孫謙

摘要：小學(xué)生的思維能力發(fā)展尚處在較低水平，在解決現(xiàn)實問題的過程中經(jīng)常會出現(xiàn)“思維斷點”。例如，已有的生活現(xiàn)實無法順利連接概念、已有的知識經(jīng)驗無法順利提取應(yīng)用、現(xiàn)有的知識體系無法順利拓展延伸，導(dǎo)致抽象化、概念化、同化與順應(yīng)時思維發(fā)生斷裂。多維度貫通理解、結(jié)構(gòu)化整體聯(lián)結(jié)、跨領(lǐng)域高通路遷移，可以有效化解這些“思維斷點”。

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué)；現(xiàn)實問題解決；思維斷點

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準（2022年版）》提出，義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)要聚焦“現(xiàn)實世界”中的問題，“引導(dǎo)學(xué)生在探索真實情境所蘊含的關(guān)系中，發(fā)現(xiàn)問題和提出問題，運用數(shù)學(xué)與其他學(xué)科的知識與方法分析問題和解決問題”［1］。小學(xué)生的思維能力尚處在初級階段，解決相關(guān)現(xiàn)實問題時經(jīng)常會出現(xiàn)“思維斷點”。

一、三種“思維斷點”現(xiàn)象

（一）已有的生活現(xiàn)實無法順利連接概念，抽象化時思維發(fā)生斷裂

小學(xué)階段，很多數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)都是由現(xiàn)實問題引出，進而在學(xué)生豐富的感性經(jīng)驗基礎(chǔ)上展開的：通過實物操作和剪、折、畫、描等，獲得具身體驗，然后進一步形式化和抽象化，對概念形成初步理解。但是，學(xué)生有時并不能把豐富的具身體驗有效轉(zhuǎn)化為理解概念的支架，更不能在多種表征方式和概念內(nèi)部元素之間建立相應(yīng)的聯(lián)系，具體的形象思維與抽象的邏輯思維產(chǎn)生斷裂。

例如，《分數(shù)的初步認識》一課，面對“一個蛋糕平均分給兩個小朋友，用‘?dāng)?shù)學(xué)的方式’表示每個小朋友分得多少個蛋糕”的現(xiàn)實問題，學(xué)生通過切蛋糕、說過程，對“每個小朋友分得‘半個’蛋糕”很快就達成共識，但只有極個別學(xué)生提出可以用“12（或21）”來表示每個小朋友分得的蛋糕，且這種表示方式受到了大多數(shù)學(xué)生的質(zhì)疑和否定，有的學(xué)生甚至認為 “這不是數(shù)學(xué)的方式，因為12（或21）不是‘一個’數(shù)”。從學(xué)生的回答中不難看出，課堂上具體、形象的操作過程，并沒有內(nèi)化為具有數(shù)學(xué)特質(zhì)的活動經(jīng)驗，當(dāng)然也就無法成為數(shù)學(xué)概念理解的“觸發(fā)器”。

（二）已有的知識經(jīng)驗無法順利提取應(yīng)用，概念化時思維發(fā)生斷裂

從認知的角度來看，問題的解決需要學(xué)生具備與之相關(guān)的知識和技能，并與他們的生活經(jīng)驗息息相關(guān)，但小學(xué)生已有的知識和經(jīng)驗往往與“現(xiàn)實世界”問題對接不上。

例如，《認識面積》一課，教學(xué)了面積概念后，教師讓學(xué)生解決現(xiàn)實問題：比較一個長方形和一個正方形面積的大小。不少學(xué)生先現(xiàn)場測量長方形和正方形紙片，發(fā)現(xiàn)長方形的長是6厘米、寬是4厘米，正方形的邊長是5厘米，再通過計算（6+4）×2=20、5×4=20，得出兩個圖形的面積相等的結(jié)論。很明顯，學(xué)生將周長當(dāng)成了面積，剛剛抽象出的面積概念并沒有形成現(xiàn)實性理解，面對問題時思維產(chǎn)生了斷裂——仍然囿于一維空間（周長）范圍內(nèi)，而沒有發(fā)展到二維空間（面積）。

（三）現(xiàn)有的知識體系無法順利拓展延伸，同化與順應(yīng)時思維發(fā)生斷裂

有意義的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)主要通過同化和順應(yīng)兩種方式展開，在這個過程中，思維也會出現(xiàn)斷裂，具體表現(xiàn)為已有的知識體系無法“同化”新的學(xué)習(xí)內(nèi)容或者現(xiàn)有的知識無法“順應(yīng)”發(fā)展到更高層面。

例如，教學(xué)小數(shù)的數(shù)位順序，教師呈現(xiàn)學(xué)生以前見過的自然數(shù)計數(shù)器實物模型，讓學(xué)生思考：利用計數(shù)器能否表示出小數(shù)？如果可以，該怎么表示？大部分學(xué)生認為不可以，少部分學(xué)生認為可以把個位上的一個算珠平均分為10份，個別學(xué)生能想到個位往右還可以繼續(xù)添加數(shù)位，而在這些“新”數(shù)位上的算珠應(yīng)該越來越小。作為十進制核心概念的現(xiàn)實模型，計數(shù)器中所反映的位值原理學(xué)生早已掌握牢固，并已經(jīng)形成了結(jié)構(gòu)模型（整數(shù)數(shù)位順序表和計數(shù)器）。但是，他們的思考只停留在具體形象階段，把算珠當(dāng)作“物”來均分表示小數(shù)，而不能從計數(shù)器表征的十進制、位值制的角度自然推衍，導(dǎo)致自然數(shù)模型無法順利拓展，從而正確表示出小數(shù)。

二、“思維斷點”的成因分析

思維發(fā)展是一個縱向深入、橫向擴展的復(fù)雜過程，其發(fā)展過程不是一條完全不間斷（逐漸量變）的線，而是包含從舊內(nèi)容到新內(nèi)容轉(zhuǎn)化（漸進過程存在中斷）的線，既有量變，也有質(zhì)變，所以思維發(fā)展既有連續(xù)性，也有階段性。［2］縱觀學(xué)生面對數(shù)學(xué)現(xiàn)實問題時的種種思維斷點現(xiàn)象，不難看出思維斷點主要出現(xiàn)在不同層級思維轉(zhuǎn)換的節(jié)點上。究其背后的成因，可以從思維的轉(zhuǎn)換性、整體性和自調(diào)性三個方面來分析。

（一）思維轉(zhuǎn)換性不強，導(dǎo)致問題數(shù)學(xué)化過程不暢

思維轉(zhuǎn)換性是指從不同角度去觀察同一現(xiàn)象或思考同一問題，以獲得對研究對象更全面的認識，尋求更完滿的解決方案。解決“現(xiàn)實世界”問題，更強調(diào)代入具身動作與情感體驗。其間，形象思維和抽象思維在不停地切換。為此，需要借助皮亞杰提出的“群”觀念，將不同方式表征的“小群”統(tǒng)整在更大的“群”之下，并建立“小群”與“小群”內(nèi)部的一一對應(yīng)關(guān)系，才能順利完成思維方式的轉(zhuǎn)化。這對于小學(xué)生來說具有不小的難度，帶來的直接結(jié)果就是無法將現(xiàn)實問題“數(shù)學(xué)化”，后續(xù)的問題解決也就無從談起。

（二）思維整體性不強，導(dǎo)致解決問題時站位不高

思維整體性是指在研究問題時，全方位地去觀察和思考問題所涉及知識的整體及局部的內(nèi)在結(jié)構(gòu)?！艾F(xiàn)實世界”問題所蘊含的知識大多呈現(xiàn)為多樣、零散和內(nèi)隱的狀態(tài)，這就需要學(xué)生脫離具體情境的束縛，從問題本質(zhì)出發(fā)進行整體思考，將零散知識圍繞一定的原則和標(biāo)準組織形成新的結(jié)構(gòu)，在更大范圍內(nèi)和更高層次上遷移應(yīng)用，進而順利地解決問題。小學(xué)生大多缺乏對知識進行高位的整體化、結(jié)構(gòu)化的意識和經(jīng)驗，由此導(dǎo)致獲得的大多是無意義的“惰性知識”，即當(dāng)他們面對復(fù)雜的現(xiàn)實問題時，往往只能根據(jù)問題本身呈現(xiàn)的現(xiàn)實信息，去關(guān)聯(lián)可能和問題相關(guān)的單個知識點，“惰性知識”難以“活化”，無法在問題解決中發(fā)揮作用。

（三）思維自調(diào)性不強，導(dǎo)致解決問題時難以實現(xiàn)遷移

思維自調(diào)性是指存在于思維之中的自我意識，常常表現(xiàn)為個體認知過程中的一種元認知能力。解決“現(xiàn)實世界”問題的每一個階段，都需要進行深入的分析和理解，需要元認知的持續(xù)參與，對知識不斷進行動態(tài)篩選，對方法不斷進行調(diào)整優(yōu)化，對過程不斷進行回顧檢驗，實現(xiàn)知識與方法的近遷移與遠遷移?！霸J知能力不足”的學(xué)生大多采用“一遍遍記憶以達到閉著眼睛就能做”的學(xué)習(xí)方法，對所學(xué)知識不知如何應(yīng)用于生活，面對新問題時常常無法和其他知識建立聯(lián)系，不會開拓新的通道和新的方法，也就無法順利地解決問題。［3］

三、“思維斷點”的化解之策

“現(xiàn)實世界”問題的順利解決，有賴于學(xué)生思維的轉(zhuǎn)換性、整體性和自調(diào)性的高水平發(fā)展。教學(xué)實踐中，可以通過開展多維度貫通理解、結(jié)構(gòu)化整體關(guān)聯(lián)、跨領(lǐng)域高通路遷移的學(xué)習(xí)活動，有效化解思維斷點。

（一）多維度貫通理解

小學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)段知識內(nèi)容相互關(guān)聯(lián)，由淺入深，層層遞進，這樣的特點決定了學(xué)生的學(xué)習(xí)活動也要以有序的方式展開。在教師引導(dǎo)下開展有序的學(xué)習(xí)活動，可以促進思維連續(xù)性的一般發(fā)展。但是，想要針對性地破解思維斷點問題，還要特別關(guān)注不同思維轉(zhuǎn)換的內(nèi)在邏輯，提升學(xué)生不同類型、層次思維方式的轉(zhuǎn)化能力，這就需要經(jīng)常開展圍繞一個知識點的多維度貫通理解學(xué)習(xí)活動。

1.貫通表征與意義

有研究表明，學(xué)生常?？梢蕴幚砗脝渭兊谋碚骰顒?，而在需要兼顧意義和表征時就會出現(xiàn)困難。［4］表征與意義的貫通，首先要以豐富的表征為基礎(chǔ)，引導(dǎo)學(xué)生用不同的具體方式呈現(xiàn)出對知識的理解，從不同的角度獲得對知識的具身體驗。然后，要進行意義凝練，提供適當(dāng)?shù)慕虒W(xué)支持，以激發(fā)學(xué)生對多重表征開展有效對比，發(fā)現(xiàn)其中的共同結(jié)構(gòu)。

例如，前文提到的對“12”的理解，就可以圍繞“一個蛋糕平均分給兩人，每人分得多少？”這個問題展開，讓學(xué)生用喜歡的方式表達自己的想法。學(xué)生可以用動作（操作）表征“一個蛋糕等分兩份、一人分得一份”的過程，用圖像表征“一個圓對折后其中一份涂上陰影”，用文字表征“每人分得半個”，用數(shù)學(xué)符號表征“每人分得12個”等。然后聚焦“12”，讓學(xué)生思考：“用這樣的數(shù)表達是否合理？從其他的表達方式中能否體會到為什么要用12表達？”學(xué)生展開合理聯(lián)想，操作中的 “均分”“2份”“每人1份”就對應(yīng)著分數(shù)的三個部分——“分數(shù)線”“分母”“分子”，所以用12表示，有理有據(jù)，意在其中，從數(shù)中體現(xiàn)分的過程。除此之外，還有學(xué)生說，“12”就可以理解為“一分為二”，所以分得的結(jié)果就是“半個”。至此，多種表征建立了密切的聯(lián)系，學(xué)生形成了關(guān)于分數(shù)概念的豐富理解。這是一個從同一性角度探尋本質(zhì)的過程，有效修復(fù)了表征與意義之間的思維斷裂。

2.貫通過程與對象

數(shù)學(xué)內(nèi)容可以分為“過程”和“對象”兩個方面，“過程”指向動態(tài)的、可操作性的法則、公式、原理等，而“對象”指的是靜態(tài)的數(shù)學(xué)定義的結(jié)構(gòu)和關(guān)系。概念的過程和對象存在緊密的依賴關(guān)系，將動態(tài)過程轉(zhuǎn)變?yōu)殪o態(tài)認知，要將過程和對象之間的元素建立一一對應(yīng)關(guān)系。

例如，小學(xué)階段三角形的概念“三條線段首尾相接圍成的圖形叫作三角形；三角形有三個頂點、三條邊和三個角”，其定義方式就是“過程操作+對象結(jié)構(gòu)”。但是，學(xué)生在經(jīng)歷一系列觀察三角形、拼搭三角形的過程后，僅能指出靜態(tài)的對象結(jié)構(gòu)，卻無法概括出動態(tài)的形成過程，過程與對象產(chǎn)生了“斷裂”。對此，可以引導(dǎo)學(xué)生將拼搭時用到的三條線段對應(yīng)三角形的三條邊，每兩條線段之間的連接處對應(yīng)三角形的三個頂點，每兩條線段張開的部分對應(yīng)三角形的三個角，實現(xiàn)“動靜結(jié)合、自如轉(zhuǎn)換”。

（二）結(jié)構(gòu)化整體聯(lián)結(jié)

解決數(shù)學(xué)現(xiàn)實問題的過程可以理解為“數(shù)學(xué)化”的過程，需要建立現(xiàn)實問題和解決問題的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)之間的通路。“數(shù)學(xué)化”的過程能否順利開展與思維的抽象、推理和建模等能力息息相關(guān)，從中反映出了個體思維的深刻程度。通過結(jié)構(gòu)化整體聯(lián)結(jié)，促進抽象能力、推理能力和建模能力的發(fā)展，將現(xiàn)實生活與數(shù)學(xué)知識順利勾連，進而順利解決問題。

首先，任何現(xiàn)實問題的解決都要經(jīng)歷知識提取和應(yīng)用的環(huán)節(jié)。事實上，只有經(jīng)過結(jié)構(gòu)化整體聯(lián)結(jié)的知識，才能順利地被提取并應(yīng)用。通過學(xué)習(xí)，剛開始獲得的知識都是以零散的“點”的狀態(tài)存在的，很容易被遺忘。當(dāng)這樣的“點”足夠豐富并經(jīng)過“再組織”的方式聯(lián)結(jié)起來，就能形成網(wǎng)絡(luò)狀的知識體系。網(wǎng)絡(luò)狀的知識體系不斷縮減，就能以“元”的狀態(tài)長時間儲存在腦海里。當(dāng)面對相關(guān)的新問題時，長時儲存的“元”狀態(tài)知識會以“線”的方式順利提取出來，并可以靈活地加以應(yīng)用。就算知識結(jié)構(gòu)中的部分知識記憶喪失了，也會有線索重新把相關(guān)知識組織起來。

例如，對于“面積”概念，可以如下頁圖1所示對知識進行分析和“再組織”，形成內(nèi)涵豐富的網(wǎng)絡(luò)狀知識體系。

其次，現(xiàn)實問題中存在的日常數(shù)學(xué)概念需要轉(zhuǎn)化為科學(xué)數(shù)學(xué)概念。結(jié)構(gòu)化整體聯(lián)結(jié)的方式為日常概念到科學(xué)概念建立了一條通路。日常概念表現(xiàn)出概念最原始、最基本的方面，并因為與生活聯(lián)系緊密而顯示出“活力”；科學(xué)概念則是對事物本質(zhì)屬性概括、抽象的表達，它以一種相對穩(wěn)定的方式出現(xiàn)。

可見，日常概念和科學(xué)概念是基于相同對象的不同概念表現(xiàn)形式，存在本體上的一致性，所以要利用整體、聯(lián)系的思維方式，打通不同

體系之間的壁壘，將日常概念和科學(xué)概念融通——既能根據(jù)需要將原始、基本的日常概

念“上升”到高級、抽象的科學(xué)概念，也可以由純數(shù)學(xué)的科學(xué)概念“復(fù)歸”到現(xiàn)實生活中的日常概念。這種上升與復(fù)歸的活動，伴隨著思維經(jīng)歷“具體—抽象—具體”的聯(lián)結(jié)、互通的過程，由“零碎的認識”發(fā)展到“整體性把握”，增強了思維的深刻性。

例如，學(xué)生經(jīng)常將數(shù)學(xué)概念中的“角”理解為日常生活中的桌角、墻角等?；谶@樣的認知起點，在“認識角”的過程中，讓學(xué)生找一找桌角、墻角的共同之處，發(fā)現(xiàn)“它們都有尖尖的點，點都連接著一些直直的線”。之后，引導(dǎo)學(xué)生抓住這些共同特征，思考并嘗試概括“角是什么樣子的？它包括哪些部分？”，促進學(xué)生形成結(jié)構(gòu)化整體認識，對于角的理解自然而然從日常概念上升到數(shù)學(xué)概念。最后，讓學(xué)生帶著對概念的理解回頭看生活中的實物，剖析其中“隱藏”的各種不同的角，從數(shù)學(xué)概念成功“復(fù)歸”到現(xiàn)實生活。

（三）跨領(lǐng)域高通路遷移

數(shù)學(xué)現(xiàn)實問題順利解決的內(nèi)在機制是正向遷移。依據(jù)新舊任務(wù)之間相似程度的高低，正向遷移又分為低通路遷移和高通路遷移：低通路遷移，只能達成相似的“具體與具體”之間的簡單關(guān)聯(lián)，如讓學(xué)生“刷題”熟悉各種題型；高通路遷移，則不斷形成“具體與抽象”以及“抽象與抽象”交錯的復(fù)雜認知結(jié)構(gòu)，從而能夠聯(lián)結(jié)不相似的“具體與具體”。［5］問題解決需要圍繞問題重新組織已有的知識，建立全新的聯(lián)系，形成全新的結(jié)構(gòu)，創(chuàng)造性地開拓出一條全新的通路。高通路遷移能否發(fā)生，取決于學(xué)生的思維是否達到高級水平。不同于一般思維只需要機械應(yīng)用先前獲得的經(jīng)驗，高階思維需要將獨立的經(jīng)驗聯(lián)系到一起去尋找解決方案，并且這種聯(lián)系從未發(fā)生過。這種新的聯(lián)系一旦無法建立，思維也就囿于原有水平，無法發(fā)展至高階思維的層次，思維斷點就此產(chǎn)生。

數(shù)學(xué)現(xiàn)實問題具有現(xiàn)實性、情境性和綜合性的特點，涉及的知識常常是跨領(lǐng)域的。跨領(lǐng)域高通路遷移，可以讓學(xué)生思維始終保持在高位運轉(zhuǎn)的狀態(tài)，靈活切換思考和分析問題的角度，思維水平不斷得到提升。促進跨領(lǐng)域高通路遷移，應(yīng)從知識和學(xué)習(xí)者兩個角度去考量。從知識的角度來說，對涉及的跨領(lǐng)域知識需要深入挖掘，覆蓋這些知識產(chǎn)生到應(yīng)用的全過程，并將跨領(lǐng)域知識從符號表征、邏輯形式兩個方面進行關(guān)聯(lián)和融合，還要考慮知識背后蘊含的價值、觀念和思想，在理解的基礎(chǔ)上形成系統(tǒng)的知識體系和科學(xué)的思維方式。從學(xué)習(xí)者的角度來說，需要在原有任務(wù)和新任務(wù)之間建立一種全新的、從未發(fā)生過的聯(lián)系和通道。這是一個不斷嘗試、反復(fù)試錯、持續(xù)修正的過程，需要學(xué)習(xí)者在問題解決的全過程中始終保持對自我的監(jiān)控和反思，發(fā)現(xiàn)自己思維的局限性并努力克服，注意“揚長避短”，善于吸納他人的合理意見并及時進行調(diào)控，更好地實現(xiàn)問題解決。

小學(xué)數(shù)學(xué)課程內(nèi)容由“數(shù)與代數(shù)”“圖形與幾何”“統(tǒng)計與概率”“綜合與實踐”四個學(xué)習(xí)領(lǐng)域組成，跨領(lǐng)域高通路遷移活動一般涉及其中兩到三個領(lǐng)域。例如，學(xué)習(xí)了面積概念及簡單的面積計算之后，讓學(xué)生想辦法測算出一個蘋果表面面積的大小，就是 “圖形與幾何”與“綜合與實踐”之間的跨領(lǐng)域高通路活動；學(xué)習(xí)了小數(shù)的意義之后，讓學(xué)生利用學(xué)過的圖形（長方形、正方形、三角形、圓形等）、工具（直尺、計數(shù)器等）或者生活實物來表示0.12，說明這樣表示的理由并對多

種方法進行比較，就是跨“數(shù)與代數(shù)”“圖

形與幾何”“綜合與實踐”三個領(lǐng)域的高通路活動。當(dāng)然，跨領(lǐng)域高通路遷移不只是知識層面，也發(fā)生在思想方法層面。例如，學(xué)生通過對加法運算律的探究，掌握了不完全歸納法的基本步驟“觀察→猜想→舉例→驗證”，研究乘法的運算律時也可以采用這樣的方法。

參考文獻：

［1］ 中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準（2022年版）［S］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2022：11.

［2］ 林崇德.試論思維的心理結(jié)構(gòu)研究［J］.北京師范大學(xué)學(xué)報，1986（1）：26.

［3］ 朱小虎.基于PISA的學(xué)生問題解決能力研究［D］.上海：華東師范大學(xué)，2016：140.

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本文系教育部重點課題“小學(xué)教師結(jié)構(gòu)化教學(xué)能力的生成機制與培育策略研究”（編號：DHA230386）的階段性研究成果。