王昌林 李偉 楊坤林

[摘? 要] 文章從兩堂“等差數(shù)列的前n項和”的同課異構(gòu)研討課的教學實錄出發(fā)，對比兩堂課的教學設計與現(xiàn)場實況，分析教學設計與教學中值得肯定與存在不足的地方，并提出明確的教學方法，給出領悟和開發(fā)教材的建議;最后以具有數(shù)學學科本質(zhì)的教學觀為基礎，給出執(zhí)行數(shù)學學科本質(zhì)的教學設計與案例.

[關鍵詞] 教學實錄;同課異構(gòu);學科本質(zhì);等差數(shù)列

問題提出

近期，筆者聽了兩堂“等差數(shù)列的前n項和”的同課異構(gòu)研討課.根據(jù)課前了解，兩堂研討課的授課對象是兩個水平相近且在學校處于中等偏上的班級.教師甲以人教A版《普通高中課程標準試驗教科書·必修5》（下文簡稱舊教材）開展授課，教師乙則以人教A版《普通高中教科書·選擇性必修第二冊》（下文簡稱新教材）開展授課.兩堂課有相同的教學設計，例如都用“小高斯”的故事作為課題引入;也有不同的教學設計，例如倒序相加法的講解過程，教師甲注重數(shù)形結(jié)合，教師乙則注重數(shù)列本身的邏輯推理.對于本節(jié)知識內(nèi)容所涉及的“小高斯”的故事是否起到引導作用、等差數(shù)列求和的奇偶項的困擾該如何處理、倒序相加法的講解是否突兀、數(shù)與形是否被埋沒、講與練是否失衡等問題的解決，到底哪位教師的教學設計更符合學生的認知規(guī)律？引發(fā)筆者深思.

課堂對比與評析

1. 情境導入

教師甲：

講述泰姬陵的傳說，指出泰姬陵的陵寢中有一個以大小相同的圓寶石鑲飾而成且共有100層的三角形圖案，讓學生思考并計算這個三角形圖案共花費了多少顆圓寶石. 緊接著講述“小高斯”的故事以及高斯算法.

教師乙：

用多媒體設備播放“數(shù)學天才高斯的故事”微視頻，然后讓學生思考并回答問題“‘1，2，3，…，100是什么數(shù)列？高斯計算的問題實質(zhì)是什么？”

評析 教師甲導入的泰姬陵傳說和“小高斯”故事存在重復的現(xiàn)象，而且講述泰姬陵傳說時只給了一張?zhí)┘Я甑倪h景圖片，并不能達到激發(fā)學生學習興趣的目的. 泰姬陵傳說和“小高斯”故事雖為后面的數(shù)列求和埋下了伏筆，它們所占用的時間過多. 教師乙則目標明確，直奔主題. 微視頻的引入使課堂更具直觀性與渲染力. 導入是教師在一個新的教學內(nèi)容或教學活動開始時，引起學生注意、激發(fā)學生學習興趣，引導學生明確學習目標、形成學習動機的一類教學行為[1]. 好的導入環(huán)節(jié)應該既圍繞主題又富有新意、既簡潔明快又直奔主題.

2. “奇偶項”的處理

教師甲：

高斯算法是否具有一般性？換句話說，等差數(shù)列從第一項起至某一項的所有和能不能像高斯那樣去計算？你能解決以下問題嗎？

（1）數(shù)列1，2，3，…，該數(shù)列前201項的和是多少？

（2）數(shù)列1，2，3，…，n，該數(shù)列前n項的和是多少？

教師乙：

問題1：高斯算法的巧妙之處在哪里？

問題2：用高斯算法求S=1+2+3+4+…+100+101會出現(xiàn)什么問題？

問題3：請同學們計算S=1+2+3+…+n（n∈N*）.

評析 高斯算法與一般的等差數(shù)列求和還有一定的距離[2]. 兩位教師都成功設計了從特殊到一般的教學過程. 為了過渡，舊教材與新教材都設置了與1+2+3+…+n有關的篇幅，但舊教材沒有明確展示奇偶項的過程;新教材則注重奇偶項的處理，清晰羅列了n分別為奇數(shù)和偶數(shù)兩種情況. 在教學過程中，教師應該給學生提供充足的時間讓其感受與探索知識本身的內(nèi)在規(guī)律.

3. “求和公式”的處理

教師甲：

步驟1：用圖案展示第1層到第100層的圓寶石排列情況，引導學生聯(lián)系高斯算法，聯(lián)想“首尾配對”擺出幾何圖形，即引導學生思考如何將圖案與高斯的倒序相加聯(lián)系起來，將兩個三角形拼成一個平行四邊形.

步驟2：給出數(shù)列{a}前n項和的定義，引導學生探究任意的等差數(shù)列{a}的前n項和的關系式，并寫出等差數(shù)列的求和公式S=.

步驟3：引導學生結(jié)合等差數(shù)列的通項公式a=a+（n-1）d，推導出等差數(shù)列的另一求和公式S=na+d.

步驟4：利用梯形的面積公式，幫助學生記憶等差數(shù)列的求和公式.

教師乙：

步驟1：引導學生聯(lián)系S=1+2+3+…+n（n∈N*），讓學生自主探討等差數(shù)列{a}的前n項和S=a+a+a+…+a+a.

步驟2：詢問學生“等差數(shù)列的求和公式是根據(jù)什么特征推導而來的？數(shù)列求和的本質(zhì)是什么？”

步驟3：引導學生將等差數(shù)列的通項公式a=a+（n-1）d代入S=，然后變形并整理得S=na+d.

評析 對等差數(shù)列前n項和公式的推導，教師甲注重數(shù)形結(jié)合，教師乙則注重數(shù)列本身的邏輯推理，都是可行的. 值得注意的是倒序相加法的教學不能強加于學生，應在學生充分理解等差數(shù)列的特征性質(zhì)后，利用等差數(shù)列中的“平均數(shù)”，通過“倒序相加”實現(xiàn)“不同數(shù)的求和轉(zhuǎn)化為相同數(shù)的求和”的目的，這是推導等差數(shù)列前n項和公式的指導思想，也是本節(jié)課的教學主線[3]. 對等差數(shù)列的前n項和公式進行推導，應經(jīng)歷“首位配對—分類討論—倒序相加”的認知過程，其中蘊含著代數(shù)推理的一般方法，可使學生從中領悟到特殊到一般、分類與整合、化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學思想方法，也讓學生完整經(jīng)歷探索數(shù)學公式的代數(shù)思維過程.

4. 課堂總結(jié)

教師甲：

引導學生回顧特殊到一般的研究方法;讓學生體會等差數(shù)列的基本表示方法以及倒序相加法和數(shù)形結(jié)合思想;使學生掌握等差數(shù)列的兩個求和公式及簡單應用.

教師乙：

問題1：從這堂課中你學到了哪些重要的知識呢？

問題2：在等差數(shù)列的前n項和公式的推導過程中用到了什么方法？

問題3：在獲得等差數(shù)列的前n項和公式的過程中，你體會到了哪些數(shù)學思想方法？在公式應用中又體會到了哪些數(shù)學思想方法？

問題4：在學習函數(shù)時，我們學到了函數(shù)的哪些知識？其研究路徑和方法是什么樣的？我們研究數(shù)列和研究函數(shù)的路徑和方法有何聯(lián)系？

評析 一堂好課不僅要有一個好的開端還要有一個好的結(jié)尾. 課堂總結(jié)的方法和形式是多樣且不拘一格的.教師甲采用歸納概括式的總結(jié)方式，教師乙則采用問題探究式的總結(jié)方式，其中歸納概括式的總結(jié)方式是絕大多數(shù)課堂的總結(jié)方式. 無論是哪一種總結(jié)方式，其目的都在于歸納總結(jié)學生所學知識，讓學生感悟思想方法，幫助學生建構(gòu)知識網(wǎng)絡，從而為學生繼續(xù)探索做鋪墊.

教學思考與感悟

1. 明確教學方法

數(shù)學教學就是在教材與教育之間搭建橋梁，橋梁穩(wěn)定與否取決于教師對教材的理解是否透徹、加工是否周密，從而創(chuàng)造性地設計課堂. 常言道：學之道在于“悟”，教之道在于“度”.教學是講方法而不是簡單傳授知識，要讓學生學到方法從而領悟到知識的內(nèi)在本質(zhì). 如何教學呢？問題的合理設置就是一個好的應對措施. 問題的合理設置可以從角度、梯度、深度、廣度和難度等五個“度”進行，具體如下：

（1）緊扣教學目標，符合學生實際，問題具有針對性;

（2）設問循序漸進，思維逐次深入，問題具有層次性;

（3）引發(fā)認知沖突，激活學生思維，問題具有挑戰(zhàn)性;

（4）解答思路多樣，思維活動開放，問題具有開放性;

（5）面向大眾學生，符合認知水平，問題具有適切性.

2. 透徹領悟與開發(fā)教材

教材濃縮了數(shù)學家的思維成果，凝聚了編寫者的集體智慧，是實現(xiàn)課程目標的重要資源，也是課堂教學設計的主要依據(jù). 因此，透徹領悟教材首先應該尊重教材. 透徹領悟教材的關鍵在于領悟教材的學科知識背景與基本要求，而領悟?qū)W科知識背景在于關注知識的學術形態(tài)與開發(fā)知識的教育形態(tài). 教材是靜態(tài)的，學生是動態(tài)的，文字是無聲的，思考才是熾熱的. 教材再創(chuàng)造是領悟?qū)W科知識背景的具體體現(xiàn)，也為課程的開發(fā)做好了鋪墊. 奧蘇貝爾指出：“假如讓我把全部教育心理學僅僅歸結(jié)為一條原理的話，那么我將一言以蔽之曰：影響學習的唯一重要的因素就是學習者已經(jīng)知道了什么. 要探明這一點，并應據(jù)此進行教學.”[5]因此，教材開發(fā)要立足學情，以學習水平中等偏下的學生作為參照起點，以教材結(jié)構(gòu)和知識聯(lián)系作為邏輯起點，以學生的認知水平和知識基礎作為現(xiàn)實起點，最終設置合理的問題起點并對教材進行再創(chuàng)造.

3. 具有數(shù)學學科本質(zhì)的教學觀

《普通高中數(shù)學課程標準（實驗）》提出的高中課程的10條理念中的第3、第7、第9條分別指出：倡導積極主動、勇于探究的學習方式;強調(diào)本質(zhì)，注重適度形式化;注重信息技術與數(shù)學課程的整合. 《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020年修訂）》提出的4條高中課程的基本理念中的第3條指出：把握數(shù)學本質(zhì)，啟發(fā)思考，改進教學. 可能許多一線教師受希爾伯特的“形式主義”和布爾巴基學派的“結(jié)構(gòu)主義”思潮的影響且陷入其中，但丟掉數(shù)學的背景和本質(zhì)肯定是不可取的. 形式化雖然是數(shù)學的特征之一，但不能過度. 高中數(shù)學需要返璞歸真，應該努力揭示數(shù)學概念、法則、結(jié)論的發(fā)展過程和本質(zhì)[6]. 高中數(shù)學教學應以發(fā)展學生數(shù)學學科素養(yǎng)為導向，創(chuàng)設合理的教學情境，啟發(fā)學生思考，引導學生把握數(shù)學知識的本質(zhì). 通過獨立思考、自主學習、合作交流等多種學習方式，激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣，培養(yǎng)學生良好的學習習慣.

4. 執(zhí)行數(shù)學學科本質(zhì)的教學設計

（1）創(chuàng)設問題情境為切入點，讓探究更加自然.

《辭海》把“情境”解釋為：“一個人在進行某種行動時所處的社會環(huán)境，是人們社會行為產(chǎn)生的具體條件.”在核心問題的統(tǒng)領下，設計一系列的問題串，讓學生在疑慮中探究，在探究中經(jīng)歷深刻思考，通過一系列問題串的解決，核心問題被自然突破，等差數(shù)列前n項和公式的推導也就水到渠成[7].

（2）體現(xiàn)數(shù)學核心素養(yǎng)，讓教學更具內(nèi)涵.

數(shù)學核心素養(yǎng)是數(shù)學育人的集中體現(xiàn)，是通過數(shù)學學習而逐步形成的能力、品格和價值觀念. 基于數(shù)學學科核心素養(yǎng)的教學活動應該把握數(shù)學本質(zhì)，創(chuàng)設合適的教學情境，提出合適的數(shù)學問題，引發(fā)學生思考與交流，培養(yǎng)和發(fā)展學生的數(shù)學學科核心素養(yǎng)[8]. 數(shù)學核心素養(yǎng)是“四基”的繼承和發(fā)展.教學中教師要引導學生理解基礎知識，幫助學生掌握基本技能、積累數(shù)學基本活動經(jīng)驗，讓學生感悟數(shù)學基本思想，促進學生數(shù)學學科核心素養(yǎng)的持續(xù)提升[9].

（3）教學設計路徑與案例.

教學設計的基本路徑是什么？從現(xiàn)代教學系統(tǒng)中的教師、學生、內(nèi)容、方法和媒體等5個根本要素中來看，可以學生對數(shù)學知識本質(zhì)的理解為基礎，將數(shù)學知識本質(zhì)以問題情境的創(chuàng)設、教學問題的設計以及知識邏輯的梳理等方式進行教學形態(tài)的展現(xiàn). 其中對于數(shù)學知識本質(zhì)的理解，本節(jié)課可通過數(shù)學史建構(gòu)知識結(jié)構(gòu)——這并不是唯一的方式，具體應參照教材與課程標準. 教學設計路徑如圖1所示.

案例 與等差數(shù)列前n項和公式推導中“倒序相加”相關的教學片段.

師：對于1，2，3，…，100的求和問題，“小高斯”用到了“配對求和”的方法，同學們能否換一種方法也可以快速得到答案呢？（大多數(shù)學生都面露難色，教師堅持讓學生探尋方法，逼迫學生思考）

生1：我只想得了一個一個地相加.（眾生一笑）

生2：以“小高斯”想到的是S=50×（1+100）=5050，我想到的就是S=50×（100+1）=5050.

師：非常好，為什么你會想到S=50×（100+1）=5050呢？

生2：我想不到其他的了，就想到簡單的加法交換律.

師：同學們對比一下50×（1+100）=5050與50×（100+1）=5050這兩個式子，有什么啟示嗎？

生3：我們可以把S=50×（100+1）=5050看作S=100+…+3+2+1.

師：對比S=1+2+3+…+100與S=100+…+3+2+1這兩個式子，還有什么啟示嗎？

生4：它們的和都是一樣的.

生5：這兩個式子一個是順著寫的，一個是倒著寫的，項數(shù)一樣且對應項相加都等于101.

師：既然如此，如果把它們放在一塊，那么就有（教師板書過程）

[? ?S=1? ? ? +2? ? ?+3? ? ?+…+100

+? S=100? ? +99? ? ?+98? ? +…+1] [2S=（1+100）+（2+99）+（3+98）+…+（100+1）]

我們就可以得到S==5050.

生（眾）：原來還可以這樣計算.

……

評注 該案例在核心問題的統(tǒng)領下，設計出了一系列的問題串引導學生思考.讓學生經(jīng)歷“跳一跳”的思考過程，最終解決一系列的問題串，從而獲得“倒序相加”的思想方法.

結(jié)語

學科本質(zhì)的教學設計與教學過程是以核心素養(yǎng)為基礎的. “等差數(shù)列的前n項和”這一堂課的知識內(nèi)容充分體現(xiàn)了數(shù)學核心素養(yǎng)中的數(shù)學抽象、邏輯推理、直觀想象與數(shù)學運算. 數(shù)學抽象是數(shù)列求和概念形成的前提，邏輯推理是學生從高斯算法的故事中感知命題轉(zhuǎn)化的過程，直觀想象能讓學生感受倒序相加法的意義所在，而數(shù)學運算則能讓學生領會等差數(shù)列的前n項和公式的應用. 從學科本質(zhì)出發(fā)的教學設計應充分把握、凸顯、導出以及強化知識的本質(zhì).

參考文獻：

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