摘"要：數(shù)列是歷年高考數(shù)學(xué)試卷中主干知識(shí)點(diǎn)之一，隨著新課程的推進(jìn)與新高考的落實(shí)，考查側(cè)重點(diǎn)、思想方法要求等方面有了一定的創(chuàng)新與變化.本文結(jié)合2022年高考真題，就高考中數(shù)列的考查特征加以實(shí)例剖析，回歸函數(shù)性，參透思想性，有效落實(shí)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

關(guān)鍵詞：數(shù)列；函數(shù)；本質(zhì)；方法；思維

數(shù)列是蘇教版《普通高中教科書(shū)數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)》的內(nèi)容之一，共計(jì)14課時(shí)，主要內(nèi)容為等差數(shù)列和等比數(shù)列，數(shù)列與函數(shù)的共性與差異，以及數(shù)列與函數(shù)或方程、不等式等其他相關(guān)知識(shí)之間的聯(lián)系性等.在實(shí)際的高考數(shù)列的教學(xué)與復(fù)習(xí)過(guò)程中，要根據(jù)數(shù)列的函數(shù)性，結(jié)合數(shù)列的基本知識(shí)，合理滲透數(shù)學(xué)思想，掌握數(shù)列基本方法，系統(tǒng)地、細(xì)致地復(fù)習(xí)備考.

1"淡化技巧策略，回歸數(shù)列本質(zhì)

“把握數(shù)學(xué)本質(zhì)，啟發(fā)思考，改進(jìn)教學(xué)”是《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》的基本理念之一［1］，從近年高考數(shù)列方面的考查形式與趨勢(shì)來(lái)看，以數(shù)列的基本概念、基本性質(zhì)、基本公式等為重點(diǎn)考查形式，合理融入其他相關(guān)知識(shí)，把握基本解題技巧方法，淡化巧技妙解，回歸數(shù)列的本質(zhì)屬性.

例1"（2022年上海卷·10）已知等差數(shù)列{an}的公差不為零，Sn為其前n項(xiàng)和，若S5=0，則Si（i=1，2，3，…，100）中不同的數(shù)值有""""個(gè).

分析：根據(jù)等差數(shù)列的問(wèn)題背景，利用求和公式以及對(duì)應(yīng)的S5=0構(gòu)建等差數(shù)列中的首項(xiàng)與公差的關(guān)系，合理消參并構(gòu)建涉及項(xiàng)數(shù)的表達(dá)式，進(jìn)而利用二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)進(jìn)行合理的分析與判斷.

解析：由于等差數(shù)列{an}的公差不為零，Sn為其前n項(xiàng)和，S5=0，

可得S5=5a1+5×42d=0，解得a1=-2d.

所以Sn=na1+n（n-1）2d=-2nd+n（n-1）2d=d2（n2-5n）.

由于d≠0，利用二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)

可知，Si（i=1，2，3，…，100）中S5=0，S2=S3=-3d，S1=S4=-2d，S6=3d，S7=7d，…，其余各項(xiàng)均不相等.

所以Si（i=1，2，3，…，100）中不同的數(shù)值有100-2=98（個(gè)）.

點(diǎn)評(píng)：回歸數(shù)列本質(zhì)，利用等差數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式、求和公式等來(lái)分析與解決問(wèn)題，在此基礎(chǔ)上回歸數(shù)列的函數(shù)性，淡化特殊技巧與策略，借助二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)來(lái)分析與處理問(wèn)題，是解決數(shù)列問(wèn)題中最基本的技巧與方法.

2"掌握通技通法，養(yǎng)成思維習(xí)慣

從近年高考數(shù)列方面的考查來(lái)看，關(guān)鍵在于掌握解決數(shù)列問(wèn)題的通技通法，如數(shù)列的概念判斷、數(shù)列的基本性質(zhì)、數(shù)列的通項(xiàng)公式、數(shù)列的求和及其應(yīng)用等，關(guān)注基本類(lèi)型與基本技巧，從而養(yǎng)成良好的思維習(xí)慣與解題習(xí)慣，克服粗心與盲目思維.［2］

例2"（2022年全國(guó)乙卷文科·10）已知等比數(shù)列{an}的前3項(xiàng)和為168，a2-a5=42，則a6=（""）.

A. 14

B. 12

C. 6

D. 3

分析：根據(jù)題意，利用等比數(shù)列的定義與基本性質(zhì)，結(jié)合條件確定公比的取值情況，借助等比數(shù)列的求和公式和通項(xiàng)公式構(gòu)建對(duì)應(yīng)的方程，進(jìn)而確定對(duì)應(yīng)的參數(shù)值，從而得以求解a6的值.

解析：設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，q≠0，由題意，得q≠1.

由于前3項(xiàng)和為a1+a2+a3=a1（1-q3）1-q=168，而a2-a5=a1·q-a1·q4=a1·q（1-q3）=42.

解得q=12，a1=96，可得a6=a1·q5=96×132=3，故選D.

點(diǎn)評(píng)：正確掌握解決數(shù)列的基本技巧與方法，通過(guò)等比數(shù)列的定義、基本性質(zhì)、通項(xiàng)公式以及求和公式等，合理應(yīng)用，從而形成良好的解題習(xí)慣，培養(yǎng)數(shù)列問(wèn)題中注重細(xì)節(jié)、嚴(yán)謹(jǐn)認(rèn)真等思維習(xí)慣.

3"重視函數(shù)內(nèi)容，強(qiáng)化創(chuàng)新應(yīng)用

數(shù)列是基于函數(shù)背景下的特殊應(yīng)用，要充分感受數(shù)列的函數(shù)性以及數(shù)列的創(chuàng)新、綜合應(yīng)用等.在實(shí)際數(shù)列教學(xué)與復(fù)習(xí)過(guò)程中，要基于函數(shù)內(nèi)容加以復(fù)習(xí)，重視函數(shù)與數(shù)列之間的融合與應(yīng)用，以及數(shù)列模型應(yīng)用中的函數(shù)性、數(shù)列中的創(chuàng)新應(yīng)用等.

例3"（2022年全國(guó)甲卷理科·17）記Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和.已知2Snn+n=2an+1.

（1）證明：{an}是等差數(shù)列.

（2）若a4，a7，a9成等比數(shù)列，求Sn的最小值.

分析：（1）根據(jù)題設(shè)條件，由已知把數(shù)列遞推關(guān)系式中的n換為n+1，進(jìn)而利用關(guān)系式作差可得遞推關(guān)系，從而得以證明；（2）由a4，a7，a9成等比數(shù)列，求出首項(xiàng)，利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式找出an正負(fù)分界點(diǎn)計(jì)算即可.

解析：（1）由已知，有2Sn+n2=2nan+n.①

把n換成n+1，可得2Sn+1+（n+1）2=2（n+1）an+1+n+1.②

由②-①，可得2an+1=2（n+1）an+1-2nan-2n，整理可得an+1=an+1.

由等差數(shù)列的定義，可得{an}為等差數(shù)列.

（2）由已知，有a27=a4a9，設(shè)等差數(shù)列an的首項(xiàng)為x，由（1）知，其公差為1.

故（x+6）2=（x+3）（x+8），解得x=-12，故a1=-12.

所以an=-12+（n-1）×1=n-13.

故可得a1＜a2＜a3＜…＜a12＜0，a13=0，a14＞0.

故Sn在n=12或n=13時(shí)取最小值，S12=S13=13×（-12+0）2=-78.

故Sn的最小值為-78.

點(diǎn)評(píng)：注重?cái)?shù)列的函數(shù)性質(zhì)，結(jié)合數(shù)列的遞推關(guān)系式構(gòu)建對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系，利用函數(shù)與方程、函數(shù)的圖象與性質(zhì)等，合理借助對(duì)應(yīng)的數(shù)列問(wèn)題加以創(chuàng)新設(shè)置，利用數(shù)列的函數(shù)性來(lái)分析與解決問(wèn)題，并強(qiáng)化數(shù)列、數(shù)列與函數(shù)等的綜合應(yīng)用.

4"克服思維定式，引領(lǐng)解題思維

新高考數(shù)列命題也遵循高考從“知識(shí)立意”“能力立意”轉(zhuǎn)向“價(jià)值引領(lǐng)，素養(yǎng)導(dǎo)向，能力為重，知識(shí)為基”的綜合評(píng)價(jià)體系，對(duì)于數(shù)列的考查與應(yīng)用，高考數(shù)學(xué)試卷在凸顯了刷題教學(xué)與素養(yǎng)導(dǎo)向命題的沖突與差距上也作了一些改革與命題指導(dǎo)，注重?cái)?shù)學(xué)思維的應(yīng)用，引導(dǎo)學(xué)生創(chuàng)新利用數(shù)學(xué)思想方法來(lái)調(diào)整解題方向和解題策略，從數(shù)學(xué)思維層面引導(dǎo)尋找解題的路徑，提升數(shù)學(xué)理性思維能力等.

例4"（2022年浙江卷·10）已知數(shù)列{an}滿足a1=1，an+1=an-13a2n（n∈N*），則（""）.

A. 2lt;100a100lt;52

B. 52lt;100a100lt;3

C. 3lt;100a100lt;72

D. 72lt;100a100lt;4

分析：根據(jù)題設(shè)條件，利用關(guān)系式的性質(zhì)來(lái)判斷數(shù)列{an}為遞減數(shù)列，結(jié)合關(guān)系式的特征與符號(hào)關(guān)系得以確定0lt;an≤1，在此基礎(chǔ)上，利用關(guān)系式的變形以及裂項(xiàng)處理，結(jié)合累加法以及不等式的放縮法來(lái)確定對(duì)應(yīng)的不等式，進(jìn)而得以分析與判斷.

解析：由an+1=an-13a2n（n∈N*），可得an+1-an=-13a2n≤0，則數(shù)列{an}為遞減數(shù)列.

而a1=1，則an≤1.

又an+1an=1-13an≥1-13=23gt;0，即an+1與an同號(hào)，故0lt;an≤1.

由an+1=an-13a2n（n∈N*），可得3an+1=3an-a2n=an（3-an）.

取倒數(shù)、裂項(xiàng)并整理，得1an+1 -1an =13-an.

通過(guò)累加可得1an+1gt;13n+1.

所以1an gt;n-13+1，即anlt;3n+2，所以nanlt;3nn+2=3-6n+2lt;3，即100a100lt;3.

而1an+1 -1an =13-anlt;13-3n+2=n+23n+3=131+1n+1.

通過(guò)累加可得1an+1≤13n+1312+13+…+1n+1+1.

所以1a100lt;34+1312+13+14+…+1100lt;34+1312×6+18×93lt;39lt;40，即100a100gt;100×140=52.

綜上分析，可得52lt;100a100lt;3，故選B.

點(diǎn)評(píng)：借助數(shù)列的創(chuàng)新情境，結(jié)合數(shù)列的基本性質(zhì)，綜合函數(shù)與方程、不等式等相關(guān)知識(shí)，合理克服思維定式，對(duì)數(shù)列的關(guān)系式進(jìn)行化簡(jiǎn)、變形等處理，結(jié)合相關(guān)的其他知識(shí)進(jìn)行綜合應(yīng)用，從而引領(lǐng)解題方向，為問(wèn)題的破解提供條件.

通過(guò)對(duì)近年全國(guó)高考卷和地方卷中數(shù)列試題的特點(diǎn)分析和解題分析，特別是對(duì)新舊高考的對(duì)比分析，強(qiáng)調(diào)數(shù)列作為函數(shù)主線內(nèi)容的體現(xiàn)，淡化解題技巧、加強(qiáng)概念理解、重視函數(shù)與數(shù)列的綜合、學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)思想引領(lǐng)解題方向的復(fù)習(xí)備考建議與策略.

參考文獻(xiàn)

［1］中華人民共和國(guó)教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）［M］.北京：人民教育出版社，2020.

［2］韓文美，張嫻.巧求等差數(shù)列的通項(xiàng)［J］.中學(xué)生數(shù)理化（高二數(shù)學(xué)），2020（9）：10-11.