摘要：創(chuàng)新意識(shí)是義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的主要表現(xiàn)之一。它的內(nèi)涵包括三個(gè)維度：嘗試發(fā)現(xiàn)與提出問題；通過歸納與類比的方式猜想、發(fā)現(xiàn)；探索非常規(guī)的開放性問題。數(shù)學(xué)教學(xué)中，可以采取鼓勵(lì)質(zhì)疑問難、引導(dǎo)發(fā)散思維、組織綜合實(shí)踐等途徑或策略培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)。

關(guān)鍵詞：創(chuàng)新意識(shí)；數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)；問題提出；合情推理；開放問題

本文系江蘇省南京市教育科學(xué)“十四五”規(guī)劃課題“指向育人：‘開放性數(shù)學(xué)問題’驅(qū)動(dòng)下初中生創(chuàng)新意識(shí)培養(yǎng)的實(shí)踐研究”（編號(hào)：L/2024/048）、江蘇省中小學(xué)教學(xué)研究第十五期重點(diǎn)課題“實(shí)踐育人：指向素養(yǎng)發(fā)展的初中數(shù)學(xué)跨學(xué)科項(xiàng)目教學(xué)的研究”（編號(hào)：2023JY15ZA10）的階段性研究成果。

一、 創(chuàng)新意識(shí)的內(nèi)涵

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡稱“新課標(biāo)”）將創(chuàng)新意識(shí)作為小學(xué)與初中階段數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的主要表現(xiàn)之一，

并指出：“創(chuàng)新意識(shí)主要是指主動(dòng)嘗試從日常生活、自然現(xiàn)象或科學(xué)情境中發(fā)現(xiàn)和提出有意義的數(shù)學(xué)問題。初步學(xué)會(huì)通過具體的實(shí)例，運(yùn)用歸納和類比發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)關(guān)系與規(guī)律，提出數(shù)學(xué)命題與猜想，并加以驗(yàn)證；勇于探索一些開放性的、非常規(guī)的實(shí)際問題與數(shù)學(xué)問題?！保?］

可見，創(chuàng)新意識(shí)的內(nèi)涵包括三個(gè)維度：

一是嘗試發(fā)現(xiàn)與提出問題，也可以說是“問題意識(shí)”。愛因斯坦說過：“提出一個(gè)問題往往比解決一個(gè)問題更為重要，提出新問題需要?jiǎng)?chuàng)造性的想象力，而且標(biāo)志著科學(xué)的真正進(jìn)步?！保?］蔡金法教授也指出：數(shù)學(xué)課標(biāo)強(qiáng)調(diào)發(fā)現(xiàn)與提出問題，所要實(shí)現(xiàn)的兩個(gè)重要改變之一就是學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)。［3］例如，從生活現(xiàn)象中提出問題：車輪為什么都是圓形的？身份證號(hào)碼中有哪些信息？人為什么會(huì)打呵欠？

……從自然現(xiàn)象中提出問題：彩虹為什么總是彎曲的？星星為什么會(huì)閃？向日葵為什么總是朝著太陽？……從數(shù)學(xué)現(xiàn)象中提出問題：1×1＝1，11×11＝121，111×111＝12321，那么，111111111×111111111的結(jié)果符合類似的規(guī)律嗎？11n的結(jié)果有什么規(guī)律？……

二是通過歸納與類比的方式猜想、發(fā)現(xiàn)，即合情推理（探索性思維）。國內(nèi)外，通過G.波利亞和徐利治等學(xué)者的著作，人們已經(jīng)認(rèn)識(shí)到：數(shù)學(xué)研究（學(xué)習(xí)）不僅需要演繹推理和確定性思維，而且需要合情推理和探索性思維——后者包含更多的創(chuàng)造性成分。例如，計(jì)算15×15、25×25、35×35等的結(jié)果后猜想一般性結(jié)論，就是一種歸納推理；由平方差公式的圖形推導(dǎo)方法（如圖1所示）得到完全平方公式的推導(dǎo)方法（如圖2所示）和立方差公式的推導(dǎo)方法（如圖3所示），則是一種類比推理。它們都具有探索中的創(chuàng)造性。

三是探索非常規(guī)的開放性問題，也可以說是探索性問題（exploratory problem）、結(jié)構(gòu)不良問題（ill-structure problem）、調(diào)查性項(xiàng)目（investigative project）、現(xiàn)實(shí)主義數(shù)學(xué)（realistic mathematics）等［4］。開放題在近幾十年全世界的數(shù)學(xué)教育領(lǐng)域備受矚目，其原因主要在于：彌補(bǔ)了一般性練習(xí)（重視內(nèi)容知識(shí)的掌握）所缺乏的為數(shù)學(xué)過程思維（尤其是高層次思維，如創(chuàng)造性思維）的發(fā)展提供的自由空間（課程載體），促進(jìn)了數(shù)學(xué)教育中至為重要的內(nèi)容（知識(shí)）與過程（思維）的平衡。［5］例如：在等邊三角形ABC所在的平面內(nèi)找一點(diǎn)E，使得△EAB、△EAC、△EBC都是等腰三角形，這樣的點(diǎn)E有多少個(gè)？這樣的條件或結(jié)論不唯一、不確定的開放性問題，能引導(dǎo)學(xué)生多角度探索，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)。

二、 創(chuàng)新意識(shí)的培養(yǎng)

針對(duì)創(chuàng)新意識(shí)內(nèi)涵的三個(gè)維度，數(shù)學(xué)教學(xué)中，可以采取鼓勵(lì)質(zhì)疑問難、引導(dǎo)發(fā)散思維、組織綜合實(shí)踐等途徑或策略培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)。下面重點(diǎn)結(jié)合初中數(shù)學(xué)教學(xué)的具體案例加以說明。

（一） 鼓勵(lì)質(zhì)疑問難

創(chuàng)新意識(shí)表現(xiàn)為嘗試發(fā)現(xiàn)與提出問題。因此，教師要多鼓勵(lì)、引導(dǎo)學(xué)生提出問題，尤其是提出自己在學(xué)習(xí)中感到疑難困惑的問題。為此，要?jiǎng)?chuàng)設(shè)寬松自由的教學(xué)氛圍，讓學(xué)生敢于質(zhì)疑問難；還要適當(dāng)?shù)卦O(shè)計(jì)情境和引導(dǎo)語［6］，讓學(xué)生能夠質(zhì)疑問難。

【案例1】“負(fù)負(fù)得正”是如何得來的？

教學(xué)“有理數(shù)的乘法”時(shí)，“負(fù)負(fù)得正”的解釋始終是繞不過去的難關(guān)。蘇科版初中數(shù)學(xué)教材這樣解釋：水位一天下降4 cm，三天下降12 cm，所以（－4）×3＝－12；（－4）×3與（－4）×（－3）互為相反數(shù)，所以（－4）×（－3）＝12。這樣的解釋將實(shí)際背景與代數(shù)推理相結(jié)合，使得大部分學(xué)生相信這一法則成立。但是，還有學(xué)生不能理解：為什么兩個(gè)負(fù)號(hào)相乘，就變成了正號(hào)？負(fù)號(hào)去哪里了？教師要允許、鼓勵(lì)學(xué)生表達(dá)這樣的困惑，然后順著學(xué)生的思路循循善誘：（－1）×（1－1）等于多少？［（－1）×（1－1）=（-1）×0=0。］假設(shè)（－1）×（－1）＝－1，那么（－1）×1＋（－1）×（－1）等于多少？（－1－1＝－2。）乘法分配律還成立嗎？［因?yàn)椋ǎ?）×（1－1）≠（－1）×1＋（－1）×（－1），所以乘法分配律不成立了。］由此，通過逆向思考讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到：“負(fù)負(fù)得正”是一種規(guī)定，不能證明，但很合理——能使乘法分配律依然成立。

【案例2】“邊邊角”能否判定三角形全等？

學(xué)完“三角形全等的判定”后，學(xué)生回顧已有的判定條件，很容易發(fā)現(xiàn)它們都是三組邊或角對(duì)應(yīng)相等且至少有一組是邊，從而對(duì)為什么沒有“邊邊角”這樣的條件感到困惑。果然，一次教學(xué)中，一名學(xué)生問道：為什么“邊邊角”不可以判定兩個(gè)三角形全等？我畫的就可以！教師肯定了他善于思考、敢于提問，然后追問：能告訴我你畫的具體邊長和角度分別是多少嗎？該生答道：兩條邊長分別是2 cm和3 cm，其中2 cm所對(duì)的角是30°。教師便讓其他學(xué)生也按該生設(shè)定的數(shù)據(jù)畫出三角形，然后組織全班交流，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)：可以畫出兩種三角形（如圖4所示），同一種三角形能夠完全重合，即全等；不同種三角形不能完全重合，即不全等，且有一組內(nèi)角互補(bǔ)。然后，教師繼續(xù)追問：那么，“邊邊角”條件是一定不可以判定兩個(gè)三角形全等，還是有時(shí)不可以（有時(shí)可以）判定兩個(gè)三角形全等？學(xué)生進(jìn)一步探索，發(fā)現(xiàn)：當(dāng)條件角是直角或鈍角且對(duì)著條件邊中的大邊時(shí)，可以判定兩個(gè)（直角或鈍角）三角形全等（這其實(shí)推廣了“HL”判定方法）；當(dāng)兩個(gè)條件邊相等且條件角為銳角時(shí)，也可以判定兩個(gè)（等腰）三角形全等。這樣，通過質(zhì)疑問難，學(xué)生對(duì)“三角形全等的判定”有了新的認(rèn)識(shí)。

【案例3】任意的四邊形都有內(nèi)切圓嗎？

學(xué)完“三角形的內(nèi)切圓”后，教師引導(dǎo)學(xué)生回顧相關(guān)知識(shí)：三角形都有外接圓和內(nèi)切圓；當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)角互補(bǔ)（對(duì)角之和相等）時(shí)，四邊形有外接圓。然后讓學(xué)生提出問題。學(xué)生自然地提出了：四邊形有內(nèi)切圓嗎？什么時(shí)候四邊形有內(nèi)切圓？這個(gè)問題有一定的難度。教師引導(dǎo)學(xué)生從特殊情況出發(fā)，畫圖探索。學(xué)生先發(fā)現(xiàn)：正方形、菱形、箏形有內(nèi)切圓，一般的矩形、平行四邊形沒有內(nèi)切圓。便猜想：當(dāng)鄰邊相等時(shí)，四邊形有內(nèi)切圓。教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步思考：反過來成立嗎？當(dāng)鄰邊不相等時(shí)，四邊形可能有內(nèi)切圓嗎？學(xué)生想到梯形還沒有研究，于是繼續(xù)畫圖探索，發(fā)現(xiàn)：特殊梯形（如等腰梯形、直角梯形）和一般梯形都可能有內(nèi)切圓，也可能沒有內(nèi)切圓。教師引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)內(nèi)切圓與四條邊都相切，首先由與兩底所在直線（兩條平行線）相切作出可能的內(nèi)切圓，然后構(gòu)造梯形，讓兩腰也與所作圓相切（如圖5所示）。然后讓學(xué)生思考：在兩腰變化的過程中，梯形的邊或角之間是否存在不變的數(shù)量關(guān)系？由此，學(xué)生能夠發(fā)現(xiàn)：梯形的對(duì)邊之和始終相等。

進(jìn)而，運(yùn)用切線長定理，便可證明：當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)邊之和相等時(shí)，四邊形有內(nèi)切圓。

（二） 引導(dǎo)發(fā)散思考

創(chuàng)新意識(shí)又表現(xiàn)為歸納、類比，從而猜想、發(fā)現(xiàn)。相對(duì)于演繹推理，合情推理是一種探索性思維，具有很強(qiáng)的不確定性，或者說發(fā)散性。因此，教師要多鼓勵(lì)、引導(dǎo)學(xué)生發(fā)散思考、舉一反三，使學(xué)生打開思維的大門，從不同的角度展開思考，尤其要使學(xué)生不滿足于既有認(rèn)識(shí)與想法，不斷拓寬視野，探索新的理解與思路。為此，在知識(shí)教學(xué)中，要引導(dǎo)學(xué)生轉(zhuǎn)換表征形式，聯(lián)想相關(guān)知識(shí)，使學(xué)生在發(fā)散思考中，完善CPFS結(jié)構(gòu)［7］；以此為基礎(chǔ)，在解題教學(xué)中，要使學(xué)生在發(fā)散思考中，從“一題多解”走向“一題優(yōu)解”［8］。

【案例4】數(shù)字“1”有多少種表達(dá)形式？

在一節(jié)復(fù)習(xí)課上，教師提問：對(duì)于數(shù)字“1”，你能想到幾種表達(dá)形式？在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生發(fā)散思考，得到：（1） 分?jǐn)?shù)及百分?jǐn)?shù)的形式，如1＝22＝100%；（2） 和的形式，如1＝12＋12＝0.5＋0.5；（3） 積的形式，即互為倒數(shù)的兩個(gè)數(shù)之積；（4） 冪的形式，如1＝12014＝20；（5） 三角函數(shù)的形式，如1＝sin2α＋cos2α＝tan 45°……

【案例5】由等式x2＋y2＝1能想到什么？

在一節(jié)復(fù)習(xí)課上，教師提問：由x2＋y2＝1，你能想到什么？經(jīng)過5—8分鐘的思考，學(xué)生想到：（1） x=0、y=1等取值情況；（2） 斜邊長是1的直角三角形三邊的數(shù)量關(guān)系；（3） sin2α＋cos2α＝1；（4） 平面直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)為圓心、1為半徑的圓上點(diǎn)的坐標(biāo)滿足的關(guān)系式；（5） 完全平方公式（x＋y）2＝1＋2xy、（x-y）2＝1-2xy。這里，（1）是將等式看作一個(gè)二元方程，找到多組解；（2）（3）（4）是把數(shù)量關(guān)系圖形化（代數(shù)問題幾何化），變成“形”結(jié)構(gòu)——初中數(shù)學(xué)課程中，對(duì)三角函數(shù)的理解偏向幾何；（5）是對(duì)“數(shù)”結(jié)構(gòu)的拓展，即由平方和的結(jié)構(gòu)想到和（差）的結(jié)構(gòu)、積的結(jié)構(gòu)。

在此基礎(chǔ)上，教師繼續(xù)提問：x＋y有最大值嗎？是多少？很快，就有學(xué)生按照剛剛的理解給出了解決的思路：（1） 根據(jù)“數(shù)”結(jié)構(gòu)，設(shè)x＋y＝t，得（t－y）2 ＋y2＝1，將其看作關(guān)于y的一元二次方程，整理成一般形式得2y2－2ty＋t2－1=0，由該方程有解，即判別式大于等于0，易得t的取值范圍。（2） 根據(jù)“形”結(jié)構(gòu)，作出圖6，設(shè)AB=x，AC=y，BC=1，則點(diǎn)A在以BC為直徑的半圓上，設(shè)點(diǎn)D在BA的延長線上，AD=AC，則BD=x＋y，易得∠BDC=45°，因此點(diǎn)D在以BC為弦的優(yōu)弧上，所以，BD為該優(yōu)弧所在圓的直徑時(shí)，x＋y最大。這樣，就以發(fā)散思考為基礎(chǔ)，從知識(shí)理解走向了問題解決。

（三） 組織綜合實(shí)踐

創(chuàng)新意識(shí)還表現(xiàn)為探索非常規(guī)的開放性問題。從課程內(nèi)容的角度看，“數(shù)與代數(shù)”“圖形與幾何”“統(tǒng)計(jì)與概率”等知識(shí)領(lǐng)域的問題多為指向具體知識(shí)鞏固應(yīng)用的封閉性（結(jié)構(gòu)良好）問題，不是真正意義上（“問題解決”中）的問題；“綜合與實(shí)踐”這個(gè)非知識(shí)領(lǐng)域的問題基本上是開放性（結(jié)構(gòu)不良）問題，才是真正意義上（“問題解決”中）的問題。廣義上，“綜合與實(shí)踐”問題是“真實(shí)情境”下的問題，基于數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)，包括數(shù)學(xué)內(nèi)部問題和數(shù)學(xué)外部問題，強(qiáng)調(diào)綜合性或?qū)嵺`性，因而，更不確定，更需要探索，更能凸顯學(xué)生個(gè)性。因此，教師要多設(shè)置“綜合與實(shí)踐”問題，多組織綜合實(shí)踐活動(dòng)。

【案例6】將正方形分割成等腰直角三角形

教學(xué)“軸對(duì)稱圖形”一章后，可以出示人教版初中數(shù)學(xué)教材配套的教師用書提供的問題：

你能將正方形割成6個(gè)等腰直角三角形嗎？如圖7，已經(jīng)給出了一些畫法，你能繼續(xù)完成一些嗎？

本題具有很強(qiáng)的開放性：條件很簡單，結(jié)論卻非常豐富多樣。參考已經(jīng)給出的樣例，經(jīng)由教師的引導(dǎo)，學(xué)生能夠發(fā)現(xiàn)：連對(duì)角線可以得到一些等腰直角三角形；作斜邊上的高可以將已有的等腰直角三角形分割為兩個(gè)等腰直角三角形；作與對(duì)角線平行的線可以在一個(gè)角落分割出等腰直角三角形，并與所平行的對(duì)角線夾一個(gè)等腰梯形；適當(dāng)調(diào)整與對(duì)角線平行的線，可以讓所夾的等腰梯形能分割為若干個(gè)等腰直角三角形……然后不斷嘗試，可以得到多種不同的分割方法。

【案例7】繪制學(xué)校平面圖

教學(xué)“圖形的測(cè)量與性質(zhì)”“圖形的位置與坐標(biāo)”的相關(guān)知識(shí)后，教師參考新課標(biāo)附錄1的例60，提出問題：你能將美麗的校園繪制到圖紙上，利用平面圖形的形狀、大小以及位置關(guān)系表明校園中的各個(gè)場(chǎng)所和區(qū)域嗎？然后引導(dǎo)學(xué)生將其分解為若干個(gè)子問題：會(huì)用到哪些數(shù)學(xué)工具？（比例尺、方向的判定、圖形形狀的判定、圖形大小的測(cè)量以及圖形位置關(guān)系的判定與測(cè)量等。）校園內(nèi)都有什么場(chǎng)所？場(chǎng)所之間是什么區(qū)域？它們都有什么作用？行政樓、教學(xué)樓、體育館、操場(chǎng)、景觀、道路等場(chǎng)所或區(qū)域是什么形狀的？有關(guān)的長度、角度等怎么測(cè)量？（利用正規(guī)的測(cè)量工具或因地制宜地采用標(biāo)準(zhǔn)物、“身體尺”等工具；多次測(cè)量取平均值）立體的校園如何呈現(xiàn)在平面的圖紙上？……

經(jīng)過討論，初步解決這些問題后，還要組織學(xué)生分工完成測(cè)量和繪制。比如：有小組測(cè)量建筑場(chǎng)館（可以數(shù)地磚）；有小組測(cè)量開放區(qū)域（可以數(shù)步數(shù)、“手拉手”數(shù)人數(shù)）；有小組搜集資料，匯總數(shù)據(jù)；還有小組轉(zhuǎn)換數(shù)據(jù)，按照適當(dāng)?shù)谋壤呃L圖，等等。此外，還要組織學(xué)生交流（相互評(píng)價(jià)）實(shí)踐成果，反思測(cè)量、繪制過程，總結(jié)經(jīng)驗(yàn)教訓(xùn)。

【案例8】新能源汽車真的普及了嗎？

教學(xué)“統(tǒng)計(jì)與概率”的有關(guān)知識(shí)后，教師與學(xué)生談?wù)摃r(shí)下的熱點(diǎn)話題——新能源汽車。出示新聞：“根據(jù)網(wǎng)絡(luò)數(shù)據(jù)顯示，2024年上半年新能源汽車的總銷量已累計(jì)達(dá)到389萬輛，比去年增長32.5%?！比缓筇釂枺哼@樣的數(shù)據(jù)在本地是否有可信度？可以采取怎樣的手段證實(shí)或證偽這一點(diǎn)？經(jīng)過課堂討論，教師組織學(xué)生課外分工展開調(diào)查：（1） 對(duì)比分析網(wǎng)上各地新能源汽車的比例；（2） 在多個(gè)小區(qū)停車場(chǎng)數(shù)綠牌車和藍(lán)牌車的數(shù)量；（3） 在某個(gè)交通要道早、中、晚三個(gè)時(shí)間段分別統(tǒng)計(jì)10分鐘以內(nèi)綠牌車和藍(lán)牌車的數(shù)量。（4） 設(shè)計(jì)調(diào)查問卷，統(tǒng)計(jì)汽車出行人員的車輛信息。獲得數(shù)據(jù)后，組織學(xué)生在課堂上選擇合適的統(tǒng)計(jì)圖表整理數(shù)據(jù)，進(jìn)行分析，作出判斷，同時(shí)比較不同調(diào)查方式所得結(jié)果的異同，感悟數(shù)據(jù)的隨機(jī)性和規(guī)律性。

參考文獻(xiàn)：

［1］ 中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）［S］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2022：11.

［2］ 愛因斯坦，英費(fèi)爾德.物理學(xué)的進(jìn)化［M］.周肇威，譯.長沙：湖南教育出版社，1999：59.

［3］［6］ 蔡金法，王濤.體現(xiàn)和落實(shí)核心素養(yǎng)：解讀新課標(biāo)中的“問題提出”［J］.教育研究與評(píng)論，2022（10）：412.

［4］［5］ 孫旭花.數(shù)學(xué)問題設(shè)計(jì)的誤區(qū)和出路［J］.教育研究與評(píng)論，2023（3）：5156.

［7］ 傅贏芳，喻平.CPFS結(jié)構(gòu)理論及其對(duì)數(shù)學(xué)概念教學(xué)的啟示［J］.教育研究與評(píng)論（中學(xué)教育教學(xué)），2020（6）：2833.

［8］ 顧鋒，寧連華.數(shù)學(xué)解題教學(xué)：從“一題多解”到“一題優(yōu)解”［J］.教育研究與評(píng)論（中學(xué)教育教學(xué)），2023（7）：712.