李毅

[摘? 要] 高中數(shù)學教學以發(fā)展學生數(shù)學學科核心素養(yǎng)為導向，培養(yǎng)學生的高階思維和關鍵能力.研究者認為，教學設計是構建教師深度教學的關鍵點與促進學生深度學習的起點.因此，文章擬采用案例研究法，從教學設計角度，借助“問題導學”和“說數(shù)學”“數(shù)學寫作”等教學手段具體闡述如何促進學生深度學習.

[關鍵詞] 深度學習;教學設計;問題導學;說數(shù)學;數(shù)學寫作

引言

鄭毓信教授指出：我們應將幫助學生學會“深度學習”看成“深度教學”的一個重要目標，“深度教學”的實踐性分析，具體地說，除去理論直接的教學含義外，我們又將主要強調這樣四點：①聯(lián)系;②問題引領;③交流和互動;④努力幫助學生學會學習[1]. 《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020年修訂）》明確強調，要重視學生的數(shù)學交流能力的培養(yǎng). “說數(shù)學”和“數(shù)學寫作”是數(shù)學交流的重要形式之一，對培養(yǎng)學生的數(shù)學核心素養(yǎng)，促進學生深度學習具有重要作用[2].

深度學習的概述

所謂深度學習，就是指在教師引領下，學生圍繞著具有挑戰(zhàn)性的學習主題，全身心積極參與、體驗成功、獲得發(fā)展的有意義的學習過程[3].從數(shù)學教育的角度來看，深度（層）學習應當切實避免數(shù)學學習的膚淺化、淺層化，應該真正學會思考、學會學習，達到更大的思維深度才是實現(xiàn)深度學習的關鍵. 深度學習不只是數(shù)學教育的內在要求，也是對于淺度學習的必要糾正，更是現(xiàn)代社會與教育整體發(fā)展，即時代對于數(shù)學教育的更高要求[1].

案例描述

下面以筆者在清遠市高中數(shù)學“蹲點教研”上的一節(jié)市級公開課“橢圓及其標準方程”的教學實錄為例進行論述.

1. 創(chuàng)設情境，導入新課

（1）展示生活中的橢圓圖片.

教師：數(shù)學中的橢圓又是怎樣的呢？

學生：欣賞圖片，抽象出橢圓.

設計意圖 激發(fā)學生思考和想象，讓學生對橢圓產生感性認識，從而體驗生活中的數(shù)學美.

（2）實驗探究橢圓的畫法.

問題1 歷史上畫橢圓的方法有哪些？

學生：課前查閱相關資料，了解歷史上橢圓的畫法，完成一篇數(shù)學研究報告.

教師：用手機拍照后展示幾位學生課前完成的研究報告.

問題2 給你一根細繩和一支鉛筆，如何畫圓和橢圓？

教師：邀請兩組學生到黑板上畫圓和橢圓，其他學生同桌合作，畫出圓和橢圓.

學生：兩組學生到黑板上體驗畫圓和橢圓的過程.

問題3 觀察畫橢圓的過程，哪些量在變，哪些量沒有變？

教師：借助幾何畫板演示畫橢圓的過程，引導學生討論問題3，然后請一位學生用簡潔的數(shù)學語言描述如何才能畫橢圓.

學生：學生分組討論，歸納畫橢圓的方法.

設計意圖 讓學生經歷畫橢圓的過程，感受知識生成的過程，然后結合動畫演示，形象直觀地說明橢圓定義中的必備條件，體會數(shù)學的直觀性與嚴謹性.

2. 新課的探究

問題4 類比圓的定義，如何用最簡潔的數(shù)學語言歸納橢圓的定義？

教師：引導學生觀察圖形.

學生：觀察圖形，歸納出a，b，c的幾何意義.

設計意圖 讓學生體會數(shù)形結合思想和方程思想，更深入理解橢圓方程中字母的含義，促進學生深度學習.

問題9 如果橢圓的焦點在y軸上，那么橢圓方程又如何？

教師：引導學生類比推理.

學生：類比得到焦點在y軸上的橢圓的標準方程.

方法1：焦點的坐標變?yōu)镕（0，-c），F(xiàn)（0，c），重復上面的推導過程.

方法2：由學生動手列式，得到+=2a，引導學生觀察方程的結構特征，用類比的方法得到焦點在y軸上的橢圓的標準方程為+=1（a>b>0）.

設計意圖 引導學生利用類比思想、化歸思想探求焦點在y軸上的橢圓的標準方程，讓學生體會問題的本質所在，簡化運算.

問題10 如何從橢圓的標準方程判斷橢圓焦點的位置？

學生：哪個變量下的分母大，焦點就在哪個軸上.

教師：引導學生完成導學案表格內容（見表1）.

設計意圖 強化學生對橢圓方程的理解，有助于教學目標的實現(xiàn)，培養(yǎng)學生的歸納能力，為后續(xù)學習做鋪墊.

例1 用定義判斷下列動點M的軌跡是否為橢圓.

（1）到F（-1，0），F(xiàn)（1，0）的距離之和為4的點M的軌跡.

（2）到F（-1，0），F(xiàn)（1，0）的距離之和為2的點M的軌跡.

（3）到F（-1，0），F(xiàn)（1，0）的距離之和為1的點M的軌跡.

學生：全體口答（過程略）.

變式訓練：已知橢圓+=1.

（1）若橢圓上任一點C到一個焦點的距離為6，則點C到另一個焦點的距離為______.

（2）若C為橢圓上任一點，則△CFF的周長為______;若CD為過左焦點F1的弦，則△FCD的周長為______.

例2 已知橢圓的兩個焦點坐標分別是（-2，0），（2，0），并且經過點

教師：投影學生典型的案例，讓學生上講臺講解求解思路.

學生：學生講解，并板書解題過程.

設計意圖 鍛煉學生書面和口頭表達的能力，發(fā)展學生的數(shù)學關鍵能力，促進學生深度學習.

3. 課堂小結

教師：（1）本節(jié)課學習的主要知識是什么？（2）求橢圓標準方程的常用方法是什么？（3）本節(jié)課涉及哪些數(shù)學思想方法？

學生：學生回憶本節(jié)課所學內容，從內容、方法、思想三個方面進行歸納.

設計意圖 訓練學生的概括和表達能力，促進學生深度學習，提升學生的數(shù)學學科核心素養(yǎng).

4. 課堂練習

（1）動點P到兩個定點F（- 4，0），F(xiàn)（4，0）的距離之和為8，則點P的軌跡為（? ）

A. 橢圓 B. 線段FF

C. 直線FFD. 不能確定

（2）橢圓+=1上一點P到一個焦點的距離等于3，則它到另一個焦點的距離是（? ? ）

A. 5? B. 6? C. 7? D. 8

（3）求適合下列條件的橢圓的標準方程：①a=4，b=1，焦點在x軸上;②a=4，c=，焦點在y軸上;③a+b=10，c=2.

學生：獨立完成課堂限時訓練.

教師：巡視學生課堂限時訓練的情況，利用多媒體投影展示典型案例，給予鼓勵性評價和建議.

設計意圖 及時鞏固本節(jié)課所學知識，訓練學生的解題能力.

5. 課后作業(yè)

作業(yè)1：人教版A版教材49頁A組第1題和第2題.

作業(yè)2：（1）方程Ax2+By2=1能表示哪些我們學過的曲線？

（2）請同學們課后查閱歷史上研究橢圓的相關資料，自選主題，完成一篇與橢圓有關的數(shù)學研究報告.

設計意圖 設置不同層次的作業(yè)，滿足不同學生的需求，鍛煉學生的數(shù)學理性思維能力和表達能力.

案例分析與討論

“數(shù)學學習共同體”，就是在一個教學班中，為了促進學生數(shù)學知識的增長和數(shù)學能力的提高，以及使學生形成一定的情感、態(tài)度和價值觀，教師和學生結合成一個數(shù)學學習團體. 該團體所從事的是數(shù)學學習的實踐活動，學生在數(shù)學上的發(fā)展則是通過數(shù)學實踐活動而實現(xiàn)[4]. 因此，筆者從以下四個方面闡述本節(jié)課的教學設計是如何構建“數(shù)學學習共同體”，從而促進學生深度學習的.

1. 教學設計以任務導學，驅動學生主動了解數(shù)學文化，促進學生深度學習

《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020年修訂）》中特別強調要“注重數(shù)學文化的滲透”，要“不斷引導學生感悟數(shù)學的科學價值、應用價值、文化價值和審美價值”.例如筆者設置活動讓學生在課前查閱資料，了解橢圓的畫法，并完成數(shù)學寫作活動，在課堂教學中充分滲透數(shù)學文化. 滲透數(shù)學文化，“解析幾何”知識內容無疑是很好的載體. 首先，學者對圓錐曲線知識內容的研究歷史悠久.其次，圓錐曲線知識內容是高中階段的核心知識，對學生數(shù)學思維品質的提升有重要作用. 讓學生課前查閱資料，正是把數(shù)學文化帶入課堂，體現(xiàn)數(shù)學文化的實踐價值，引導學生主動學習，提高教學的時效性，更是促進學生深度學習.

2. 教學設計以問題導教，引導學生主動學習和思考，促進學生深度學習

以問題鏈為載體，將數(shù)學思想方法滲透到具體知識內容的教學中，通過探究式教學，讓學生自覺主動地探索知識，促進學生深度思考.例如筆者在引入新課時設問：“給你一根細繩和一支鉛筆，如何畫圓和橢圓？”在辨析概念時又提問：“你認為在橢圓的定義中，我們需要注意哪些關鍵詞句？”在化簡橢圓的標準方程時再提問：“化簡根式+=2a的方法有哪些？”本節(jié)課設計問題鏈，引導學生主動去學習和思考，培養(yǎng)學生的理性思維和創(chuàng)新意識. 問題鏈教學模式是以學生自主學習為主的新型教學模式，通過問題的探究和情境的設置，不僅能夠充分調動學生學習的主動性，還能夠培養(yǎng)學生的關鍵能力，促進學生深度學習.

3. 通過“說數(shù)學”活動鍛煉學生的數(shù)學交流能力，促進學生深度學習

建構主義學習觀認為，“學習是個體積極主動的建構過程”[5]. 本節(jié)課作為新授課，筆者設計“說數(shù)學”活動突破了本節(jié)課的教學難點——橢圓標準方程的推導化簡. 如果按照傳統(tǒng)教學方法授課——先讓學生安靜作答，然后由教師直接講解推導方法，那么絕大多數(shù)學生對問題的思考不為師生所知. 如此教學無法呈現(xiàn)學生對問題的思考過程. 因此，筆者讓學生說出自己對數(shù)學問題的思考全過程，引導學生“說知識”“說過程”“說反思”，就是為了暴露學生的數(shù)學思維狀況，讓學生展示自我建構數(shù)學知識的過程，是學生口頭表達的具體表現(xiàn)，能有效提高學生的數(shù)學交流能力，從而促進學生深度學習[6].

4. 通過不同層次的作業(yè)發(fā)展學生的科學精神，促進學生深度學習

《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020年修訂）》明確指出：“高中數(shù)學學習評價關注學生知識技能的掌握，更關注數(shù)學學科核心素養(yǎng)的形成和發(fā)展. 評價既要關注學生學習的結果，更要重視學生學習的過程.”筆者設計了不同層次的作業(yè)讓學生課后去探究，尤其是研究性作業(yè)，不僅可以幫助學生鞏固本節(jié)課所學知識，還能鍛煉學生的關鍵能力，發(fā)展學生的數(shù)學核心素養(yǎng). 數(shù)學寫作的設置，讓學生將自己對數(shù)學知識和數(shù)學學習過程的認識與理解、對數(shù)學學習的感想與體會用文字表達出來，鍛煉學生的數(shù)學表達能力，從而促進學生深度學習[7].

結束語

筆者借助一節(jié)市級公開課的預設與生成，反思本節(jié)課的教與學. 通過設計“問題驅動”“說數(shù)學”“數(shù)學寫作”等活動，發(fā)展學生的高階思維，訓練學生的數(shù)學關鍵能力，從而促進學生深度學習，發(fā)展學生的數(shù)學核心素養(yǎng).

參考文獻：

[1] 鄭毓信. 數(shù)學教育文選[M]. 上海：華東師范大學出版社，2021.

[2] 鐘進均. 在高中數(shù)學教學中開展說數(shù)學活動的實驗研究[J]. 數(shù)學教育學報，2008，17（05）：98-102.

[3] 劉月霞，郭華. 深度學習：走向核心素養(yǎng)[M]. 北京：教育科學出版社，2018.

[4] 張曉貴. 數(shù)學課堂教學的社會研究[M]. 合肥：安徽教育出版社，2007.

[5] 喻平. 數(shù)學教育心理學[M]. 南寧：廣西教育出版社，2004.

[6] 鐘進均. 高中“說數(shù)學”案例研究[M]. 廣州：廣東經濟出版社，2017.

[7] 鐘進均.中學生數(shù)學寫作研究[M]. 長春：吉林人民出版社，2018.