尹力 郭修瑾

摘要：從算術(shù)到代數(shù)的過(guò)渡，是小初數(shù)學(xué)銜接的重要方面。對(duì)此，應(yīng)重視在算術(shù)內(nèi)容的教學(xué)中滲透代數(shù)思維，引導(dǎo)學(xué)生挖掘普適性數(shù)學(xué)關(guān)系，感悟一般化抽象、符號(hào)化表征、推理、論證等思維過(guò)程。具體地，包括：在數(shù)概念的學(xué)習(xí)中，認(rèn)識(shí)不確定的數(shù)；在等號(hào)含義的學(xué)習(xí)中，理解等量關(guān)系；在數(shù)學(xué)運(yùn)算的學(xué)習(xí)中，探尋算式結(jié)構(gòu)；在運(yùn)算規(guī)律的學(xué)習(xí)中，經(jīng)歷概括論證。

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué)；代數(shù)思維；算術(shù)內(nèi)容；一般化；數(shù)量關(guān)系

長(zhǎng)期以來(lái)，小學(xué)數(shù)學(xué)課程重視算術(shù)內(nèi)容，初中數(shù)學(xué)課程重視代數(shù)內(nèi)容。代數(shù)是算術(shù)的發(fā)展：一般化，基于字母表示數(shù)。因此，從算術(shù)到代數(shù)的過(guò)渡，是小初數(shù)學(xué)銜接的重要方面。從1978年開(kāi)始，我國(guó)便在小學(xué)數(shù)學(xué)課程中逐步滲透代數(shù)的內(nèi)容；21世紀(jì)新課程改革以來(lái)，“數(shù)與代數(shù)”更是成為我國(guó)義務(wù)教育（小學(xué)與初中）數(shù)學(xué)課程共同的一個(gè)學(xué)習(xí)領(lǐng)域。但是，小學(xué)數(shù)學(xué)課程中的代數(shù)內(nèi)容一直有一些變化。比如，1978年的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱中設(shè)置了“簡(jiǎn)易方程”，而《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡(jiǎn)稱“新課標(biāo)”）將小學(xué)階段的方程內(nèi)容全部移到了初中階段。［1］

實(shí)際上，從算術(shù)到代數(shù)的過(guò)渡，更應(yīng)重視在算術(shù)內(nèi)容的教學(xué)中滲透代數(shù)思維。代數(shù)思維是一種區(qū)別于算術(shù)思維的思考數(shù)學(xué)問(wèn)題的方式，其本質(zhì)在于對(duì)一般性的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)進(jìn)行推理或分析，并且在這個(gè)過(guò)程中通常出現(xiàn)不確定的量（包括未知量與變量）。［2］發(fā)展小學(xué)生的代數(shù)思維能促進(jìn)其抽象與推理能力的發(fā)展。教師可以在算術(shù)內(nèi)容的教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生挖掘普適性數(shù)學(xué)關(guān)系，感悟一般化抽象、符號(hào)化表征、推理、論證等思維過(guò)程。

一、在數(shù)概念的學(xué)習(xí)中，認(rèn)識(shí)不確定的數(shù)

（一）從靜態(tài)的數(shù)到動(dòng)態(tài)的數(shù)

數(shù)是確定的，是對(duì)數(shù)量的抽象（數(shù)量是對(duì)事物屬性的定量刻畫(huà)），但其表征與蘊(yùn)含的關(guān)系是多元的，可以根據(jù)需要合理表征。數(shù)的學(xué)習(xí)中，代數(shù)思維體現(xiàn)為不僅將數(shù)看作靜態(tài)結(jié)果，也把數(shù)看成不同關(guān)系的組合，從而建構(gòu)對(duì)數(shù)的多角度理解。

啟發(fā)學(xué)生用不同的方式表征數(shù)，是幫助學(xué)生對(duì)數(shù)建立動(dòng)態(tài)理解的關(guān)鍵。比如，要求學(xué)生從5開(kāi)始寫(xiě)出三個(gè)連續(xù)的自然數(shù)，學(xué)生一般會(huì)寫(xiě)出5、6、7。如果教學(xué)僅限于此，那么，學(xué)生對(duì)數(shù)的理解是單一的，數(shù)之間的關(guān)系被淡化了。教師可以組織學(xué)生探索其他表征方式，逐步引導(dǎo)學(xué)生寫(xiě)出5、5+1、5+2。以這種方式表征，不僅可以表示數(shù)5、6、7，也能促使學(xué)生關(guān)注這三個(gè)連續(xù)的自然數(shù)之間的關(guān)系。在此基礎(chǔ)上，可以進(jìn)一步啟發(fā)學(xué)生探索更多的方式來(lái)表征蘊(yùn)含這樣關(guān)系的三個(gè)數(shù)，如7-2、7-1、7，還有6-1、6、6+1等。

像這樣表征數(shù)的方式，可以進(jìn)一步拓展到其他問(wèn)題中。比如，隨著學(xué)生認(rèn)數(shù)范圍的擴(kuò)充，教師可以引導(dǎo)學(xué)生表征較大的整數(shù)以及小數(shù)、分?jǐn)?shù)。隨著學(xué)生知識(shí)經(jīng)驗(yàn)的豐富，教師也可以引導(dǎo)學(xué)生表征連續(xù)的奇數(shù)或者偶數(shù)，甚至可以用來(lái)探索各種與數(shù)有關(guān)的規(guī)律。例如：在圖1中任意框出“十字架”形的5個(gè)數(shù)，說(shuō)出其他4個(gè)數(shù)與中間的數(shù)有什么關(guān)系？［3］用13、17、18、19、23這樣的形式表達(dá)，其內(nèi)在的規(guī)律不易被發(fā)現(xiàn)。而用18-5、18-1、18、18+1、18+5的表征方式多列舉幾組，學(xué)生就容易發(fā)現(xiàn)并概括其中蘊(yùn)含的數(shù)的規(guī)律：用a表示中間的數(shù)，則a-5、a+5、a-1、a+1分別表示上下左右4個(gè)數(shù)。這些內(nèi)容的學(xué)習(xí)有助于學(xué)生體會(huì)到數(shù)是動(dòng)態(tài)的，可以進(jìn)行合理的分解，感悟數(shù)中蘊(yùn)含著多元的關(guān)系。

（二）從具體的數(shù)到概括的數(shù)

代數(shù)思維的核心是“一般化”，即不斷提升數(shù)學(xué)對(duì)象的抽象水平。對(duì)數(shù)的再抽象便是從具體的數(shù)向概括的數(shù)發(fā)展。有的問(wèn)題中，數(shù)是已知且確定的，學(xué)生能理解用某個(gè)具體的數(shù)表示。而有的問(wèn)題中，數(shù)是不確定的，需要用多個(gè)甚至是無(wú)數(shù)個(gè)具體的數(shù)表示。這不利于實(shí)際應(yīng)用，所以需要轉(zhuǎn)變思維，用某個(gè)符號(hào)表征這些不確定的數(shù)，并理解符號(hào)所表征的數(shù)的含義與能夠參與運(yùn)算的功能。

從具體的數(shù)到概括的數(shù)的認(rèn)識(shí)過(guò)程不是一蹴而就的。教師需要捕捉教學(xué)中的契機(jī)，引入適當(dāng)?shù)膯?wèn)題情境，促使學(xué)生主動(dòng)對(duì)具體的數(shù)進(jìn)行概括?！坝米帜副硎緮?shù)”是專門(mén)學(xué)習(xí)概括的數(shù)的內(nèi)容，教學(xué)中可出示問(wèn)題：甲、乙兩地之間的公路長(zhǎng)280千米，一輛汽車從甲地開(kāi)往乙地，行了多少千米，還剩多少千米？對(duì)此，關(guān)鍵在于引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)行駛的路程是不確定的，無(wú)法用具體的數(shù)表示，需要用其他符號(hào)表示；其次才是引導(dǎo)學(xué)生從多種表征方式向規(guī)范的字母表示發(fā)展。當(dāng)然，在學(xué)習(xí)“用字母表示數(shù)”之前，也有很多機(jī)會(huì)讓學(xué)生感知數(shù)的概括意義。比如上述探索數(shù)的規(guī)律的問(wèn)題，在表征規(guī)律時(shí)，具體的數(shù)有局限性，用符號(hào)表征才能幫助學(xué)生理解規(guī)律的普遍適用性。

二、在等號(hào)含義的學(xué)習(xí)中，理解等量關(guān)系

等號(hào)具有兩重含義，即程序性意義與關(guān)系性意義。前者是算術(shù)思維的體現(xiàn)，后者是代數(shù)思維的體現(xiàn)?？ㄅ硖氐日J(rèn)為，由算術(shù)思維向代數(shù)思維轉(zhuǎn)換的標(biāo)志之一是從等號(hào)的程序觀念到關(guān)系觀念的轉(zhuǎn)變。實(shí)際上，學(xué)生剛認(rèn)識(shí)大于、小于和等于時(shí)，認(rèn)為三種符號(hào)就是用來(lái)表征關(guān)系的。后來(lái)，長(zhǎng)時(shí)間的運(yùn)算學(xué)習(xí)使得學(xué)生將等號(hào)看作執(zhí)行運(yùn)算的指令，即等號(hào)的右邊要輸出運(yùn)算的結(jié)果。因而，在算術(shù)教學(xué)中，應(yīng)該重建學(xué)生對(duì)等號(hào)的理解，強(qiáng)化學(xué)生對(duì)等號(hào)關(guān)系性質(zhì)的認(rèn)識(shí)，啟發(fā)學(xué)生將等號(hào)看作等價(jià)的標(biāo)志，即表示兩邊的數(shù)學(xué)對(duì)象大小相等。

（一）借助直觀模型，理解相等關(guān)系

天平是表征關(guān)系的直觀模型。借助天平，學(xué)生能從感性到理性逐步理解等號(hào)的關(guān)系性質(zhì)。比如，利用天平開(kāi)展數(shù)學(xué)活動(dòng)：如圖2，盤(pán)子里每個(gè)蘋(píng)果的重量都相等，從5個(gè)盤(pán)子里選出一些盤(pán)子里的蘋(píng)果（一個(gè)盤(pán)子里的蘋(píng)果不分開(kāi)）放到天平的兩邊，使天平保持平衡，可以怎么放？引導(dǎo)學(xué)生找出多種方法，重點(diǎn)體會(huì)任意一種方法中天平左右兩邊蘋(píng)果交換后仍然可以保持平衡，為學(xué)生理解等號(hào)兩邊的數(shù)或式交換位置后相等關(guān)系仍然成立打下基礎(chǔ)。再啟發(fā)學(xué)生用算式表示天平兩邊蘋(píng)果的數(shù)量關(guān)系，主要引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)天平模型寫(xiě)出3=1+2、5=1+4、5=2+3一類算式。接著，組織學(xué)生觀察這類算式的特點(diǎn)，并與1+2=3、1+4=5、2+3=5這類算式比較，體會(huì)等號(hào)表示兩邊的數(shù)相等，等號(hào)兩邊的數(shù)即便交換位置，也不會(huì)改變它們的相等關(guān)系。

（二）建構(gòu)等式性質(zhì)，強(qiáng)化相等關(guān)系

等式性質(zhì)是對(duì)相等關(guān)系的拓展，有助于學(xué)生進(jìn)一步理解等號(hào)的關(guān)系性質(zhì)，以代數(shù)思維分析與解決問(wèn)題。等式的性質(zhì)1與等式的性質(zhì)2具有內(nèi)在的關(guān)聯(lián)：兩邊同時(shí)乘一個(gè)數(shù)，本質(zhì)上是兩邊同時(shí)加上若干個(gè)相同的數(shù)；兩邊同時(shí)除以一個(gè)非0的數(shù)，本質(zhì)上是兩邊同時(shí)連續(xù)減去若干個(gè)相同的數(shù)。教學(xué)時(shí)，仍需借助天平這一直觀模型，幫助學(xué)生理解等號(hào)兩邊同時(shí)變化的過(guò)程，逐步抽象出等式的性質(zhì)1與等式的性質(zhì)2，形成意義理解。

在此基礎(chǔ)上，有意識(shí)地應(yīng)用等式的性質(zhì)判斷等式是否成立，是衡量學(xué)生是否具有代數(shù)思維的標(biāo)志。比如，通過(guò)問(wèn)題

“已知m=n，在（）里填入合適的數(shù)或字母：m+4=n+（），m×p=n×（），m-（）=n-17，m÷（）=n÷q”［4］，測(cè)評(píng)學(xué)生對(duì)等式性質(zhì)的掌握水平。算術(shù)思維下，學(xué)生判斷等號(hào)左右兩邊是否相同，需要算出結(jié)果進(jìn)行比較。而該問(wèn)題中，學(xué)生無(wú)法計(jì)算，只能依據(jù)等式的性質(zhì)進(jìn)行推理。在探索與應(yīng)用等式性質(zhì)的過(guò)程中，學(xué)生不僅能從新的角度理解等號(hào)的含義，也能接觸很多新穎的等式（以往都是等號(hào)右邊只有一個(gè)數(shù)的類型），從而為代數(shù)思維的發(fā)展打下基礎(chǔ)。

三、在數(shù)的運(yùn)算的學(xué)習(xí)中，探尋算式結(jié)構(gòu)

計(jì)算是算術(shù)學(xué)習(xí)中的重要內(nèi)容。教師普遍重視學(xué)生運(yùn)算能力的培養(yǎng)，學(xué)生也基本能形成良好的運(yùn)算技能，最顯著的表現(xiàn)是：遇到一步算式，便列豎式計(jì)算；遇到綜合算式，便按照運(yùn)算順序一步步計(jì)算，熟練度與正確率都比較高，但這些都是程序化算術(shù)思維的體現(xiàn)。而運(yùn)算能力不僅指正確計(jì)算，還包含根據(jù)運(yùn)算律選擇合理簡(jiǎn)潔的運(yùn)算途徑。這其中蘊(yùn)含了代數(shù)思維的培養(yǎng)契機(jī)。

早期代數(shù)研究者提出“準(zhǔn)變量”的概念，意指在一個(gè)或一組算式中，存在某些潛在的數(shù)學(xué)關(guān)系，這些數(shù)學(xué)關(guān)系不會(huì)因?yàn)閿?shù)字的改變而變化。數(shù)字是具體可變的，但其中蘊(yùn)含的關(guān)系一般是不變的。學(xué)生可以具體數(shù)字為載體，探索應(yīng)用其中的一般關(guān)系。因而，“準(zhǔn)變量思維”被稱作溝通算術(shù)思維與代數(shù)思維的橋梁。計(jì)算教學(xué)中，可以啟發(fā)學(xué)生轉(zhuǎn)換自動(dòng)化的算術(shù)思維，應(yīng)用“準(zhǔn)變量思維”挖掘算式中隱藏的關(guān)系，通過(guò)恒等變形探索更合理簡(jiǎn)潔的運(yùn)算途徑。例如，計(jì)算103×25，學(xué)生的第一反應(yīng)是列豎式計(jì)算，這是程序化的算術(shù)思維。若不加引導(dǎo)，學(xué)生的算術(shù)思維會(huì)愈加自動(dòng)化，關(guān)系性的代數(shù)思維會(huì)更難扎根發(fā)展。在學(xué)生掌握乘法分配律后，可以引導(dǎo)學(xué)生將103看作準(zhǔn)變量，進(jìn)行合理的分解：103×25＝（100+3）×25=100×25＋3×25。由此，學(xué)生不難通過(guò)口算得出結(jié)果。當(dāng)然，103的分解方法是多樣的，分解成100與3只是其中使得運(yùn)算最合理簡(jiǎn)潔的一種。對(duì)上述案例進(jìn)行比較，不難發(fā)現(xiàn)運(yùn)算中算術(shù)思維與代數(shù)思維的區(qū)別：算術(shù)思維的著眼點(diǎn)在細(xì)節(jié)，弄清每一步做什么，然后按照計(jì)劃執(zhí)行；代數(shù)思維的著眼點(diǎn)在全局，先進(jìn)行整體上的分析，厘清關(guān)系后進(jìn)行恒等變形，找出更加合理的運(yùn)算途徑后再計(jì)算。而這時(shí)候的計(jì)算要比算術(shù)思維下的計(jì)算簡(jiǎn)潔很多。

實(shí)際上，在小學(xué)階段，學(xué)生會(huì)掌握很多運(yùn)算律或運(yùn)算性質(zhì)，如交換律、結(jié)合律、分配律、商不變的規(guī)律、積的變化規(guī)律、除法性質(zhì)與減法性質(zhì)等。這些都是蘊(yùn)含在具體算式中的一般關(guān)系，等待學(xué)生挖掘與應(yīng)用。也就是說(shuō)，學(xué)生已經(jīng)具備了進(jìn)行代數(shù)思維的知識(shí)基礎(chǔ)，關(guān)鍵是教師在教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生轉(zhuǎn)變思維方式，緩解算術(shù)思維的自動(dòng)化程度，培養(yǎng)整體分析算式、進(jìn)行恒等變形的代數(shù)意識(shí)。

而且，應(yīng)用“準(zhǔn)變量”概念探尋算式結(jié)構(gòu)，有利于學(xué)生認(rèn)識(shí)到運(yùn)算是一種制造對(duì)應(yīng)關(guān)系的法則，從而初步體會(huì)函數(shù)思想［5］——從本質(zhì)上看，各種運(yùn)算都是對(duì)應(yīng)法則，都是函數(shù)。

四、在運(yùn)算規(guī)律的學(xué)習(xí)中，經(jīng)歷概括論證

算術(shù)思維關(guān)注的是具體的數(shù)或算式，代數(shù)思維關(guān)注的是一般的對(duì)象或關(guān)系。所以，代數(shù)思維的核心是一般化：將若干個(gè)具體的實(shí)例概括成統(tǒng)一的形式。算術(shù)學(xué)習(xí)中，學(xué)生會(huì)遇到很多運(yùn)算規(guī)律，這些運(yùn)算規(guī)律都是對(duì)算術(shù)中普遍性關(guān)系結(jié)構(gòu)的概括。在運(yùn)算規(guī)律的學(xué)習(xí)中，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷歸納概括與推理論證的過(guò)程，有利于學(xué)生代數(shù)思維的發(fā)展。

（一）概括運(yùn)算規(guī)律

歸納概括是從幾個(gè)具體的例子推出一般規(guī)律的思維過(guò)程，包括有序經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)規(guī)律、驗(yàn)證規(guī)律、歸納規(guī)律、概括表征等學(xué)習(xí)活動(dòng)，有助于學(xué)生逐步體驗(yàn)運(yùn)算規(guī)律的一般化，感知代數(shù)思維的一般化特征。

比如，教學(xué)“乘法分配律”，一般先引導(dǎo)學(xué)生探索問(wèn)題情境（如下頁(yè)圖3所示），得出具體的等式（6+4）×24=6×24+4×24；再讓學(xué)生觀察這樣的等式，初步發(fā)現(xiàn)規(guī)律。在學(xué)生獲得一定發(fā)現(xiàn)的基礎(chǔ)上提出問(wèn)題：“其他的數(shù)的運(yùn)算也符合這樣的規(guī)律嗎？寫(xiě)幾道這樣的式子，并驗(yàn)證等號(hào)兩邊的結(jié)果是否相等?！崩^續(xù)引導(dǎo)：“像這樣的等式還有嗎？你們能寫(xiě)完嗎？”啟發(fā)學(xué)生理解，數(shù)可以任意變化，但其中蘊(yùn)含的規(guī)律是不變的。“能用一句話表示嗎？能用更簡(jiǎn)潔的方法表示嗎？”引導(dǎo)學(xué)生先用個(gè)性化的語(yǔ)言表征規(guī)律，將重點(diǎn)放在規(guī)律概括的正確性上。最后啟發(fā)學(xué)生用多樣、簡(jiǎn)潔的方式表示，最終向規(guī)范化的字母表征發(fā)展。需要注意的是：教學(xué)的要點(diǎn)是對(duì)運(yùn)算規(guī)律的發(fā)現(xiàn)與概括，即引導(dǎo)學(xué)生正確地發(fā)現(xiàn)規(guī)律，體會(huì)用數(shù)字表征的局限性，感悟其他符號(hào)概括數(shù)的功能。至于是否用字母進(jìn)行表征，則是相對(duì)次要的。

（二）論證運(yùn)算規(guī)律

對(duì)于所說(shuō)的“一般化”，應(yīng)該有更加完整的理解，即不僅是指由特殊上升到一般，也包括結(jié)果的表述與論證。［6］運(yùn)算規(guī)律的歸納概括主要是一種歸納推理，具有或然性，需要通過(guò)推理論證來(lái)說(shuō)明必然性。經(jīng)歷推理論證過(guò)程，不僅能深化學(xué)生對(duì)運(yùn)算規(guī)律的理解，也能促進(jìn)運(yùn)算規(guī)律的應(yīng)用。

比如，教學(xué)“乘法分配律”，從多個(gè)具體的等式中歸納出（a+b）×c＝a×c+b×c后，需要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步思考這一規(guī)律為何成立?？梢詥l(fā)學(xué)生從兩個(gè)角度理解規(guī)律。第一個(gè)角度，借助直觀模型理解。如圖4，有兩個(gè)小長(zhǎng)方形，其面積和有兩種算法：可以先求出兩個(gè)小長(zhǎng)方形的面積再相加，即a×c+b×c；也可以先把兩個(gè)小長(zhǎng)方形合成一個(gè)大長(zhǎng)方形，再算出面積，即（a+b）×c。這兩種算法結(jié)果相同，所以，（a+b）×c＝a×c+b×c。

第二個(gè)角度，借助乘法的意義理解。a×c表示a個(gè)c相加，b×c表示b個(gè)c相加，a×c+b×c表示（a+b）個(gè)c相加，即（a+b）×c。

有時(shí)，我們的教學(xué)過(guò)于重視運(yùn)算規(guī)律的應(yīng)用，在歸納概括出規(guī)律后，便匆忙用其解決問(wèn)題，忽視了對(duì)規(guī)律的理解與論證。這不僅導(dǎo)致機(jī)械學(xué)習(xí)、淺層理解與錯(cuò)誤頻發(fā)，也使學(xué)生缺失了對(duì)相等關(guān)系的深度體悟。因此，運(yùn)算規(guī)律的教學(xué)中，概括與論證不可或缺，共同促進(jìn)學(xué)生體會(huì)代數(shù)思維中的“一般化”。

參考文獻(xiàn)：

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