摘"要：數(shù)學(xué)概念教學(xué)是指在數(shù)學(xué)教學(xué)中，通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生理解和掌握基本的數(shù)學(xué)概念，將數(shù)學(xué)知識(shí)組成一系列有意義的命題進(jìn)行教學(xué).命題是數(shù)學(xué)中的基本單位，概念與命題教學(xué)在高中占據(jù)主要的地位.本文基于個(gè)體的CPFS結(jié)構(gòu)，給出復(fù)習(xí)等比數(shù)列通項(xiàng)公式的教學(xué)設(shè)計(jì)，以求讓學(xué)生學(xué)習(xí)完本課時(shí)內(nèi)容后，對(duì)等比數(shù)列的概念以及性質(zhì)有更清晰、整體的認(rèn)識(shí)，幫助學(xué)生形成良好的CPFS結(jié)構(gòu)，并探索概念教學(xué)與命題教學(xué)的策略.

關(guān)鍵詞：概念教學(xué)；命題教學(xué)；CPFS結(jié)構(gòu)；等比數(shù)列

個(gè)體CPFS結(jié)構(gòu)是喻平教授2003年提出的，是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中特有的認(rèn)知結(jié)構(gòu).CPFS結(jié)構(gòu)由四個(gè)概念組成：概念域（concept field）、概念系（concept system）、命題域（proposition field）、命題系（proposition system）.［1］CPFS結(jié)構(gòu)理論從學(xué)生學(xué)習(xí)心理和數(shù)學(xué)命題自身特點(diǎn)出發(fā)，將學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)命題的心理過(guò)程分為三個(gè)階段：命題的獲得、命題的證明、命題的應(yīng)用.［2］其中一種教學(xué)結(jié)構(gòu)如圖1所示.

學(xué)生在學(xué)習(xí)知識(shí)時(shí)，如果能將新舊知識(shí)很好地聯(lián)系起來(lái)，形成概念域和命題域，那么他就具備良好的CPFS結(jié)構(gòu)，就能很好地運(yùn)用知識(shí)或者進(jìn)行知識(shí)遷移.所以教師在教學(xué)生時(shí)，要幫助學(xué)生建立完備的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，使學(xué)生形成良好的CPFS結(jié)構(gòu)，這樣有助于學(xué)生理解知識(shí)，培養(yǎng)核心素養(yǎng)與數(shù)學(xué)能力.

1"教學(xué)分析

1.1"教材及學(xué)情分析

等比數(shù)列是蘇教版《普通高中教科書(shū)數(shù)學(xué)必修第五冊(cè)（2012年版）》第2.3節(jié)的內(nèi)容.從本節(jié)課內(nèi)容在教材中所處的地位來(lái)看，它在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中發(fā)揮著承上啟下的作用，它是繼等差數(shù)列后又一類(lèi)特殊的數(shù)列，也是函數(shù)相關(guān)知識(shí)的進(jìn)一步延伸.［4］掌握了等比數(shù)列的概念和通項(xiàng)公式，有利于學(xué)生進(jìn)一步研究等比數(shù)列的性質(zhì)及前n項(xiàng)和的公式的推導(dǎo)和應(yīng)用，提高學(xué)生利用數(shù)列知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力，并起到培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)的作用.

本節(jié)課的授課對(duì)象是高二學(xué)生，作為復(fù)習(xí)課，學(xué)生已經(jīng)學(xué)完了等差數(shù)列和等比數(shù)列，掌握了兩個(gè)數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和及其性質(zhì)，對(duì)于一般數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和也有一定的了解.但是學(xué)生對(duì)數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系以及通項(xiàng)公式和求和公式的理解還停留在表面階段，對(duì)這些公式的內(nèi)在聯(lián)系還模糊不清，沒(méi)有形成結(jié)構(gòu)化的認(rèn)知體系，沒(méi)有形成等比數(shù)列這個(gè)知識(shí)的概念域和命題域.因此在本節(jié)的教學(xué)中要進(jìn)一步引領(lǐng)學(xué)生形成對(duì)知識(shí)的結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí).

1.2"教學(xué)重難點(diǎn)

教學(xué)重點(diǎn)：等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其性質(zhì)；遞推式的構(gòu)造方法.

教學(xué)難點(diǎn)：深化對(duì)概念的理解，對(duì)特殊遞推數(shù)列的構(gòu)造、推導(dǎo)及證明過(guò)程.

2"教學(xué)目標(biāo)及教學(xué)策略分析

2.1"教學(xué)目標(biāo)

（1）關(guān)鍵能力：數(shù)學(xué)抽象，邏輯推理，數(shù)學(xué)運(yùn)算（見(jiàn)表1）.

（2）數(shù)學(xué)抽象2級(jí)水平，邏輯推理2級(jí)水平，數(shù)學(xué)運(yùn)算1級(jí)水平.

（3）通過(guò)等比數(shù)列在生活中的體現(xiàn)及實(shí)際應(yīng)用培養(yǎng)學(xué)生的品格與價(jià)值觀.

2.2"教學(xué)策略分析

（1）啟發(fā)式教學(xué)，以問(wèn)題引領(lǐng)學(xué)生探究.

（2）引導(dǎo)學(xué)生從點(diǎn)到面地分析問(wèn)題，將數(shù)列特殊化，研究遞推公式.

（3）從“數(shù)”的角度進(jìn)行公式的推導(dǎo)，從“形”的角度對(duì)公式進(jìn)行直觀解釋.

（4）引導(dǎo)學(xué)生對(duì)比、總結(jié)數(shù)列遞推式的特點(diǎn)，體會(huì)數(shù)學(xué)的規(guī)律美和相似美.

3"教學(xué)過(guò)程

3.1"復(fù)習(xí)回顧，梳理知識(shí)

問(wèn)題1"等差數(shù)列和等比數(shù)列的定義是什么？

問(wèn)題2"等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式是什么？

問(wèn)題3"學(xué)習(xí)一個(gè)數(shù)列，需要學(xué)習(xí)它的哪些內(nèi)容？

【設(shè)計(jì)意圖】以上三個(gè)問(wèn)題，一方面是了解學(xué)生對(duì)已學(xué)知識(shí)的掌握情況，初步判斷學(xué)生是否建立了等差數(shù)列與等比數(shù)列之間的聯(lián)系，另一方面是以問(wèn)題鏈的形式先帶領(lǐng)學(xué)生回顧等差數(shù)列和等比數(shù)列的基本定義及通項(xiàng)公式，為下面展示新的遞推式奠定基礎(chǔ).

3.2"展示命題，提出問(wèn)題

教師在黑板上展示式子

an+1=pan+q.

【設(shè)計(jì)意圖】筆者設(shè)計(jì)教學(xué)的目標(biāo)核心是幫助學(xué)生建立良好的CPFS結(jié)構(gòu)，建構(gòu)過(guò)程的起點(diǎn)就是要教師拋出命題或者概念，繼而開(kāi)始引導(dǎo)學(xué)生探究學(xué)習(xí).該遞推式本身的結(jié)構(gòu)以及求解通項(xiàng)公式的方法與等比數(shù)列密切相關(guān)，以此作為本節(jié)課研究的命題，有助于學(xué)生體會(huì)到由等比數(shù)列到類(lèi)等比數(shù)列的生長(zhǎng)過(guò)程，在學(xué)習(xí)后，建構(gòu)起等比數(shù)列的良好的CPFS結(jié)構(gòu).

問(wèn)題1"黑板上的是一個(gè)怎樣的式子？

追問(wèn)1"數(shù)列的遞推關(guān)系式是體現(xiàn)怎樣的關(guān)系的？

追問(wèn)2"那我們之前有沒(méi)有遇到過(guò)這樣的遞推關(guān)系式呢？

【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)這個(gè)問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生建立數(shù)列遞推關(guān)系式和數(shù)列通項(xiàng)公式之間的聯(lián)系.由這個(gè)公式開(kāi)始今天的授課內(nèi)容，也可以引導(dǎo)學(xué)生建立良好的個(gè)體CPFS結(jié)構(gòu)意識(shí).

問(wèn)題2"既然通過(guò)遞推關(guān)系式能夠求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，那么同學(xué)們觀察一下黑板上的這個(gè)式子，它是否是我們學(xué)過(guò)的數(shù)列？能否求出它的通項(xiàng)公式？

【設(shè)計(jì)意圖】學(xué)生還無(wú)法通過(guò)目前掌握的數(shù)列知識(shí)求出這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式，但通過(guò)這個(gè)問(wèn)題自然地引出了下面的探究活動(dòng)，激發(fā)了學(xué)生的探究欲望與學(xué)習(xí)興趣，便于正式開(kāi)展教學(xué)活動(dòng).

3.3"設(shè)置活動(dòng)，觀察分析

3.3.1"活動(dòng)1：遞推關(guān)系式的特點(diǎn)探究

問(wèn)題1"大家討論完發(fā)現(xiàn)這個(gè)不是我們學(xué)過(guò)的等差或等比數(shù)列，要求它的通項(xiàng)公式好像無(wú)從下手，那不妨我們先簡(jiǎn)化一下問(wèn)題.大家可以觀察式子中的參數(shù)p和q，當(dāng)它們?nèi)∫恍┨厥庵档臅r(shí)候，關(guān)系是否變得簡(jiǎn)單了？比如q=0時(shí)，它是一個(gè)什么數(shù)列？

追問(wèn)1"同學(xué)們還能發(fā)現(xiàn)p，q取哪些值的時(shí)候，它是一個(gè)特殊的數(shù)列呢？

【設(shè)計(jì)意圖】面對(duì)一個(gè)全新的數(shù)列或者遞推式，學(xué)生在處理起來(lái)往往會(huì)無(wú)從下手，筆者為了簡(jiǎn)化問(wèn)題，通過(guò)問(wèn)題1的設(shè)置，引導(dǎo)學(xué)生從特殊到一般去研究問(wèn)題，先由特殊情況研究式子的特點(diǎn).

生1：當(dāng)p=1時(shí)，式子變成了an+1=an+q，即an+1-an=q，它就是一個(gè)公差為q的等差數(shù)列.

生2：當(dāng)q=0時(shí)，式子變成了an+1=pan，如果p≠0，它就是一個(gè)公比為p的等比數(shù)列.

總結(jié)：很好，我們發(fā)現(xiàn)，當(dāng)p，q取一些特殊值的時(shí)候，這個(gè)關(guān)系式既可以表示等差數(shù)列，也可以表示等比數(shù)列，這是個(gè)神奇的關(guān)系式.接下來(lái)我們繼續(xù)研究，看能不能通過(guò)這些特殊的情況，找到求解這個(gè)數(shù)列通項(xiàng)公式的突破口.

3.3.2"活動(dòng)2：數(shù)列的通項(xiàng)公式

例1"求解下列數(shù)列的通項(xiàng).

（1）an+1=an-1，a1=2.

（2）an+1=2an，a1=2.

（3）an+1=2an-1，a1=2.

【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)特殊情況與一般情況的例題，引導(dǎo)學(xué)生將知識(shí)聯(lián)系起來(lái)，找尋解題的突破口.

問(wèn)題1"同學(xué)們很快就求出了前兩個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)，但是在求解第三個(gè)數(shù)列時(shí)遇到了問(wèn)題，我們學(xué)過(guò)哪些求數(shù)列通項(xiàng)的方法？

學(xué)生回答：觀察歸納法、累加法、迭代法、公式法.

【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)數(shù)列單元的學(xué)習(xí)，學(xué)生已經(jīng)掌握了許多求解數(shù)列通項(xiàng)公式的方法，這些方法往往適用于某一特定類(lèi)型的數(shù)列，借助問(wèn)題1，旨在讓學(xué)生思考目前他們學(xué)過(guò)的這些方法能否遷移到這個(gè)數(shù)列中，促使學(xué)生對(duì)比分析不同數(shù)列的異同以及各個(gè)方法的特點(diǎn)，搭建知識(shí)橋梁，建立知識(shí)結(jié)構(gòu).

教師演示：第三題的公式，乍一看很難處理，但是如果它是一個(gè)等差或等比數(shù)列，我們就能很快地套用公式，直接得到它的通項(xiàng).為此，教師對(duì)式子進(jìn)行了變形：an+1-1=2（an-1）.

問(wèn)題2"同學(xué)們觀察老師處理過(guò)的式子，有沒(méi)有發(fā)現(xiàn)什么？

學(xué)生回答：如果把{an-1}看成一個(gè)整體，那么它就是一個(gè)等比數(shù)列.

追問(wèn)1"對(duì)，很好，這樣的新數(shù)列就是一個(gè)等比數(shù)列，那么通過(guò)這樣的構(gòu)造，我們能否求出原數(shù)列的通項(xiàng)？

學(xué)生回答：能！利用公式法求出{an-1}的通項(xiàng)，之后加上1就是{an}的通項(xiàng).

【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)設(shè)置例題，讓學(xué)生感受該遞推式的構(gòu)造方法以及具體的實(shí)踐步驟，引導(dǎo)學(xué)生探究一般式的構(gòu)造方法.

問(wèn)題3"看完老師講解的方法后，再結(jié)合我們之前探索的式子的特征，同學(xué)們對(duì)于求解這樣的遞推式有什么新的想法嗎？

學(xué)生回答：式子比等比數(shù)列多了一個(gè)常數(shù)項(xiàng)，可以構(gòu)造出一個(gè)新的等比數(shù)列.

追問(wèn)1"很好，對(duì)于這樣的關(guān)系式，我們可以通過(guò)構(gòu)造新的等比數(shù)列來(lái)求通項(xiàng).那么如何構(gòu)造呢？

學(xué)生回答：可以將常數(shù)項(xiàng)分配給相鄰兩項(xiàng).

老師總結(jié)，板書(shū)演示：對(duì)于形如an+1=pan+q的遞推關(guān)系式，要求數(shù)列通項(xiàng)，我們采用構(gòu)造新等比數(shù)列的方法，構(gòu)造出形如bn=an+λ的等比數(shù)列，其中λ可以通過(guò)待定系數(shù)法求出，等式如下.

an+1+λ=p（an+λ）.

則有

an+1=pan+（p-1）λ，所以λ=qp-1.

最后套用公式，可以求出

bn=（a1+λ）pn-1an=（a1+λ）pn-1-λ.

【設(shè)計(jì)意圖】教師展示完整的求解過(guò)程，通過(guò)問(wèn)題3并結(jié)合此前例題的講解，使學(xué)生感受命題的推導(dǎo)過(guò)程，循序漸進(jìn)地獲得求解方法.通過(guò)教師總結(jié)，進(jìn)一步完善了學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，在問(wèn)題引導(dǎo)過(guò)程中，培養(yǎng)了學(xué)生的核心素養(yǎng)，體現(xiàn)了教學(xué)生長(zhǎng)的目標(biāo).

3.4"深入研究，鞏固運(yùn)用

練習(xí)

（1）在數(shù)列{an}中，a1=1，an+1=5an+8，求數(shù)列的{an}的通項(xiàng)公式.

（2）在數(shù)列{an}中，a1=2，an+1=（2-1）·（an+2），求數(shù)列的{an}的通項(xiàng)公式.

【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)例題講解和學(xué)生練習(xí)，讓學(xué)生深入理解線性遞推公式的求解及性質(zhì)的運(yùn)用，促進(jìn)學(xué)生思考等比數(shù)列的性質(zhì)以及構(gòu)造法的運(yùn)用，幫助其掌握類(lèi)等比數(shù)列的等價(jià)定義.

3.5"歸納小結(jié)，總結(jié)反思

問(wèn)題1"通過(guò)以上探究學(xué)習(xí)，若數(shù)列滿足an+1=pan+q這樣的遞推關(guān)系式，它具備哪些性質(zhì)？我們又該如何求解它的通項(xiàng)公式呢？

教師總結(jié)：這種數(shù)列可以稱(chēng)為類(lèi)等比數(shù)列，等比數(shù)列只是它的一種特殊情況.在求解其通項(xiàng)的時(shí)候，我們可以采用構(gòu)造法來(lái)構(gòu)造等比數(shù)列，并通過(guò)待定系數(shù)法求解參數(shù).我們可以用圖2所示的關(guān)系圖來(lái)厘清它們之間的結(jié)構(gòu).

【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)圖示法可以直觀展現(xiàn)知識(shí)間的結(jié)構(gòu)，筆者通過(guò)畫(huà)出概念圖將數(shù)列的研究過(guò)程以及知識(shí)聯(lián)系清晰地展現(xiàn)出來(lái)，讓學(xué)生深化等比數(shù)列知識(shí)點(diǎn)之間的連接性，有利于學(xué)生構(gòu)建完整的CPFS結(jié)構(gòu).

問(wèn)題2"求解數(shù)列的通項(xiàng)公式有哪些方法？

探究"課后思考一下形如這樣的an+1=pan+q·rn遞推關(guān)系式又和我們所學(xué)過(guò)的等差、等比數(shù)列有什么聯(lián)系嗎？

【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)問(wèn)題2引導(dǎo)學(xué)生反思本節(jié)課知識(shí)建構(gòu)的過(guò)程，在探究過(guò)程中，學(xué)生可以嘗試將本節(jié)課學(xué)習(xí)新命題的方法遷移到新的命題學(xué)習(xí)中，并以此進(jìn)行自我評(píng)價(jià)，是否形成了關(guān)于等比數(shù)列良好的知識(shí)結(jié)構(gòu)，能否利用該結(jié)構(gòu)獨(dú)立解決問(wèn)題？

3.6"分層作業(yè)，因材施教

（1）教師根據(jù)學(xué)生掌握的程度，分層布置作業(yè)，鞏固學(xué)生本節(jié)課所學(xué)知識(shí)，作業(yè)布置要有針對(duì)性.

（2）寫(xiě)一篇數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)日記.

【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生進(jìn)行自我反思、自我解釋?zhuān)仡欁约旱膶W(xué)習(xí)過(guò)程，從而提升學(xué)生的素養(yǎng).

4"結(jié)束語(yǔ)

本文教學(xué)設(shè)計(jì)的主要目標(biāo)是在幫助學(xué)生形成良好的CPFS結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上掌握所學(xué)內(nèi)容，并促進(jìn)其學(xué)習(xí)能力與學(xué)習(xí)素養(yǎng)的發(fā)展.概念學(xué)習(xí)和命題學(xué)習(xí)是數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)和核心，學(xué)生只有掌握好了基本概念和命題，才能進(jìn)行更深入的學(xué)習(xí)探索，所以命題教學(xué)顯得尤為重要.

個(gè)體CPFS結(jié)構(gòu)充分地表征了學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)概念與命題學(xué)習(xí)的認(rèn)知特點(diǎn)，其理論對(duì)教師進(jìn)行命題教學(xué)提供了有力的參考依據(jù)，同時(shí)也提出了新的要求.筆者基于該理論進(jìn)行了嘗試，為復(fù)習(xí)課的設(shè)計(jì)與安排提供了新的可嘗試的路徑.

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