摘要：小數(shù)除法教學應滲透大單元整合理念，做到以理驅法，實現(xiàn)運算一致性?？梢苑秩齻€環(huán)節(jié)，一是基于大單元整合理念盤活教材，組成新的序列為教學的高效奠基。二是通過細致前測，依據學生真實學情而定對策。三是通過針對性較強的教學實踐解決學生碎片化學習問題，促使學生舉一反三，遷移應用，體會運算一致性的優(yōu)勢，培養(yǎng)學生的大單元整合意識。

關鍵詞：小學數(shù)學；小數(shù)除法；大單元整合；運算一致性

所謂“運算一致性”，就是算理算法相互貫通。強調運算一致性，其實質是“探究知識本質、建構知識關聯(lián)、感悟思想方法”[1]。部分小學生之所以視數(shù)學為“猛虎”，就是因為缺乏對數(shù)學本質的探究，缺乏“用一根線把散亂的知識串在一起”的關聯(lián)意識，缺乏對數(shù)學方法的感悟、理解與掌握。這就需要教師運用大單元整合理念，通過整體構建與結構化合攏發(fā)現(xiàn)算理算法的聯(lián)系點與一致性，演繹運算一致性的精彩。大單元整合從整體視野出發(fā)，重在體現(xiàn)完整教學過程的課程細胞，通過相對完整的單元總設計與學習，完成前后知識的銜接、勾連與遷移，達到舉一反三或舉三反一的目的。如何進行關聯(lián)性開發(fā)，如何通過整體學習將“零散割裂”的算理算法貫通在一起，如何實現(xiàn)由碎片化學習到整體性學習的轉變，無不需要大單元整合理念的深度滲透。下面僅以人教版小學數(shù)學五年級上冊“小數(shù)除法”單元教學為例進行探析。

一、梳理教材尋找支點

葉圣陶“教材只是例子”的說法同樣適合于數(shù)學教學。如果教師一味地“唯教材是從”“單薄”式解讀教材，那么，教學的封閉、課堂教學的費時低效也就不足為怪；如果教師缺乏大單元整合意識，那么，“點”與“點”之間就容易出現(xiàn)“斷層”，算理與算法就不容易貫通。因此，基于大單元整合理念梳理教材尋找支點不可或缺。數(shù)學學習中的支點，指向邏輯關聯(lián)，指向本質勾連，指向運算一致性。

人教版小學數(shù)學五年級上冊“小數(shù)除法”單元是繼之前的整數(shù)除法、小數(shù)的意義和性質的學習之后而安排的，前后應該是一個循序漸進的系統(tǒng)過程。五個例題基本涵蓋了小數(shù)除法的各種類型。其中“小數(shù)除以整數(shù)”，完全可以按照整數(shù)除法的相應規(guī)則進行計算，提醒學生注意小數(shù)點位置的處理即可?！耙粋€數(shù)除以小數(shù)”，仍然可以遷移整數(shù)除法中的算法與算理，將“商不變的性質”進行成功遷移?！吧痰慕茢?shù)”要求學生會用“四舍五入法”截取近似值?！把h(huán)小數(shù)”則需要學生通過有限小數(shù)與無限小數(shù)的對比理解，引入“循環(huán)節(jié)”的概念。最后的“用計算器探索規(guī)律與解決問題”，則在學生的歸納、理解與解決真實問題方面下功夫。整數(shù)除法與小數(shù)除法最關鍵的區(qū)別在于小數(shù)點，因而根據小數(shù)點處理方法的不同，基于大單元整合理念，我們可將五個例題整合為兩個序列：除數(shù)是整數(shù)和除數(shù)是小數(shù)的小數(shù)除法。前者可以直接遷移整數(shù)除法的算理與算法，后者是前者的變式。無論是整數(shù)除法，還是小數(shù)除法，其算理是相同的，那就是：一定要平均分，計數(shù)單位分到多么細微的地步，還是要把余數(shù)的計數(shù)單位變小合并到下一個數(shù)位繼續(xù)平均分?？梢?，“厘清小數(shù)除法的算理，是貫通整數(shù)除法和小數(shù)除法的支點”[2]。新組合后的兩個序列如下（見圖1）。

這樣兩個序列的實質是用算理貫穿算法，其背后的理念支撐是大單元學習。如果前期學生對整數(shù)除法中“將計數(shù)單位不斷細分”這一概念掌握得不好，那么，小數(shù)除法練習中易錯點的出現(xiàn)也就不足為怪。因此，滲透大單元整合理念，理解小數(shù)除法與整數(shù)除法的一致性，是高效學習小數(shù)除法的前提。

二、結合學情找準切入點

新的課程理念與課改強調以生為本?！氨尽卑ㄋ袑W生的具體學情。就小數(shù)除法的學習而言，包括教材實際是否基于學生實情，是否基于學生的學習起點等。

（一）去繁存簡，算式導入

悉心分析人教版教材中的“跑步的情境”，我們有一些新的思考?！芭懿降那榫场敝赶颉扒着c米”的單位換算，并未指向除法的算理與算法。我們舍棄這個情境，直接用兩份前測問卷，對學生的學習實情進行診斷。

1.子涵用44.8元買了8個筆記本，那么，每個筆記本的價格是多少？請寫出算式、過程及理由。2.算出下面算式的商并寫出過程及理由：44.8÷8=（）。

隨后，我們抽取五一班與五二班的學生進行前測計，發(fā)現(xiàn)平均正確率超過了97%，其中一個班達到了100%。這說明學生對于簡單的小數(shù)除法已經掌握，實現(xiàn)了由抽象到形象計算的轉變。既然如此，“跑步情境”所起到的作用微乎其微，完全可以舍棄，可以直接從運算的一致性進行導入。

（二）透析起點，構想策略

教師不能滿足于前測一與前測二中“100%”正確率的驚喜。畢竟，能夠正確計算44.8÷8的算法，并不意味著就掌握了所有小數(shù)除法的算理與算法。學生的學習起點、前知識結構、算理與算法的貫通等究竟處在一個什么樣的層次上，還需進一步的前測與透析。我們用算式“16÷5”進行第三次前測，要求學生表述算理與算法。在此基礎上通過細化進行等級分析（見表1）。

由上觀之，大部分學生計算正確，但無法完整表達算理與算法。僅靠量感與口算，無法為運算一致性的掌握而助力。另外，獨立完整表述算理與算法，對于五年級的學生有一定的困難。于是，基于大單元整合理念而進行整體性遷移與內化，為學生搭建支架，最終鋪就運算一致性之路，就成為學習小數(shù)除法的一個基本視點。

三、教學實踐過程

前測結果已經很明晰，針對實際學情采取較強針對性的措施成為關鍵環(huán)節(jié)。教師應基于大單元整合理念，重構教學框架，把整體性思想滲透到教學的每一個細微處。

（一）口算引入，感受認知沖突

二年級學生學習整除除法時，除不盡時用余數(shù)。現(xiàn)在五年級了，受其影響，不少學生還是用余數(shù)表示。既然如此，教師很有必要引領學生將余數(shù)形式轉變?yōu)樾?shù)形式，實現(xiàn)知識上的遷移。復習二年級的知識，這已經不是“大單元”，而是“跨單元”“跨年級”。教師應實現(xiàn)由單薄斷層到有機聯(lián)系的過渡，從運算一致性上重構教學框架。

比如，口算16÷5，9÷4。根據二年級所學知識，學生得出結論：“3……1”與“2……1”。教師質疑：“五年級了，我們還要用余數(shù)表示嗎？我們已經學過小數(shù)，那么，能否把這個‘1’通過小數(shù)進行細分，能否在一個更小的單位上平均分呢？”

由整數(shù)除法引入，將整數(shù)、小數(shù)融在一起，做到了上掛下聯(lián)，前后關聯(lián)，啟發(fā)學生質疑余數(shù)“1”，進而過渡到小數(shù)除法，顯得自然而然，做到了運算一致性。上述口算題看似簡單，實則是整數(shù)除法到小數(shù)除法的過渡。教師應該基于大單元整合理念，引領學生由此及彼進行知識勾連、前后關聯(lián)和整體把握。

（二）多元表征，體會算理理解

如何巧妙處理余數(shù)“1”，仍然需要大單元整合理念。1÷5究竟是0.2還是0.02，需要貫通整數(shù)除法以及小數(shù)除法的算理。我們的做法是通過多元表征，融會貫通，讓學生體會算理，體會運算一致性，做到知識的遷移與應用。

學生用豎式計算出商后，教師及時發(fā)問：請大家觀察豎式，與過去學習的整數(shù)除法比較一下有什么不同？是不是余數(shù)變大了？由“1”變?yōu)椤?0”了？因為有了小數(shù)點的加入，這個“10”所代表的意義就不一樣了？你是如何理解的？請把自己的想法畫出來（見圖2）。

經過仔細觀察，教師與其他同學理解這個同學的想法：10個0.1除以5，結果是2個0.1，如此，哪里應該點上小數(shù)點，2應該寫在什么位置上，2個0.1意味著什么，自然就一目了然了。

可以發(fā)現(xiàn)，上述過程隱含著可遷移的思路：將小數(shù)問題轉化為整數(shù)問題進行思考與解決，即將未知轉化為已知。而這，正是運算一致性的具體體現(xiàn)。其中的前提是：小數(shù)除法與整數(shù)除法的算理是一樣的，都離不開除法“平均分（不斷細分）”這樣的本質。尤其值得提倡的是引領學生“畫出自己的想法”這一環(huán)節(jié)，彰顯著我們對學生的信任———師生能夠從學生喜歡的方式中發(fā)現(xiàn)問題，分析問題，解決問題。這給我們一個提醒：鼓勵學生經常性地進行多元表征，必能讓學生的思維好好伸展。

（三）遷移推理，感受運算本質

學生理解了把幾個一轉化成幾十個十分之一，那么，碰到更多“數(shù)要細分”并且“平均”分時怎么辦？能否舉一反三，掌握能夠貫通所有小數(shù)除法的普遍的算理呢？于是，進一步遷移推理就成為鞏固小數(shù)除法學習中的應然。

引領學生認真觀察豎式（見圖3），針對其中的“10”與“20”，教師提出質疑：“這里的10與20表示什么呢？”顯然，學生能夠很快得出結論：“是因為0.1不夠分了，所以要變成新的計數(shù)單位繼續(xù)分?！彼^“變成新的計數(shù)單位”就是再次添0。以此類推，0.01、0.001等的出現(xiàn)就是必然的，直到解決問題。教師趁機進行結構性合攏：“整數(shù)除法的本質是什么？不就是計數(shù)單位不斷細分的過程嗎？整數(shù)除法與小數(shù)除法兩者的本質是一樣的，只不過小數(shù)除法增加了小數(shù)點的位置與如何添0的問題?！?/p>

這樣的遷移推理基于本單元而超越于本單元，體現(xiàn)出整數(shù)、小數(shù)除法運算的一致性，算理、算法融為一體，并且做到了以理驅法，完成碎片化學習到結構化學習的過渡。針對那些對整數(shù)除法掌握不扎實，同時小數(shù)除法練習中經常點錯小數(shù)點、漏0或者多0的學困生，這樣的遷移推理尤為重要。教師應該多多關注學困點，引領學生在有意義的遷移中體會運算一致性的作用，一點一滴地提升其數(shù)學學習力。

（四）對比梳理，凸顯算理一致

利用“商不變的性質”，學生在小數(shù)除法與整數(shù)除法中很容易地進行轉換。既然“被除數(shù)和除數(shù)同時除以相同的數(shù)（0除外）后商不變”，那么，碰到稍難或者不能立即“看出眉目”的題型，學生完全可以通用這一性質，將未知問題轉化為已知問題（將小數(shù)除法轉為整數(shù)除法問題）進行對比梳理。而這，同樣離不開大單元整合意識。

1.計算并觀察1.6÷0.5和16÷5的商，學生積累了一個經驗：除數(shù)是小數(shù)的除法，利用“商不變的性質”轉化為整數(shù)除法的形式，可以輕松解決。

2.搜集并展示部分學生完成的幾組算式（包括錯題），引領所有學生對比觀察，從中發(fā)現(xiàn)算理及算法，進一步理解“商不變的性質”（見圖4）。

三個對比算式的梳理中，從9÷0.4到90÷4，就是運用了商不變的性質。顯然，上述過程中從9÷0.4到90÷0.4就與“商不變的性質”形成矛盾。學生不難發(fā)現(xiàn)，后者沒有做到“同時”二字。由此，學生進一步理解了除法的基本性質，理解了運算一致性的優(yōu)勢。對比梳理中，不同章節(jié)的知識點在一個更整體的角度上得到了整合，知識樹漸漸形成，大單元整合的意義得到了充分的體現(xiàn)。

可見，引領學生始終以理驅法，體會運算一致性，能夠“促使學生形成科學嚴謹?shù)乃季S習慣，培養(yǎng)推理意識”，更重要的是培養(yǎng)學生的遷移意識、單元整合意識及整體思想[3]。在一個更大的視野中將知識要素進行整合，發(fā)現(xiàn)其內在機理與普遍規(guī)律，實現(xiàn)運算一致性，學生視數(shù)學如“猛虎”的現(xiàn)象將不復存在。

參考文獻：

[1] 王玉彬，姚穎.探索運算本質構建運算聯(lián)系[J].小學數(shù)學教育，2022（5）.

[2] 侯燕妍.以理驅法，體會運算一致性[J].教學月刊（小學版），2023（1-2）.

[3] 馮玉新.注重“一致”整體施教貫通“理法”促進學習[J]. 福建教育，2023（1）.

編輯/趙卓然