號”創(chuàng)造小尺子，最后出示常見的“測量工具”，即常用的直尺或卷尺，繼而解決“怎樣測量書桌的長度”的問題。最后運(yùn)用所掌握的方法對身邊其他事物進(jìn)行測量，實踐體驗中又產(chǎn)生了新問題：較長的物體（例如黑板的長度）再用厘米測量比較麻煩。

整節(jié)課中，學(xué)生在活動、過程、對象、圖式各階段中充分操作與體驗，經(jīng)歷了完整的測量及確定單位的過程，從“多元”到“統(tǒng)一”，從“非標(biāo)準(zhǔn)”到“標(biāo)準(zhǔn)”，學(xué)習(xí)內(nèi)容層層遞進(jìn)螺旋上升，逐步發(fā)展量感、空間觀念和推理意識。

2.第二節(jié)生長課———《米的認(rèn)識》。本節(jié)課的大任務(wù)是上節(jié)課的遺留問題：黑板的長度是多少？學(xué)生用一把15厘米的尺子去測量黑板的長度，感悟測量的麻煩，在自主探究、合作交流中感受較大長度單位“米”產(chǎn)生的必要性。此時介紹度量標(biāo)準(zhǔn)“米”中的文化，引導(dǎo)學(xué)生感受數(shù)學(xué)知識的產(chǎn)生源于人們表達(dá)世界的需求，體會知識產(chǎn)生的必要性以及數(shù)學(xué)與生活的密切聯(lián)系。

接下來，通過多種方式體驗“1米有多長”。

活動2：“我們的身體里也有1米，你能做個1米的樣子嗎？”學(xué)生自然而然想到張開雙臂。同桌互相量一量。

活動3：“豎著觀察從地面到你身體的哪里大概是1米?！币龑?dǎo)學(xué)生先猜測貼上標(biāo)簽，再利用米尺量一量，看看估量的是否準(zhǔn)確，不準(zhǔn)確再調(diào)整，在估測中形成初步的估測意識和能力。

活動4：自己動手制作米尺，課后完成。

活動5：找一找生活中長度大約是1米的物體。通過集體活動交流、親身動手實踐，進(jìn)一步幫助學(xué)生理解“米”的具體含義，建立起1米的表象。

度量標(biāo)準(zhǔn)建立之后，開展“我是小小測量員”活動，在實踐中進(jìn)一步鞏固測量的方法，并能根據(jù)實際情況選擇合適的測量工具和長度單位，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的量感和空間觀念，增長學(xué)生的生活智慧。

整節(jié)課中，教師組織各種操作活動，使學(xué)生親身參與其中。通過觀察、動手操作、實驗探究等外顯性的活動和回憶、猜想、推理等內(nèi)隱性的活動，學(xué)生對經(jīng)歷的活動不斷反思內(nèi)化，在鞏固原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中“厘米”概念的基礎(chǔ)上，豐富對新獲得的概念“米”的理解，建立兩者聯(lián)系，形成新的綜合認(rèn)知網(wǎng)絡(luò)。

3.第三節(jié)“衍展課”———《我們身上的小尺子》。通過播放繪本，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識一拃長、一腳長、一步長、一庹長這四個身上的小尺子。借助繪本故事，提出問題“用身體測量大樹有多粗”。學(xué)生提出可以抱一抱大樹，就是一庹長，不夠的再用一拃長來測量，這不僅為之后其他長度單位的學(xué)習(xí)種下種子，更是滲透著“化曲為直”的數(shù)學(xué)思想。

雖然是二年級學(xué)生，也可以引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷提出問題、制定計劃、解決問題、總結(jié)反思的完整過程。實踐中，可能遇到以下系列問題，“用哪種尺子量呢（直尺還是米尺）？”“怎樣進(jìn)行精確的測量呢（使用尺子的技巧）？”“一庹長自己能獨立測量嗎（分組協(xié)作更高效）？”“測量一次得到的數(shù)據(jù)準(zhǔn)確嗎？”“不同人的一拃長、一庹長一樣長嗎？”在活動中發(fā)現(xiàn)問題并調(diào)整反思。

課下引導(dǎo)學(xué)生續(xù)寫繪本故事，將實踐活動向課外延伸，學(xué)生能利用身上的小尺子進(jìn)行估量，再利用尺子測量，在活動中體驗數(shù)學(xué)應(yīng)用于實踐的樂趣。

4.第四節(jié)“盤點課”。APOS理論重視學(xué)生概念圖示的建構(gòu)，盤點課的意義正是如此。通過對整個單元進(jìn)行總結(jié)和整理，理解度量的本質(zhì)就是度量單位的累加，與之前學(xué)過的物體的數(shù)量就是計數(shù)單位的累加是一致的，重視知識網(wǎng)絡(luò)的構(gòu)建，思維方法的梳理。在測量解決問題的同時也提出新的問題，遇到測量不是整厘米、整米的物體怎么辦呢？產(chǎn)生通過“細(xì)分”創(chuàng)造“更小長度標(biāo)準(zhǔn)”的需求，為后續(xù)學(xué)習(xí)毫米、分米的認(rèn)識奠定基礎(chǔ)，也與接下來學(xué)習(xí)的除法、分?jǐn)?shù)、小數(shù)中的細(xì)分思想又有著異曲同工之妙，通過盤點課理出脈絡(luò)，溝通起知識之間的聯(lián)系，真正把大概念單元教學(xué)落到實處。

（三）制定評價方案，發(fā)揮導(dǎo)向作用

在單元整體教學(xué)背景下，數(shù)學(xué)教學(xué)呈現(xiàn)出較強(qiáng)的聯(lián)系性和系統(tǒng)性，因此教師要及時引導(dǎo)學(xué)生對數(shù)學(xué)單元教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行歸納總結(jié)，并對學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)開展多樣化的教學(xué)評價，夯實課堂教學(xué)成效[3]。因此，本單元采取個人評價、生生互評、師生評價相結(jié)合的方式，注重過程性評價和終結(jié)性評價。結(jié)合本單元的活動，設(shè)計了課堂自我評價表、活動報告評價表、小組成員互評表等，不僅關(guān)注學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的結(jié)果，知識技能的掌握，更關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)過程、學(xué)習(xí)態(tài)度、學(xué)習(xí)習(xí)慣以及團(tuán)隊合作的能力。

泰勒指出，評價方法的開發(fā)不是單純的技術(shù)問題，而是不斷完善教育實踐的根本性活動。因此，我們一直致力于“核心素養(yǎng)題”的開發(fā)，通過回顧表達(dá)數(shù)量和描述長度的過程，發(fā)現(xiàn)數(shù)量是計數(shù)單位的累加，長度是長度單位的累加，理解度量的本質(zhì)就是度量單位的累加，打通前后知識的壁壘，溝通知識間的聯(lián)系，在解決問題的過程中，考核和了解學(xué)生核心素養(yǎng)的形成和發(fā)展。

APOS理論指導(dǎo)的大概念視角下小學(xué)數(shù)學(xué)單元整體教學(xué)的精髓在于借助大任務(wù)、大問題驅(qū)動，將目標(biāo)具體化，構(gòu)建“課程→單元→單課”的下沉通道，從而真正將核心素養(yǎng)目標(biāo)落實到每一節(jié)課中。同時又強(qiáng)調(diào)學(xué)習(xí)的真實性，引導(dǎo)學(xué)生將學(xué)校所學(xué)知識遷移到現(xiàn)實世界中去，變“寬而淺”的學(xué)習(xí)為“少而深”的學(xué)習(xí)。

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編輯/楊馥毓