*本文系2021年度無錫市基礎(chǔ)教育前瞻性教學(xué)改革實(shí)驗(yàn)項(xiàng)目“促進(jìn)學(xué)生學(xué)科關(guān)鍵能力發(fā)展的深度教學(xué)探索”的研究成果之一。

收稿日期：2024-04-11

作者簡介：屈佳芬，江陰市申港實(shí)驗(yàn)小學(xué)校長，正高級教師，江蘇省特級教師，主要研究方向?yàn)樾W(xué)數(shù)學(xué)教育、教師專業(yè)發(fā)展、小學(xué)教育管理。

摘要：抽象是數(shù)學(xué)的基本特征，數(shù)學(xué)抽象能力是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的主要表現(xiàn)之一，具有內(nèi)隱性、概括性、敏感性、發(fā)展性等特點(diǎn)。當(dāng)前數(shù)學(xué)抽象能力的培育存在感知對象不充分、探究過程不完整、數(shù)學(xué)思考不深入等問題，需要提供豐富的感知材料、經(jīng)歷完整的探究歷程、啟迪深層的數(shù)學(xué)思考，引領(lǐng)學(xué)生不斷夯實(shí)抽象基礎(chǔ)、經(jīng)歷抽象過程、把握抽象本質(zhì)，促進(jìn)抽象能力的逐漸生長。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)抽象能力；數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)；小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)

中圖分類號：G623.5 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號：1673-9094（2024）06-0098-04

抽象是數(shù)學(xué)的基本特征，是用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界的基本方式，是三大數(shù)學(xué)基本思想之一?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》把抽象能力放在數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)主要表現(xiàn)的首位，可見抽象能力的重要性。然而，在當(dāng)前的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，淺表化、機(jī)械化的學(xué)習(xí)還大量存在，抽象能力的培養(yǎng)未能真正落到實(shí)處，帶領(lǐng)學(xué)生走向深層化、意義化的學(xué)習(xí)，是數(shù)學(xué)抽象能力提升的必要之道。

一、數(shù)學(xué)抽象能力的內(nèi)涵解讀

（一）數(shù)學(xué)抽象

抽象，是數(shù)學(xué)迭代發(fā)展過程中所依賴的最重要的基本思想。所謂數(shù)學(xué)抽象，國內(nèi)外許多專家學(xué)者都進(jìn)行了相應(yīng)的研究，如迪內(nèi)斯把數(shù)學(xué)抽象定義為：從不同的情境中抽象出共性的過程，并且這一共性可以作為檢驗(yàn)?zāi)骋灰蛩厥欠穹线@一屬性的標(biāo)準(zhǔn)。弗賴登塔爾強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)絕不是教師單方面的活動，學(xué)習(xí)者會對接收到的抽象知識進(jìn)行再加工處理，把現(xiàn)實(shí)問題抽象成數(shù)學(xué)問題[1]。李昌官認(rèn)為：數(shù)學(xué)通過舍棄現(xiàn)實(shí)事物的非數(shù)學(xué)屬性，從中分離出事物數(shù)與形兩方面的屬性，進(jìn)而對這些屬性進(jìn)行最大限度的一般化、理想化處理，得到具有廣泛普適性和應(yīng)用性的數(shù)學(xué)概念[2]?？梢钥闯?，不同研究者的研究雖側(cè)重不同，但基本理念有相通之處。具體理解為，數(shù)學(xué)抽象是以具體事物為載體，通過觀察、分析，舍棄事物表象的、外部的東西，抽出事物本質(zhì)的、內(nèi)在的因素，從空間形式和數(shù)量關(guān)系來解釋客觀事物的一種數(shù)學(xué)研究方法。數(shù)學(xué)抽象是對數(shù)學(xué)事物基本特征的高度概括。

（二）數(shù)學(xué)抽象能力

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》對數(shù)學(xué)抽象能力這樣表述：主要是指通過對現(xiàn)實(shí)世界中數(shù)量關(guān)系與空間形式的抽象，得到數(shù)學(xué)的研究對象，形成數(shù)學(xué)概念、性質(zhì)、法則和方法的能力[3]。筆者認(rèn)為，數(shù)學(xué)抽象能力具有以下特征。

1.內(nèi)隱性

認(rèn)知心理學(xué)認(rèn)為，在不知不覺中獲得某種知識，學(xué)習(xí)了某種規(guī)則，叫作內(nèi)隱學(xué)習(xí)。數(shù)學(xué)抽象能力是學(xué)習(xí)者個(gè)體內(nèi)在的一種能力，相對于顯性的數(shù)學(xué)知識而言，它是一種緘默性知識，具有內(nèi)隱性，不易表達(dá)，不易外顯，很難用語言文字或符號形式進(jìn)行直接傳遞。

2.概括性

抽象與概括是密不可分的，高度的抽象必然有高度的概括，概括性是數(shù)學(xué)抽象能力的顯著特征。學(xué)習(xí)者在面對復(fù)雜的現(xiàn)實(shí)情境時(shí)，需要從中提取關(guān)鍵的特征和規(guī)律，將其概括為更簡單、更易于理解的形式。因此，概括伴隨數(shù)學(xué)抽象的過程，概括水平越高，抽象能力也越強(qiáng)。

3.敏感性

敏感性是體現(xiàn)抽象能力強(qiáng)弱的一個(gè)重要標(biāo)準(zhǔn)。如果說一個(gè)人的知識技能水平，決定著他成就的最低線，那決定他發(fā)展上限的則是抽象能力。抽象能力強(qiáng)的人對抽象概念非常敏感，往往能從零散的、簡單的數(shù)學(xué)信息中抽象出本質(zhì)的、結(jié)構(gòu)性的數(shù)學(xué)原理，體現(xiàn)出較好的思維敏捷性、發(fā)散性和創(chuàng)造性。

4.發(fā)展性

能力的提升是循序漸進(jìn)、螺旋上升的，數(shù)學(xué)抽象能力同樣具有發(fā)展性。如低年級學(xué)生，處在形象思維階段，對數(shù)學(xué)抽象只有朦朦朧朧的印象，自主抽象能力較弱，隨著年齡的增長、學(xué)習(xí)的深入，對經(jīng)歷抽象的體驗(yàn)逐漸增多，積累的數(shù)學(xué)抽象經(jīng)驗(yàn)逐漸豐富，自主抽象的意識將慢慢形成，數(shù)學(xué)抽象能力也將逐漸生長。

二、數(shù)學(xué)抽象能力培育的問題分析

數(shù)學(xué)抽象能力對學(xué)生學(xué)習(xí)起著至關(guān)重要的作用，甚至影響一個(gè)人終身的發(fā)展。但實(shí)際的教學(xué)中，數(shù)學(xué)抽象能力卻未能得到高度的重視，許多課堂教學(xué)形式單一，教學(xué)過程單薄，數(shù)學(xué)思考淺層，深度學(xué)習(xí)未能真正形成，數(shù)學(xué)抽象能力的培養(yǎng)未能真正落地。具體體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面。

（一）感知對象不充分，缺乏數(shù)學(xué)抽象的認(rèn)知基礎(chǔ)

數(shù)學(xué)知識本身是高度抽象的，是對一類研究對象本質(zhì)屬性高度概括的結(jié)果，研究對象是實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)抽象的載體，充分感知是實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)抽象的前提。然而，在實(shí)際的教學(xué)中，很多教師備課不充分，提供給學(xué)生感知的數(shù)學(xué)素材單一化，不具體、不全面，學(xué)生在實(shí)際的學(xué)習(xí)中，感性認(rèn)識不到位，無法正確進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，甚至出現(xiàn)認(rèn)識的偏差。

（二）探究過程不完整，缺乏數(shù)學(xué)抽象的過程經(jīng)歷

數(shù)學(xué)抽象能力是一種高階能力，需要在反復(fù)的探索、體驗(yàn)和感悟中慢慢生長。每一次概念的形成、結(jié)論或規(guī)律的獲得，都是學(xué)生經(jīng)歷一次數(shù)學(xué)抽象的過程。但是，當(dāng)前的課堂學(xué)習(xí)中，受功利性的驅(qū)使，教師寧愿減少甚至舍棄知識的形成過程，讓學(xué)生大量地、反復(fù)地做題，學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)抽象的過程不完整、體驗(yàn)不豐富，往往形式大于實(shí)質(zhì)，抽象能力培養(yǎng)淪為空談。

（三）數(shù)學(xué)思考不深入，缺乏數(shù)學(xué)抽象的理性概括

數(shù)學(xué)抽象的過程是對研究對象進(jìn)行理性分析，不斷剝離非本質(zhì)屬性，凸顯本質(zhì)屬性的過程，其中，高質(zhì)量的思考、理性化的表達(dá)必不可少。然而，很多的課堂數(shù)學(xué)思考不深入，缺少合理的數(shù)學(xué)問題情境，缺少深層的問題思考時(shí)機(jī)，數(shù)學(xué)抽象的結(jié)果并未由學(xué)生自我感悟而得，學(xué)生通常是被動接受結(jié)論，數(shù)學(xué)抽象異化為結(jié)論告知。

三、數(shù)學(xué)抽象能力培養(yǎng)的實(shí)踐策略

數(shù)學(xué)抽象能力的培養(yǎng)不是一蹴而就的，需要滲透在教學(xué)的每一個(gè)環(huán)節(jié)，在深度的學(xué)習(xí)中體悟，日積月累，潛移默化，方可逐漸形成。

（一）提供豐富的感知材料——夯實(shí)抽象基礎(chǔ)

感知即意識對內(nèi)外界信息的覺察、感覺、注意、知覺的一系列過程。從數(shù)學(xué)抽象的本質(zhì)內(nèi)涵看，要實(shí)現(xiàn)有意義的數(shù)學(xué)抽象，必須先對學(xué)習(xí)對象進(jìn)行豐富的、全面的感知，才有可能剝離事物的非本質(zhì)屬性，抽取本質(zhì)屬性。

如，在“角的認(rèn)識”教學(xué)中，可以設(shè)置如下幾個(gè)維度的感知層次，來豐富學(xué)生的感性認(rèn)識。首先，實(shí)物中感知。教師出示一個(gè)五角星和一把三角尺，問學(xué)生：為什么叫五角星？為什么叫三角尺？引導(dǎo)學(xué)生說出，這里面都藏著角。此時(shí)，學(xué)生對角的認(rèn)識是模糊的，是基于生活經(jīng)驗(yàn)而形成的。其次，創(chuàng)造中感知。教師課前提供多種材料，讓學(xué)生創(chuàng)造一個(gè)角。有的學(xué)生利用小棒擺出了角，有的學(xué)生利用吸管折出了角，有的學(xué)生利用工具畫出了角……此時(shí)，教師及時(shí)提問：這里的幾個(gè)角有什么共同點(diǎn)？學(xué)生基本都能說出有兩條直直的邊和一個(gè)尖。通過這一層次的感悟，學(xué)生舍棄了制作角的材料等非本質(zhì)屬性，初步指向角的本質(zhì)特征邊和角。最后，深層辨析中感知。教師在黑板上貼出了一個(gè)自制的活動角，先不斷地變換角的開口方向，連續(xù)追問學(xué)生：這樣是角嗎？再變換角的開口大小，追問學(xué)生，這樣是角嗎？同時(shí)再不斷拉長和縮短角的兩條邊，繼續(xù)追問學(xué)生：這樣還是角嗎？這里的三次辨析，再次拓寬了角的認(rèn)識外延，進(jìn)一步剝離與角相關(guān)的位置、大小及邊的長短等非本質(zhì)屬性，對角的認(rèn)識進(jìn)行了準(zhǔn)確的抽象。

感知是抽象的基石，選取好感知材料是首要條件。選取感知材料時(shí)：其一，要考慮豐富性，要符合認(rèn)知發(fā)展的規(guī)律；其二，要考慮全面性，對可能干擾正確抽象的一些非本質(zhì)屬性的素材要盡可能提供；其三，還要考慮典型性，切勿多而濫，干擾學(xué)生認(rèn)知。感知材料越豐富、越全面、越典型，越有利于學(xué)生準(zhǔn)確抽象。

（二）經(jīng)歷完整的探究歷程——經(jīng)歷抽象過程

好的數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)從學(xué)習(xí)者的生活經(jīng)驗(yàn)和已有的知識背景出發(fā)，讓學(xué)生進(jìn)行充分的數(shù)學(xué)實(shí)踐和交流，經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識的發(fā)生、發(fā)展過程，從而理解數(shù)學(xué)本質(zhì)，抽象數(shù)學(xué)模型。一般來說，數(shù)學(xué)抽象要經(jīng)歷四個(gè)階段：第一階段是感知與識別，對提供的數(shù)學(xué)對象深入感知；第二階段是分離和提取，剝離感知對象的非本質(zhì)屬性，提取所有的本質(zhì)屬性；第三階段是辨析與固化，在充分思辨的基礎(chǔ)上理解本質(zhì)屬性；第四階段是提煉和簡化，把本質(zhì)屬性加以高度概括[4]。

如，在“乘法分配律”的教學(xué)中，創(chuàng)設(shè)了五個(gè)層次的探究歷程。第一層次，在解決實(shí)際問題中初步體會等式的特點(diǎn)。出示兩種不同情境的兩個(gè)實(shí)際問題，讓學(xué)生用兩種方法解答，引出兩個(gè)等式，并引導(dǎo)學(xué)生對兩個(gè)等式讀一讀，初步找感覺。第二層次，繼續(xù)解決類似實(shí)際問題再悟等式的特點(diǎn)。學(xué)生根據(jù)剛才經(jīng)驗(yàn)，解答并寫出類似等式，教師讓學(xué)生將黑板上的三組等式再讀一讀，再次找感覺，此時(shí)，學(xué)生對這類等式的感覺已加深了。第三層次，寫出幾組類似等式加深理解等式的特點(diǎn)。此時(shí)，學(xué)生基本能獨(dú)立寫出等式，對等式的特點(diǎn)理解已從朦朧走向清晰。第四層次，在深入討論每個(gè)等式為什么相等中理解知識本質(zhì)。學(xué)生通過交流討論，用乘法的意義解釋每組等式相等的理由，揭示了乘法分配律的本質(zhì)。第五層次，在無窮列舉中找到一般模型。教師適時(shí)提問：這樣的等式還有嗎？寫得完嗎？能否找到一種方法把它表示出來。此時(shí)，學(xué)生用符號表示乘法分配律就水到渠成，數(shù)學(xué)抽象及時(shí)且真實(shí)。

數(shù)學(xué)抽象的過程是一個(gè)慢過程，教師要留出足夠的時(shí)間，讓學(xué)生慢慢感受；要精心設(shè)計(jì)梯次，讓學(xué)生逐步感悟；要耐心等待學(xué)生，讓學(xué)生自我感悟。只有讓學(xué)生完整經(jīng)歷探究的過程，數(shù)學(xué)抽象才可能真實(shí)有效。

（三）啟迪深層的數(shù)學(xué)思考——把握抽象本質(zhì)

思考是一種整體的思維活動，是一種指向明確、探究深入、富有挑戰(zhàn)性和創(chuàng)造性的深層智力活動。帶領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)抽象的過程中，教師要善于創(chuàng)設(shè)有效的問題情境，引發(fā)學(xué)生高質(zhì)量的數(shù)學(xué)思考，使其對抽象的結(jié)果的本質(zhì)、原理理解清晰。

如教學(xué)“三角形分類”時(shí)，為了讓學(xué)生真正理解“三角形按角分為什么只有三類”，教師可以設(shè)置“認(rèn)知平衡—認(rèn)知沖突—認(rèn)知平衡”這樣一個(gè)思維歷程，讓學(xué)生在積極的思考過程中把握抽象本質(zhì)?；顒右潦?，教師創(chuàng)建在釘子板上圍三角形的任務(wù)，讓學(xué)生圍出三個(gè)角是“銳銳銳、直銳銳、鈍銳銳”三種組合后，及時(shí)發(fā)問：世界上的三角形有多少個(gè)？難道就只有這三種？估計(jì)應(yīng)該有第四種，或者第五種吧？這樣的發(fā)問把學(xué)生的思維一下子調(diào)動起來，學(xué)生積極主動地去嘗試第四種圍法……當(dāng)學(xué)生怎么嘗試也圍不出，心里極其困惑時(shí)，教師再適時(shí)設(shè)問：你們圍不出第四種，老師也圍不出第四種，難道真沒第四種？現(xiàn)在我們來思考，“一個(gè)三角形中有沒有兩個(gè)直角？為什么？”。此時(shí)的設(shè)問把學(xué)生興奮的內(nèi)心引導(dǎo)到冷靜的思考，學(xué)生很快找到了原理，因?yàn)槿切蔚膬?nèi)角和是180°，所以一個(gè)三角形中不可能有兩個(gè)直角，更不可能有兩個(gè)鈍角。這里的連續(xù)設(shè)問，讓學(xué)生經(jīng)歷了一次較為深刻的認(rèn)知沖突過程，并深刻理解了三角形按角分為什么只有三類的原理，對抽象結(jié)果的本質(zhì)感悟深刻，理解透徹。

深層的數(shù)學(xué)思考是實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)抽象的必要條件，它必須伴隨學(xué)生的知識探究過程，才有可能實(shí)現(xiàn)有效抽象。同時(shí)，教師也要多創(chuàng)設(shè)回顧反思的機(jī)會，讓學(xué)生對抽象的過程及時(shí)自我反思，自我感悟，積累抽象的經(jīng)驗(yàn)。在這樣不斷思考、反思中，抽象能力才會螺旋上升，逐漸生長。

總之，數(shù)學(xué)抽象能力的培育是一個(gè)長期的過程，不能一蹴而就，需要一以貫之，系統(tǒng)施策，讓學(xué)生在持續(xù)的、有意義的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中不斷感悟、熏陶和內(nèi)悟。

參考文獻(xiàn)：

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[2]李昌官.數(shù)學(xué)的學(xué)科性質(zhì)與課程目標(biāo)[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2021（5）：23.

[3]中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2022：8.

[4]程茂山.數(shù)學(xué)抽象能力培養(yǎng)的嘗試與思考：以《三角形的認(rèn)識與分類》教學(xué)為例[J].小學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)，2023（20）：61.

責(zé)任編輯：石萍