【摘" 要】數(shù)學(xué)概念作為知識(shí)基礎(chǔ)，對(duì)學(xué)生學(xué)科核心素養(yǎng)發(fā)展至關(guān)重要。初中階段的數(shù)學(xué)概念教學(xué)具有承上啟下的作用，而將APOS理論引入概念教學(xué)，能夠讓學(xué)生經(jīng)歷操作、過程、對(duì)象和圖式四個(gè)階段，深入理解并把握數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)。本文通過文獻(xiàn)分析明確APOS理論內(nèi)涵，并以蘇科版初中數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)第二章《軸對(duì)稱圖形》為例對(duì)數(shù)學(xué)概念教學(xué)策略進(jìn)行研究，進(jìn)而提出如下參考建議：活動(dòng)階段——?jiǎng)?chuàng)設(shè)情境，引導(dǎo)體驗(yàn)，感知概念；過程階段——問題啟發(fā)，引導(dǎo)探究，抽象概念；對(duì)象階段——分層練習(xí)，引導(dǎo)辨析，內(nèi)化概念；圖式階段——梳理知識(shí)，引導(dǎo)聯(lián)系，納入體系。

【關(guān)鍵詞】APOS理論；初中數(shù)學(xué)；概念教學(xué)

數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，一方面初中數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)是對(duì)小學(xué)階段數(shù)學(xué)知識(shí)的承接，另一方面也是對(duì)高中階段數(shù)學(xué)理論學(xué)習(xí)的鋪墊，加強(qiáng)初中數(shù)學(xué)概念教學(xué)既有利于實(shí)現(xiàn)教學(xué)的有效銜接，也能夠促進(jìn)學(xué)生的整體發(fā)展。APOS理論是一種建構(gòu)主義個(gè)體數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)理論，起源于20世紀(jì)80年代末，美國(guó)學(xué)者杜賓斯基等人提出的概念學(xué)習(xí)理論模型。該模型強(qiáng)調(diào)，學(xué)生在學(xué)習(xí)概念時(shí)需經(jīng)歷心智建構(gòu)過程，依次經(jīng)歷操作或活動(dòng)（Action）、對(duì)象（Object）、過程（Process）和圖式（Schema）四個(gè)階段，而將這一理論引入初中數(shù)學(xué)課程中對(duì)提升概念教學(xué)效果有著重要意義。接下來，本文就以蘇科版初中數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)第二章《軸對(duì)稱圖形》為例對(duì)APOS理論下的初中數(shù)學(xué)概念教學(xué)進(jìn)行探究。

一、活動(dòng)階段——?jiǎng)?chuàng)設(shè)情境，引導(dǎo)體驗(yàn)，感知概念

APOS學(xué)習(xí)理論從層次上來講，可以分為四個(gè)層次和階段，首先是活動(dòng)階段，這一階段主要在于以學(xué)生固有的認(rèn)知為基礎(chǔ)，充分考量學(xué)生的個(gè)體差異性，通過針對(duì)性活動(dòng)給予學(xué)生切身體驗(yàn)，從而讓學(xué)生對(duì)知識(shí)具有直觀的認(rèn)知。在這一階段我們可以按照以下步驟展開教學(xué)。

（一）創(chuàng)設(shè)情境，激發(fā)興趣

生動(dòng)有趣的情境能夠減輕學(xué)生學(xué)習(xí)抽象數(shù)學(xué)概念的壓力，激發(fā)他們思考探究的熱情，也能夠在引導(dǎo)下主動(dòng)完成抽象和歸納活動(dòng)，達(dá)到預(yù)期學(xué)習(xí)目的。因此，在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中，教師要根據(jù)學(xué)生的實(shí)際需要，創(chuàng)設(shè)貼近他們生活實(shí)際和認(rèn)知水平的學(xué)習(xí)情境，促使他們以情境中的感性材料為基礎(chǔ)產(chǎn)生探究概念的興趣。在《軸對(duì)稱圖形》這一單元第一課《軸對(duì)稱與軸對(duì)稱圖形》的教學(xué)設(shè)計(jì)中，教師通過學(xué)情分析發(fā)現(xiàn)學(xué)生在日常生活中已經(jīng)接觸到許多軸對(duì)稱圖形，如“雙喜字”、中國(guó)結(jié)、奧運(yùn)五環(huán)等等，并對(duì)這類圖形的特點(diǎn)具備一定的感性認(rèn)知。因此，在課堂導(dǎo)入階段，教師利用多媒體展示了“雙喜字”、中國(guó)結(jié)、奧運(yùn)五環(huán)等生活中常見的軸對(duì)稱圖形，并引導(dǎo)學(xué)生觀察討論這些圖形的特點(diǎn)，以引出“軸對(duì)稱”“軸對(duì)稱圖形”這兩個(gè)數(shù)學(xué)概念。這樣的設(shè)計(jì)將概念的引入與學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)相結(jié)合，有效激發(fā)了他們的觀察興趣，為后續(xù)通過活動(dòng)體驗(yàn)生成概念奠定了基礎(chǔ)。

（二）啟發(fā)誘導(dǎo)，強(qiáng)化體驗(yàn)

概念的引入不能只憑借簡(jiǎn)單的情境堆砌，還需要依靠恰當(dāng)?shù)膯l(fā)和引導(dǎo)。所以在活動(dòng)階段，教師應(yīng)根據(jù)概念特點(diǎn)設(shè)計(jì)問題，引導(dǎo)活動(dòng)體驗(yàn)，促進(jìn)認(rèn)知提升。例如，在上述《軸對(duì)稱與軸對(duì)稱圖形》的教學(xué)導(dǎo)入環(huán)節(jié)，教師不僅展示了多長(zhǎng)軸對(duì)稱圖形，也提出了問題：下列圖片形狀是怎么樣的？它們有什么共同的特性？你在生活中還見到過哪些類似的圖形？在通過討論找到這些圖形的對(duì)稱軸后，教師指導(dǎo)學(xué)生對(duì)一張紙進(jìn)行對(duì)折，并從折疊處剪出一個(gè)圖形。隨后，教師引導(dǎo)學(xué)生思考：展開紙張后，會(huì)呈現(xiàn)怎樣的圖形？折痕兩側(cè)的圖案有何關(guān)聯(lián)？是否具備上述圖形的共同特征？

通過實(shí)踐操作、強(qiáng)化體驗(yàn)，學(xué)生對(duì)“軸對(duì)稱”“軸對(duì)稱圖形”的概念形成了更加直觀而深入的認(rèn)識(shí)，也為概念的生成奠定了認(rèn)知基礎(chǔ)。

二、過程階段——問題啟發(fā)，引導(dǎo)探究，抽象概念

APOS學(xué)習(xí)理論的進(jìn)階階段是過程階段，也是APOS理論的關(guān)鍵階段，這一階段重點(diǎn)在過程，通過APOS理論支撐，引導(dǎo)學(xué)生從過程中提煉知識(shí)內(nèi)核，從而形成自己對(duì)于知識(shí)的認(rèn)知。在這一階段，教師應(yīng)精心設(shè)計(jì)問題，引發(fā)學(xué)生抽象思維活動(dòng)，并鼓勵(lì)引導(dǎo)表達(dá)，促使概念生成。

（一）設(shè)計(jì)問題，思考概念本質(zhì)

在概念生成過程中，教師要注意問題設(shè)計(jì)，并給予學(xué)生充足的思考時(shí)間和空間，解放他們的頭腦，引導(dǎo)觀察、分析、思考、交流和合作探究等一系列活動(dòng)，促使其在問題中抽象概念的核心本質(zhì)，理解概念的含義。

例如，在《軸對(duì)稱圖形》這一單元第四課《線段、角的軸對(duì)稱性》的教學(xué)設(shè)計(jì)中，教師安排了“對(duì)折線段”這一活動(dòng)，并向?qū)W生提出問題：對(duì)折線段，探索折痕與線段的關(guān)系；第二次對(duì)折線段，觀察折痕任一點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)距離的關(guān)系；通過對(duì)對(duì)折后的線段進(jìn)行觀察，學(xué)生之間展開討論，比較線段端點(diǎn)到折線的距離，并在提示和反思中逐漸認(rèn)識(shí)到線段對(duì)稱性的表象。這樣的認(rèn)知有利于學(xué)生抓住線段對(duì)稱性的本質(zhì)，鍛煉抽象思維，也可以為后續(xù)的概念表述奠定基礎(chǔ)。

（二）引導(dǎo)表達(dá)，概括概念內(nèi)容

在促使學(xué)生認(rèn)識(shí)并理解了概念的表象后，教師應(yīng)將學(xué)習(xí)的主動(dòng)權(quán)繼續(xù)交給學(xué)生，引導(dǎo)嘗試用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)客觀世界，即對(duì)所學(xué)的概念進(jìn)行描述，以發(fā)展學(xué)生的語(yǔ)言表達(dá)能力與抽象能力。例如，在探究《線段、角的軸對(duì)稱性》的概念教學(xué)中，學(xué)生根據(jù)“對(duì)折線段”活動(dòng)認(rèn)識(shí)了線段的對(duì)稱性，并在引導(dǎo)和鼓勵(lì)下做出如下描述：線段是軸對(duì)稱圖形，線段的垂直平分線是它的對(duì)稱軸；線段的垂直平分線上的點(diǎn)與線段兩端距離相等。在“用圓規(guī)找點(diǎn)”活動(dòng)中，觀察得到的點(diǎn)均具有此特點(diǎn)。經(jīng)過指導(dǎo)與糾正，得出結(jié)論：到線段兩端距離相等的點(diǎn)位于該線段的垂直平分線上。在“用直尺和圓規(guī)作線段垂直平分線”的活動(dòng)中，學(xué)生通過觀察實(shí)踐操作，描述出結(jié)論：線段的垂直平分線是到線段兩端距離相等的點(diǎn)的集合。這些描述有效鍛煉了學(xué)生的抽象概括思維，培養(yǎng)了他們數(shù)學(xué)表達(dá)能力，加深了對(duì)數(shù)學(xué)概念本質(zhì)的認(rèn)識(shí)，也促進(jìn)了核心素養(yǎng)的發(fā)展。

三、對(duì)象階段——分層練習(xí)，引導(dǎo)辨析，內(nèi)化概念

APOS的另一個(gè)層次就是關(guān)于研究對(duì)象的階段，基于前兩個(gè)層次，這一層次主要針對(duì)對(duì)象進(jìn)行分析，對(duì)于抽象的知識(shí)進(jìn)行內(nèi)化，實(shí)現(xiàn)認(rèn)知的飛躍。從具體到內(nèi)涵再到具體，最終將知識(shí)充分理解，成為自身的知識(shí)儲(chǔ)備。在這一階段，教師可以引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立思考、組織小組交流，并對(duì)學(xué)生進(jìn)行針對(duì)性訓(xùn)練、引導(dǎo)概念辨析，進(jìn)而真正內(nèi)化概念。

（一）針對(duì)練習(xí)，鞏固概念

在生成新的數(shù)學(xué)概念后，教師還應(yīng)設(shè)計(jì)習(xí)題引導(dǎo)學(xué)生練習(xí)應(yīng)用，促使其鞏固概念，消化吸收。例如，在《線段、角的軸對(duì)稱性》的教學(xué)指導(dǎo)中，為夯實(shí)概念學(xué)習(xí)，教師設(shè)計(jì)習(xí)題：

（1）已知Rt△ABC，BC=4，AB的垂直平分線交AC于點(diǎn)D，若AC=6，則△BCD的周長(zhǎng)=____。

（2）在△ABC中，BC=4，AB的垂直平分線交AC于點(diǎn)D，若AC=6，則△BCD的周長(zhǎng)=____。這兩道習(xí)題相對(duì)簡(jiǎn)單，為學(xué)生鞏固線段、角的軸對(duì)稱性提供了幫助。在解答過程中，教師要求學(xué)生獨(dú)立完成，并通過課堂巡視加以指導(dǎo)，針對(duì)學(xué)生常見的錯(cuò)誤進(jìn)行講解糾正，促使學(xué)生更加準(zhǔn)確地理解數(shù)學(xué)概念。

（二）利用變式，內(nèi)化概念

變式在數(shù)學(xué)解題中十分常見。變式可以將原題中的信息發(fā)生變化，促使解題者進(jìn)一步思考數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)。在概念教學(xué)中，教師可以根據(jù)習(xí)題設(shè)計(jì)變式，以強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)屬性，讓學(xué)生更清楚地理解概念，讓概念的理解更豐滿。

例如，在上述習(xí)題（2）中教師進(jìn)行了變式，啟發(fā)學(xué)生辨別概念、深入學(xué)習(xí)：變式1：在△ABC中AB的垂直平分線交AC與點(diǎn)D，已知AB=7，△BCD的周長(zhǎng)等于11，則△ABC的周長(zhǎng)=____。變式2：△ABC中AB的垂直平分線交AC與點(diǎn)D，已知∠A=35°則∠BDC=____。這兩個(gè)變式在原題的基礎(chǔ)上改變了條件，讓學(xué)生對(duì)角的軸對(duì)稱性進(jìn)行了深入探究，并從多方面把握了概念的本質(zhì)。

四、圖式階段——梳理知識(shí)，引導(dǎo)聯(lián)系，納入體系

APOS的最終階段是將知識(shí)在頭腦中形成圖式，從而更好地梳理知識(shí)結(jié)構(gòu)，將知識(shí)系統(tǒng)化，以便更好地運(yùn)用知識(shí)解決實(shí)際中遇到的問題，構(gòu)建綜合心理圖式。在這一階段，教師應(yīng)啟發(fā)學(xué)生回顧聯(lián)想之前所學(xué)，并建構(gòu)知識(shí)體系，深入數(shù)學(xué)概念之間的邏輯關(guān)系，進(jìn)而將新學(xué)概念納入已建構(gòu)的數(shù)學(xué)知識(shí)體系。

（一）梳理知識(shí)，繪制結(jié)構(gòu)圖

結(jié)構(gòu)圖是一種可視化工具，能夠幫助學(xué)生整理思維，厘清概念間的關(guān)聯(lián)，形成整體認(rèn)識(shí)。在學(xué)生完成新的數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)后，教師應(yīng)引導(dǎo)他們繪制知識(shí)結(jié)構(gòu)圖，回顧學(xué)習(xí)過程和方法，梳理知識(shí)脈絡(luò)，以系統(tǒng)把握所學(xué)概念。

例如，在完成《軸對(duì)稱圖形》這一單元的概念學(xué)習(xí)后，學(xué)生根據(jù)教師指導(dǎo)梳理知識(shí)脈絡(luò)，形成了結(jié)構(gòu)圖。結(jié)構(gòu)圖主要圍繞“軸對(duì)稱的性質(zhì)”和“軸對(duì)稱圖形”這兩個(gè)核心概念展開。在“軸對(duì)稱圖形”概念下，按照“線段”“角”“等腰三角形”“等邊三角形”這四部分進(jìn)一步梳理，以形成更加細(xì)致的概念，并進(jìn)行橫向?qū)Ρ龋园盐詹煌S對(duì)稱圖形的特點(diǎn)。

（二）擴(kuò)展聯(lián)想，完善概念體系

在數(shù)學(xué)學(xué)科中各個(gè)概念之間都存在著普遍的關(guān)聯(lián)性，因此，概念的學(xué)習(xí)也不是孤立的。根據(jù)APOS理論的指導(dǎo)，教師需要引導(dǎo)學(xué)生將所掌握的新概念與既有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的相關(guān)概念建立縱橫交錯(cuò)的聯(lián)系，構(gòu)建圖式，形成知識(shí)體系。例如，在《軸對(duì)稱圖形》的概念教學(xué)中，教師一方面關(guān)注本單元概念的內(nèi)涵與外延，將“軸對(duì)稱的性質(zhì)”“軸對(duì)稱圖形”等概念在同一體系下形成關(guān)聯(lián)，構(gòu)建綜合圖式，形成相對(duì)獨(dú)立的知識(shí)體系；另一方面針對(duì)“線段”“角”“等腰三角形”“等邊三角形”的特點(diǎn)，明確概念間的區(qū)別，重點(diǎn)提示、避免混淆，以提升學(xué)生的認(rèn)知，促使其形成更加完善、準(zhǔn)確的概念體系。

五、結(jié)束語(yǔ)

總之，在APOS理論視角下的概念教學(xué)強(qiáng)調(diào)通過情境活動(dòng)引導(dǎo)學(xué)生思考，以獲得初步感知；通過操作活動(dòng)引導(dǎo)反思，實(shí)現(xiàn)概念抽象；通過鞏固訓(xùn)練和知識(shí)辨析來內(nèi)化概念；通過知識(shí)聯(lián)系建立系統(tǒng)化圖式。在未來，隨著課程改革的深入，教育工作者還應(yīng)繼續(xù)挖掘APOS理論在數(shù)學(xué)課程教學(xué)中的應(yīng)用價(jià)值，探索其與學(xué)生核心素養(yǎng)發(fā)展之間的關(guān)系，并形成更多可參考的教學(xué)范式，為初中數(shù)學(xué)課程的深化改革探索更多可能。

（本文系江蘇省教育科學(xué)“十四五”規(guī)劃2022年度重點(diǎn)課題“新課標(biāo)背景下APOS理論在初中數(shù)學(xué)概念教學(xué)中的實(shí)踐研究”階段研究成果，課題編號(hào)：B/2022/03/252）